圆的标准方程(优质课)

1、 高一数学组高一数学组 主主 讲：蒲东风讲：蒲东风 制制 作：蒲东风作：蒲东风问题提出问题提出1.1.在平面直角坐标系中，两点确定一条在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.2.直线可以用一个方程表示，直线可以用一个方程表示，圆也可圆也可以用一个方程来表示吗？怎样建立圆以用一个方程来表示吗？怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题的方程是我们需要探究的问题. . 探究一：圆的标准方程探究一：圆的标准方程 平面上到一个定点的距离等于定长的平面上到一个定点的距离等于定长的

2、点点的集合叫的集合叫做圆做圆. . 思考思考1:1:圆可以看成是平面上的一条曲线圆可以看成是平面上的一条曲线, ,在平面几何中，圆是怎样定义的？在平面几何中，圆是怎样定义的？ 如何用集合语言描述以点如何用集合语言描述以点A A为圆心，为圆心，r r为半径的圆？为半径的圆？P=M|MA|=r.P=M|MA|=r.A AM Mr r圆圆上点上点的集合的集合思考思考2:2:确定一个圆最基本的要素是什么？确定一个圆最基本的要素是什么？思考思考3:3:设圆心坐标为设圆心坐标为A(aA(a，b)b)，圆半径，圆半径为为r r，M(xM(x，y)y)为圆上任意一点，根据圆为圆上任意一点，根据圆的定义的定义x

3、 x，y y应满足什么关系？应满足什么关系？(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A(a,bA(a,b) )M(x,yM(x,y) )r rx xo oy yrbyax22)()(P = M | |MA| = r 圆心和半径思考思考4:4:对于以点对于以点A(aA(a，b)b)为圆心，为圆心，r r为半径的为半径的圆，由上可知，若点圆，由上可知，若点M(xM(x，y)y)在圆上在圆上, ,则点则点M M的的坐标满足方程坐标满足方程 ；反之反之, ,若点若点M(xM(x，y)y)的坐标适合方程的坐标适合方程 ，那么点那么点M M一定在这个圆上吗？一定在这个圆上吗？

4、A AM Mr rx xo oy y思考思考6:6:以原点为圆心以原点为圆心,1,1为半径的圆称为为半径的圆称为 单位圆单位圆, ,那么单位圆的方程是什么那么单位圆的方程是什么？ 我们把方程我们把方程 称为以称为以A(aA(a，b)b)圆心，圆心，r r为半径长的为半径长的222()()xaybrx x2 2+y+y2 2=1=1思考思考5:5:那么确定圆的标准方程需要几个那么确定圆的标准方程需要几个 独立条件？独立条件？圆的圆的标准方程标准方程 1、圆心为、圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方程为（的圆的方程为（ ） A (x 2 )2+(y 3 )2=25 B (x 2 )2+(y

5、+ 3 )2=25 C (x 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y 3 )2=5 )3, 2( AB2、圆、圆 (x2)2+ y2=2的圆心的圆心C的坐标及半径的坐标及半径r分别为（分别为（ ） A C（2，0） r = 2 B C（ 2，0） r = 2 C C（0，2） r = D C（2，0） r = 22D随堂练习随堂练习3、已知已知 和圆和圆 (x 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点，则点M在在 （ ） A 圆内圆内 B 圆上圆上 C 圆外圆外 D 无法确定无法确定)7, 5( MB探究二：点与圆的位置关系探究二：点与圆的位置关系 思考思考7 7:

6、:在平面几何中在平面几何中，初中学过：初中学过：点与点与 圆有哪几种圆有哪几种位置关系？位置关系？ 思考思考8 8: :在初中平面几何中在初中平面几何中，如何确定如何确定点点 与圆与圆的位置关系？的位置关系？A AO OA AO OA AO OOAOAr rOAOA=r r思考思考9 9: :在直角坐标系中在直角坐标系中, ,已知点已知点M(xM(x0 0，y y0 0) )和圆和圆C C： , ,如何判断点如何判断点M M在圆外、圆上、圆内？在圆外、圆上、圆内？222()()xaybr(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆

7、C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内. .思考题：思考题： 集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2rr2 2 表示的图形是什么？表示的图形是什么？ A Ar rx xo oy y圆心圆心C：两条直线的交点：两条直线的交点半径半径CA：圆心到圆上一点：圆心到圆上一点xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10

8、l xy 弦弦ABAB的垂直的垂直平分线平分线 例例1 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且，且圆心圆心C在直线上在直线上l：x y +1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标的圆的标准方程准方程D探究三：圆的标准方程的应用探究三：圆的标准方程的应用 l解解：因为因为A(1, 1)和和B(2, 2)，所以线段，所以线段AB的中点的中点D的坐标的坐标),21,23(直线直线AB的斜率的斜率:31212ABk因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx解方程组解方程组01033yxyx得得. 2, 3yx

9、所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2, 3(圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5)21 ()31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2()3(22yx圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )C例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABCDE 例例2 2： 的三个顶点的

10、坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1)(5,1)、B B(7,(7,3)3)、C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 (1)222)()(rbyax 因为因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，都在圆上，所以所以 它它们的坐标都满足方程（们的坐标都满足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba待定系数法待定系数法235abr 所求圆的方程为所求圆的方程为22(2)(3)25xy (1)(1)圆的标准方程的结构特点圆的标准方程的结构特点. .( (2 2) )点与圆的位置关系的判定点与圆的位置关系的判定. .( (3 3) )求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法；几何法待定系数法；几何法. . 课时小结