截面的几何性质

1、第五章截面的几何性质授课日期月日节授课班级教学目标1、掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径的概念及计算，平行移 轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。2、理解惯性积、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念。教学内容1、图形的惯性矩2、极惯性矩、3、惯性积、惯性半径，4、平行移轴公式重点难点重点：1、图形的惯性矩2、极惯性矩、3、惯性积、惯性半径，4、平行移轴公式难点：1、图形的惯性矩2、极惯性矩3、平行移轴公式教学方式米用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问 题。计划学时4讲课提纲：1） 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量（静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计 算方法；平行移轴公式，转轴公式

2、等。2）工程实际：在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了 但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状），这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔，也不弯曲可见，材料截面的几何形状对强度、刚度是有一定影响的， 研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的（一）截面的静矩和形心一、静矩的定义设平面图形7-1，取zoy坐标系，取面积元 dA，坐标为（z,y） ，整个截面对z、y轴的静矩为：Sz = AydA整个截面对z轴的静矩；s- zdA整个

3、截面对y轴的静矩；y la1）若将dA理解为垂直于纸面的力, 称为面积矩。若形心坐标为ydA便是对z轴的力矩，Sz则为对z轴的合力矩，故 （乙，yc静矩也可写成：s A ydA 二 A ycsy 二 zdA 二 A zcA性质：1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零;2、单位：mm34、当坐标轴原点过形心,2）反之，若 Sx =Sy =0 ，坐标轴原点必过截面形心。、形心位置的计算形心位置：二 Zcsy对面积连续分布的（非组合图形）图形:A zdAAA ydAA对组合图形:迟ZqA耳=送Ai为yciAiiyc' AiSyYzciA ；iSz 八 yci AiA -

4、第i个分图形的面积； zci、yci -第i个分图形的形心坐标;解：取如图7-1示的坐标系，先求 sz,sySz = .A ydA = y z dy32R sin r cos 尬4RSz/3yc A3 兀sz = A zdA= z y dz= Rcosv Rsi-Rsin巾)-Q R3cos)sin2)1 .I sinI 371 2SyA4R3 :三、组合截面的静矩例2:如图7-2，由两个矩形截面组合成的2A =270 50mm ,解：因为是组合0Q-T形截面，y轴为对称轴，300 30mm2,对乙y轴的静矩。故有:图形，又关于轴对称,Zci A =0,(乙=Z2 =0);270图7-2、惯性

5、矩的定义定义：面积对坐标轴的二次矩yciA二y?A215 300 30 专 30 270 込23"625 105(mm)2,（二）惯性矩和惯性积，方位设一平面图形7-3，取一元面积dA，坐标为（z,y），距原点的距离为角为 v，定义：I z = a y2dA;I y = A z2dA -;I zy 二 a zydAIz，ly 平面图形对z,y轴的惯性积lyz平面图形对z,y轴的惯性积 、性质1、Iz，ly恒为正，lyz可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标轴的位置有关。2、单位：（长度）4;例:计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。解：用平面极坐标Iz A y2dA厂

6、dA= pd9_ y = Psin 0;z= PcosO.d fO。2 ?2sin2, - d- d，=i。2 ? 3d J ； sin2 丁"cos2 呵d?叮d 44 i2丿d4由于对称：lz=ly -d4641极惯性矩：|.：=lz |y=2lz=2lyd32对过形心的一对轴的惯性积I zy = zydA = o2.2 二costsi n”dvd=0因坐标轴是对称轴，如对左右的dA ,（如上图），zydAzydA = o 1=1-1 >=结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的lzy=0“訓31）对矩形截面，过形心轴的惯性矩：2）若为组合图形，对 z

7、轴，y轴的惯性矩:lyi，因 I z = iy2 dA,原面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因iIozb+ |质量连续分布，求和则为积分。应用于圆环的情形，可看成两个圆形截面,I 厂 I：；-IIz Iy =2Iz =2Iy,Ip 1 仏 D4 兀 d4、I z = I y2232dD.32丿二 D464（1），3）惯性半径（回转半径）的概念如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义（三）惯性矩和惯性积的平行移轴公式、公式如图7-5示：任一平面过形心 c的坐标系ZOY，截面对Z、y的惯性矩为lz,ly, Izy与 ZOY平行的坐标系为 Z '0'，由图知截面对Z'、y'的惯性矩为|z、|y、|zyz'：=b z / = a ylyAz 2dA 二 A z b 2dA=I y 0 b2 A=A z2dA 亠 * 2zbdA 亠 iA b2dAlz = lz a2AI