若干重要数论问题的证明沈卫国

1、第卷第期年月天津职业院校联合学报若干重要数论问题的证明沈卫国（西北工业大学信息智能与逻辑研究所，陕西省西安市）摘要：通常认为，若干重要数论问题是不能用初等数论的方法解决的。但这一结论本身就未加证明。文章尝试用初等数论的方法，对若干这样的问题进行证明，其过程简单、明确。结论具有易判性。关键词：角谷猜想；猜想；冰雹猜想；乌拉姆猜想；强哥德巴赫猜想；黎曼猜想；证明；初等数论中图分类号：文献标识码：文章编号：（）收稿日期：作者简介：沈卫国（），上海人，中国城镇供热协会区域供热杂志主编，被聘为西北工业大学信息智能与逻辑研究所研究员，主要研究科学理论、数学基础理论、热力学理论。一、角谷猜想（冰雹猜想、猜想

2、、哈塞猜想、乌拉姆猜想、叙拉谷猜想）角谷猜想为：任何奇数乘以，再加（，为任何奇数），得到一个偶数后，再不断除以，直到得到一个奇数。然后再重复上述操作，最后终会得到。以下寻求这个猜想的证明。引理：，为奇数，所得偶数间隔必为的倍数。证明：极其明显的，作为奇数的的间隔为的倍数。乘，自然得的倍数；每次均加，间隔不变。即：时，为；时，为；时，为；等等。当然，这些数并不全是偶数。引理：由角谷猜想的运算步骤，除了的情况，不可能出现循环。即由任一奇数（）出发，经反复操作，又能得到该奇数的情况不可能出现。证明：完成一次角谷猜想的操作结果：（）的倍数的倍数的倍数完成两次角谷猜想的操作结果为：的倍数的倍数）的倍数的

3、倍数的倍数的倍数的倍数的倍数完成第三次角谷猜想操作的结果为：的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数）的倍数的倍数的倍数的倍数我们还可以不断做下去。如果在某一步后，正如角谷猜想所预言的，都会得到，则整个式子应等于。以式为例（假设整个操作以次结束），令其等于，则可得到：的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数可以看到式右边分子、分母都是奇数，因此等式右边完全可以得到整数，此式完全有可能成立。另一方面，如果按角谷猜想的运算步骤，若干步后最终得到原设奇数，即运算是循环的，则式右边必等于原设初始奇数，则可得到：的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍

4、数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数的倍数可以看到，尽管式右边分子、分母都为奇数，但其为负数，而必须为正数。因此，此式不可能被满足（也就是式右边不可能等于），于是角谷猜想的运算在时不可能出现循环，得证。引理：对偶数而言，如果其形式为奇数，即只有一个因子，则相邻两个奇数所产生的两个偶数间隔为。如，等等，同理，形式为奇数的，间隔为。如，等等。同理，奇数的，间隔为；奇数的，间隔为；，依次类推。其证明类似引理，从略。直观的，参见表。表中每一偶数的下角标的数字，为该偶数中因子的个数。特别应注意，只有因子的偶数（因子自然不算），等等，其相邻两数的间隔是以指数级别越来越大的，即，。由引理（同时参见表）可以理解，

5、只含一个因子的偶数，占全部自然数的，也就是占全部偶数的。而有两个以上因子（即因子以上）的偶数，占到全部偶数的另外；其中只是两个因子（即因子）的占整个偶数的；三个因子以上的，占到整个偶数的另外；同理，只是三个因子（即因子）的，占到整个偶数的；四个因子以上的，占到另外的；，其它依次类推。表从表我们还可看到，满足角谷猜想操作所得到的偶数，由于间隔为，因此，只能为：（时），等偶数，其中只有一个因子的，仍占这一偶数子集的；有两个因子的，占；有三个因子的，占；。这可看成是引理，其证明很简单：间隔中有奇数因子，因此与纯含因子的间隔，等，不可公度。因此所取到的含不同数量的因子的偶数占所取偶数总数的比率，仍与原

6、先一样。可以看出，如果要通过角谷猜想规定的运算步骤最终达到（即角谷猜想如成立），须先得到只有因子的那些偶数（或只有这一个奇因子），我们看到，在经过（为任意奇数）的运算后，是可以得到，等等的（当然没有，等等）。反之，如果角谷猜想不成立，这些无奇因子的偶数必然不会通过某个或某些奇数的运算得到。而由我们前面证明的引理知道，角谷猜想的运算过程不会导致循环。同时在任一给定范围内，满足运算的偶数有限，因此，要想满足上述条件，只有这一或这些奇数每一次进行角谷猜想运算的结果，总趋势是所得数（无论偶数还是奇数）逐渐变大的，否则早晚会达到，之类只包含因子的（自然不算“因子”本身）偶数，也就是达到。换言之，要保证从

7、某或某些奇数开始的这种运算的结果，必须永远“遗漏”，这样的偶数才有可能。由引理及表可知，某类数的间隔越大，在总数中所占比率相应越小；反之则越大。而比率越大，无论随机取数还是顺序取数，取到的都相应多；反之则少。而且比率是与间隔相当的。同理，又由引理，如果间隔为地取数，在取数多时与随机取数相似；或在取数少时看作顺序取数，于是，取到的偶数类型所占的比率，是与其在全部偶数集中的比率相当的。如果同时考虑角谷猜想的运算步骤的约束条件，同时它的运算得数如与随机取数无异，则经若干次运算操作后，得数必然减小而非增大，于是不满足角谷猜想不成立的必要条件。这里我们有近似公式：）其中：为角谷猜想的总运算过程数。而任一

8、奇数的倍数为其一个运算过程。这里将“”舍弃，因此所选奇数越大，精度越高。而，。其中，。同时，。式反映我们进行角谷猜想所要求的次运算时，所最终得到的数的上限（最大可能数）与最初选择的那个奇数的比率。如果我们将代入，也就是假设有一个角谷猜想的运算进行了次，则有：）而如果，则有：）可见，在足够大时，经过若干次角谷猜想的运算，所得数只能减小。因此不满足角谷猜想不成立的所得数必须增大的必要条件。当然，以上结果的前提是：角谷猜想的运算结果是类随机的。它不会在无穷个运算次数中都永远得不到某些特定的数，特别是仅以作为因子的数。此点仍需证明。我们知道，在角谷猜想的运算过程中如只除一次即可完成（重新得到一奇数），

9、也就是运算后所得偶数只含一个因子，则经过一次运算后，所得新的奇数是大于原设奇数的。因为在足够大时新得奇数约等于倍原设奇数。如这运算可连续进行两次，则约为倍。依次类推，所得新的奇数是不断增大的。而如果运算后所得偶数包含两个因子（即），则在运算后（足够大时），所得新奇数约等于原设奇数的。依次类推，所得新奇数是不断减小的。而在一次运算后得到只有一个因子的偶数、下一次得到有二个因子（即）的偶数的情况，则有，在足够大时，约等于倍，只有微小增大。而其它情况，运算所得新奇数都将减小（读者可自行验证）。因此，要想在角谷猜想的运算中所得新奇数不断增大，必须重复以上二种运算，或以上二种运算不但存在，而且相对其它运

10、算的比率足够多才行。但这一点在现实中不被满足，证明如下：由某一奇数起始的某一具体角谷猜想运算过程，是角谷猜想运算过程可能得到的全部偶数集合的一个子集。因此也应该满足其全部性质。由引理，从某个奇数开始的角谷猜想的具体运算过程如想刻意避开某些偶数，比如，则必须满足公度性。但这一点同样已知不会被满足。因此经若干次角谷猜想规定的运算后必能达到上述那些偶数。得证。通过上面的讨论、几个引理及其证明可知，角谷猜想必然成立。二、强哥德巴赫猜想的证明哥德巴赫猜想的表述早已为人所知，此处不再重复。但哥氏猜想并未就构成任一偶数的素数对的个数作任何陈述。换言之，任一偶数只要有一个素数对，哥氏猜想即成立。此文将证明，满

11、足哥氏猜想的素数对存在下限，并且此下限随偶数的增大而以固定规律（依赖于）增大。这是一个比传统哥德巴赫猜想强的命题。为区别于传统意义的哥氏猜想，特称其为“强哥德巴赫猜想”。以下就此问题进行具体的分析。由偶数的定义可知，任一偶数都是一个自然数与的乘积。此时该自然数被认为是所给偶数的“中点”。其中又分为如下几种情况：、那个自然数（中点）是素数，如、等；、那个自然数（中点）是非素奇数，也就是包含素数因子的奇数，如、等；、那个自然数（中点）是包含素数因子的偶数，也就是同时包含偶数因子，如、等；、那个自然数（中点）是没有素数因子的偶数，也就是形如的数，其中是任意自然数，如、等。情况，根本无需证明。两个该素

12、数之和（或乘以）。当然是偶数。如。其它几种情况，如将该偶数表为两个奇数之和，则必然是其中一个小于该偶数除以后的中间数，另一个则大于该中间数，且该二奇数以此中间数为中心对称分布。比如偶数，其中间数为，满足二奇数和为的奇数对分别为、；、；等等。它们每一组是以为中心对称分布于二边的。毫无疑问，如果哥德巴赫猜想成立，则满足该猜想的素数对必也满足上述对称条件。下面先证明一个引理。引理：某素数的合数（指含该素数因子的数。这里包括该素数自身），在删除了其它素数的合数后的集合中所占的比率（当然包括其它素数因子的该素数的合数），与其全集在自然数中的比率一样，不变。证明：设有某素数，其合数（所有含其为因子之数）在

13、自然数中的比率为。在自然数中删去素数（）的所有合数，即在自然数中删去了个数，其中也包括素数的合数中的个。此时的合数的个数为自然数自然数自然数（）在自然数中删去素数的全部合数的集合即此时剩余的的合数的个数仍占删去素数的所有合数后的集合的，得证。比如，的所有合数占全部自然数的，同样其奇合数也占奇数集合的。因为删去的偶数集合中也包括了的的合数。比如，等等。又比如的合数，在删去全部偶数集合及全部的合数集合后，在此剩余集合中的剩余合数集合仍占其。其余类推。对于前文第、种情况中，由于所给偶数的中点数包含素数因子，于是由该中点数向二边（增大与减小）方向对该素数因子对称。于是以此中点数为中心左右两边（大与小）

14、相互对称的奇数所构成的奇数对，要么同时是该素数的合数，要么不是。于是，是该素数的合数的奇数对为全部以所给偶数的中点数为中心的素数对总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总数的个。而对于情况及情况、中，如果以中间数为中心左右（大、小方向）对称的奇数对中所包含的素数因子并非我们上面所讨论的情况，则相对该中点对所论素数是非对称的，即所论奇数对不能在中点二边对称位置同时得到包含所论素数的合数，而是有先有后。于是，满足所论素数的合数的奇数对为所论奇数对总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总数的个。当然，上述结果没有述及所论奇数对的总数不能被该素数整除这一极其普通的情况。实际上，在此情况下，我们舍弃

15、相除的余数，只保留整数，如果结论不变，将会有误差。但如果所论偶数足够大时，误差是极小的，而且随偶数的增大越来越小。现举例予以直观说明：如果所选偶数为，则中点数为，这符合“情况”，其为素数的合数。分别对称地位列两边（满足其和等于）的奇数对为、；、；、；、；、；、。注意，奇数对、不被计入，因为通常不被认为是有意义的素数。我们看到，满足要求的奇数对共有个，可以被所论素数整除（其中有素数因子）的有两对，为、；、。，即为总奇数对的三分之一。如果所论偶数为，则中点数为，符合“情况”，其两边对称的奇数对为、；、；、；、；、；、；、；、。共对，除以所论素数得：，不能被所论素数整除，如果如前面所论的做法舍弃余数

16、（即分数），则得整数，但有所论素数因子的奇数对有、；、；、。共三对，有误差。但这种误差随着所选偶数的增大将越来越小，而且对下面的讨论没有任何影响。如果所选偶数为，则中点数为，其不是所论素数的合数（同时符合“情况”），于是应该是“满足所论素数的合数的奇数对为所论奇数对总数的个，具体这里也就是（因为这里的“所论素数”为），而不再是了。在两边对称的奇数对为、；、；、；、；、；、；、。共对。乘以，舍弃余数（分数部分）后整数部分为，我们看到，上述对奇数对中含有素数因子的为对，分别是、；、；、；、；、。相对于而言，有所误差。但如果所选偶数非常大，我们将会看到，这种误差对下面将要进行的讨论无任何影响。对于所

17、论素数大于的情况，读者可自行验证。引理：有某素数及整数，当时，从以下的任何数不会是大于的两个素数相乘的合数。证明很容易。设，则，得证。引理：任何间隔为某素数的两个奇数间，当然有该素数个不同的奇数，但其中必有、且只有一个含有该素数的奇合数存在。证明：如其不然，则起码应有一个间隔为某素数的两个奇数间，没有（或有多于个）含该素数的奇合数存在。也就是说，必然存在两个相邻的奇数，它们分别与该素数的乘积之差，大于（或小于）间隔该素数。但我们知道，任何两个相邻的奇数间隔为，而如此的两个相邻的奇数分别与所论该素数的乘积（也就是包含该素数的奇合数）之差，即为也只为该素数。所以总会有一个且只有一个满足条件的奇合数

18、存在。引理得证。引理：任何间隔为某素数的两个奇数间，其中必有、且只有两个含有该素数的奇合数存在。证明：由于它的间隔比引理所述情况的大一倍，所容纳的合数自然也多一倍，也就是两个。我们知道，由“中间数”向大小两边对称、同步地列出奇数对时，其间隔正是以的倍数增加的。由引理可知，每当我们列出“某素数个”这样的奇数对时，必在中间数的大小两边分别各有且只有一个含有该素数的奇合数。同时，当该“中间数”本身就是该素数的合数时（注意，当然不一定是奇合数，也可以是偶合数），在上述做法下，含该素数的奇合数是成对（可视为“同时”）出现的，其它情况则不同时，也就是“分别”先后出现，即不成对出现。以下将在上述讨论的基础上

19、，证明强哥德巴赫猜想。对任一偶数，小于它的奇数有个；分别位于中点二边的奇数对有对只取整数部分个（即如有分数部分，就将分数部分舍弃）。当然，这里是将这个特殊的奇数包括在内的。再由引理、引理及引理可知，这些奇数对（共取模个）中有素数因子的奇合数最多，最多占奇数对总数的（此时不考虑相对中点对素数对称的情况，也就是有素数因子的奇合数占奇数对总数的情况）。换言之，没有素数因子的奇数对占奇数对总数的，即个（不考虑除不尽时的分数部分）。而在这些已不含素数因子的奇数对中，同理，含有素数因子的，又占其（同样考虑相对中点非对称的“最不利”情况，否则为）。而不含素数因子的奇数对占奇数对总数的，即个（舍弃分数部分），

20、余类推，比如素数、等等。直到某素数，这是引理 所决定的 。 于是 ， 在 之下 ， 再无素数因子大于等于 的 为小于 槡 的最大一个素数 ， 合数存在 。 于是我们有所给偶数 之内的不含合数的奇数对 （ 即素数对 ） 为： 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 ， 、 。 。 倒数第二步 为倒数第三步分子 分 母 上 下 相 消 所 得 此 式 在 时 总 被 满 足 特 别 当 （ ） 即满足哥德巴赫猜想偶数 的素数对数不少于 槡 由公式 且随 趋于无穷 !， 时 ，槡 。 这里应该 而趋于无穷 。 这是一个比传统哥德巴赫猜想强的结论 ， 因此 ， 可称之为 “ 强哥德巴赫猜想 ” 。 但即使如此

21、 ， 特别说明的是 ； 上式中所有小于 槡 也被删去了 （ 因其显然可以被自身整除 ） 的素数 ， 哥德巴赫猜想也能被满足 。 如果算上由这些本不该删的素数可能 构 成 的 素 数 对 ， 满足歌德巴赫猜想 的素数对将更多 。 此外 ， 也应该说明 ， 偶数 内的奇 数 对 为 （ 取整） 个， 但 （ 类型的奇数 ） 对不能算 。 因为 不是一般的素数 。 通常将其排除在外 ， 哥德巴赫猜想也不包含这种类型的素数对 。 所有公式 中的 ， 实际应 为 。 比 如 偶 数 中间数（ 中 点） 为 算 ， ， 的奇数对共 ， 个， 不算的则为 个 （ 有效的 ） 但 足够大时 ， 此误差几乎不用

22、考虑 。 前已述及 ， 尽管公式 对证明哥德巴赫猜想已经足够 ， 但由于将 、 、 、 等素数也记入了含素 因子的合数中 ， 因此对于确定素数对数目而言 ， 并不精确 。 尽管 这 与 传 统 哥 德 巴 赫 猜 想 已 无 关 系 ， 但 给出一个更精确的素数对数目公式还是有意义的 。 这里我们提出更精确的公式 ： ） （ ） （ ） ） （ ） （ （ ） （ ） （ ） （ 其中 、 的含义与前文相同 。 为所论偶数 ； 是满足小于 槡 的最大的一个素数 。 我们之所 以在每一因子项中加一项 ， 是为了取回已被删去的相应素数 。 不难看出 ， 式 的每一因子都大于式 ） 的相应因子 （

23、不考虑 与 （ 的误差 ）。 因此 ， 式 之值大于式 之值 ， 不影响强哥德巴赫 猜想的结论 。 当然 ， 此式有一不能 整 除 时 的 取 模 问 题 。 可 以 证 明 ， 一 个 分 数 取 模 后 再 加 ， 与其加 。即： 后再取模是一样的 （ 证明从略 ） ， 其中符 号 表 示 “ 取 模” 即 取 整 数 部 分。由 于 此 细 节 对 证 明 已 无 大 碍， 故可不予考 虑。 至此 ， 强哥德巴赫猜想得到证明 。 为帮助读者理解 ， 现举一个简单的例子予以说明 。 设所论 偶 数 为 其“ 中 间 数” 为 ， ， 奇数对为 个。它 们 分 别 是： 、 ； 、 ； 、

24、； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 。 最 “ 、 ” ， 。 后一对 当然无意义 可舍去 这些奇数对中不含素数 因子的奇数对约占 个的 分之 ， 它们分别是 ： 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 。 共 对 。 其 中 不 包 含 素 数 因 子 的 奇 它们分别是 数 对又约占 对里头的 分之 对 ， 、 ； 、 ； 、 ； 、 。 共 对 。 其中不含素数 共对， 分别是 其 因子的奇数对又约占 分之 ， 、 ； 、 ； 、 。 而大于素数 的素数

25、为 ， 超过了所论偶数 不予考虑了 。 实际上 ， 上面 个奇数对 ， 已经是素数对了 。 它显然大 平方为 ， ， 再 取 整。 随 着 所 论 偶 数 （ 于强哥德巴赫猜想所要求的 槡 也可以说中间数） 的 增 大， 误差将越来越 小， 以致最终完全可以 忽 视 。 当 然 ， 特 别 应 该 提 及 的 是， 即 使 在 所 论 偶 数 很 小， 误 差 存 在 的 情 况 下， 、 两式也依然成立 。 、 说明 ： 笔者在得到本证明后 ， 偶然发现胡桢 （ 已去世 ） 唐国胜二先生以不同的方式得到与我几乎相同的结果 ， 殊途 同归 。 他们的论述究竟可否看作证明 、 或证明是否严密 ，

26、 是另 一 个 问 题 。 但 无 疑 ， 这说明我们的结果都反映了素数的 同一客观规律 ， 值得重视 。 毕竟 ， 三个人 分 别 “ 独 立 地” 错 到 一 起 去 的 可 能 性 是 很 小 的。同 时， 他 们、 特别是胡桢先生 （ 据笔者目前的了解 ， 他最早得到这一结果 ， 尽管没有正式发表 ） 的历史性贡献 ， 应该得到充分的肯定 。 三、 黎曼猜想的间接证明 已知函数 ： ） （ （ ） ） 其定义域为自然数集 。 称为默比乌斯 （ 函数 。 其定义为 ： ） 、 ； （ ） 如果 有一个平方因子 ， 那么 （ 、 ； ） 如果 是一个素数 ， 或者是奇数个不同素数的积 ， 那么 （ 、 ； 、 ， （ ） 。 如果 是偶数个不同素数的积 那么 ） 的累加值称为麦尔滕函数 ， 即对某个数 ， 我们有 ： （ ） ） ） （ ） （ （ （ （ ） 。 而下式 围绕 不规则地在正 、 负数间来回摆动 （ ） ） （ ） （ 。 其中 为任意小的数 。 的定义为 ： 与黎曼猜想等价 如果对于足够大的自变量 ， 函数 的 。 那么函数 就是函数 的 大小绝不超过函数 的某个固定的倍数 ， 。 即一 公式 实际是一个定理 ， 它实际是说 函数的增长恰如一场掷币操作中的超出量 这两种情况的概率各占 。 个无平方因子数要么有偶数个素因子 ， 要么有奇数个素因子 如