二次函数考查重点与常见题型

1、(1) 参考材料 二次函数考查重点与常见题型 （复习） 1 考查二次函数的定义、性质，如： 已知以x为自变量的二次函数 y =（m -2）x2 m2 -m - 2的图像经过原点，则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像。 如图，如果函数y =kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y = kx2 bx-1的图像大致是（ ） B C D 5 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 。女口：已知一条抛物线经过（0,3）, （4,6）两点，对称轴为x ,求这 3 条抛物线的解析式。 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 、对称轴、二次函数的极值。 3 已知抛物线 y=ax2

2、+bx+c （a 丸）与 x 轴的两个交点的横坐标是 一 1、3,与 y 轴交点的纵坐标是 一； （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向 、对称轴和顶点坐标. 例题经典 5 考查代数与几何的综合能力 ,常见的作为专项压轴题 (1) 参考材料 （1）二次函数 A.第一象限 2 C ax bx c 的图像如图 1,则点M（b,）在（） a D.第四象限 已知二次函数 B.第二象限 C.第三象限 y=ax 2+bx+c （a 丸）的图象如图 （2） 函数值相等：4a+b=0 ;当 y=-2 时，x 的值只能取 2 所示,?则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时,

3、0.其中正确的个数是 （） A. 1 个 B. 2 个 参考材料 标的取值范围；若不存在，请你说明理由 例 7、 已知函数y =丄x2 bx c的图象经过点 A ( c,- 2), 2 求证:这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 (1)根据已知和结论中现有的信息 ，你能否求出题中的二次函数解析式 ？若能，请例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x轴交于点(-2 , 0)、(xi, 0),且 1xi2 ,与 y 轴的正半轴的交点在点(0, 2)的下方.下列结论：ab0 :4a+c0 ,其中正确结论的个数为() A 1 个 B.

4、2 个 C. 3 个 D . 4 个 例 3.已知：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ,且二次函数 y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2 ,则 抛物线的顶点坐标为() A(2, -3) B.(2, 1) C(2, 3) D. (3, 2) (2006 年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合.设 x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 (1) 写出 y 与 x 的关系式； (2) 当 x=2 , 3.5 时，y 分别是多少？ (3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标

5、、 对称轴. 1 5 例 5、已知抛物线 y= x2+x- 2 2 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴 (2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长. 例 6.已知：二次函数 y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4, 10),交 x 轴于 A(X1,O) , B(X2,O)两点(X1 ： X2),交 y 轴 负半轴于(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M ,使锐角/ MCOZACO?若存在，请你求出 M 点的横坐 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 时, 参考材料 写出求解过程，并画出二次参考材料 函数图象；若不能，请说明理由。

6、（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE （如图），其中 AF=2，BF=1 .试在 AB 上求一点 P,使 矩形 PNDM 有最大面积. 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）？与产品的日销售量 y （件）之间的关系如下表 X （元） 1 2 3 5 0 0 y （件） 2 2 1 5 0 0 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. （1） 求出日销售量 y （件）与销售价 x （元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润

7、最大，每件产品的销售价应定为多少元 ？ ？此时每日销售利润是多少元 ？ 例 3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线 .如图所示,正在甩绳的甲、乙两名 学生拿绳的手间距为 4 m ,距地面均为 1m ,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2. 5 m 处.绳子在甩 到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高 身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示 ） 是 1 . 5 m ,则学生丁的 ( ) A. 1 . 5 m B. 1 . 625 m C. 1 . 66 m D. 1. 67 m 参考材料 分类试题 二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不

8、为 0,且二次函数的表达式必须为整式 ） 1、下列函数中，是二次函数的是 y=x 2 4x+1 ; y=2x 2; y=2x 2+4x ; y= 3x; 沪2x 2x 1 1; y=mx 2+nx+p ; y =(4,x); y= 5x。 2 2、若函数 y=(m 2+2m 7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。 二次函数的对称轴、顶点、最值 2 .抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为 (1 , 3),则 b = , c= . 4 .若抛物线 y= ax2 6x 经过点(2 , 0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为 () A. . 13 B.、. 10 C.

9、,15 D. 14 5 .若直线 y = ax + b 不经过二、四象限，则抛物线 y = ax2 + bx + c() A.开口向上，对称轴是 y 轴 B 开口向下，对称轴是 y 轴 C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴 1 6 .已知抛物线 y = x2 + (m 1)x 一的顶点的横坐标是 2 ,则 m 的值是_ 4 - 8 .若二次函数 y=3x 2+mx 3 的对称轴是直线 x= 1,则 m = 。 9 .当 n = _ m = _ 寸，函数 y = (m + n)xn + (m n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口 函数 y=ax

10、2+bx+c 的图象和性质 1. 把抛物线 y=x2+bx+c的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x2 3x+5，试求 b、c 的值。 函数y=a(x h)2的图象与性质 1 .已知函数 y=2x 2,y=2(x 4)2 ,和 y=2(x+1) 2。 (1) 分别说出各个函数图象的开口方 、对称轴和顶点坐标。 (2) 分析分别通过怎样的平移 。可以由抛物线 y=2x2得到抛物线 y=2(x 4)2和 y=2(x+1) 2 ? 1 2 .二次函数 y=a(x h)2的图象如图：已知 a= , OA = OC,试求该抛物线的解析式 。 2 二次函数的增减性

11、1. 二次函数 y=3x2 6x+5 ,当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大;当 x 2 时，y 随 x的增大而减少;则 x= 1 时,y 的值 为 。 1 5 3. 已知二次函数 y= x2+3x+ 的图象上有三点 A(X1,y1),B(X2,y2),C(X3,y3)且 3X1X20,b0,c0 的图象如右图所示， B.aO,bO,c=O y=2x 2 4x+3 ,则 a、 b、c的关系 则 a、b、c 的符号为 C.aO,b0,b0,c 0 的图象 2 如图所示, 则下列结论正确的是 B. b -2a C. a-b+c 0 D. c0 ; A. a

12、+b+c 0 B. b = 4a ,它的图象如图 3,有以下结论： a-b+c 0 b 2-4ac0 abc 0 ; C. D. 其中正确的为（ 1 1 y / ;/ 1 1 0 4.当 bbc ,且 a+ b + c= 0,则它的图象可能是图所示的 （） C D 6 .二次函数 y= ax2 + bx + c 的图象如图 四个代数式中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 5 所示，那么 abc, b2 4ac, 2a+ b , a + b + c B.3 个 D.1 个 | y I / 1 I 1 7.在同一坐标系中，函数 y= ax 2+c 与 y= c （ac）图象可能

13、是图所示的（） x r C C A A B D 二次函数与 x轴、y轴的交点 （二次函数与一元二次方程的关系 1. 已知抛物线 y= 5x2+ （m 1）x + m 与 x轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离平方等于为 49 ,则 m 的值为（） A. 2 2. 若二次函数 B.12 C.24 D.48 y= （m+5）x 2+2（m+1）x+m 的图象全部在 x轴的上方，则 m 的取值范围是 参考材料 3. 已知抛物线 y= X2-2X-8 , (1) 求证：该抛物线与X轴一定有两个交点； (2) 若该抛物线与X轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求厶 ABP 的面积。 函数解析式的

14、求法 一 、 已知抛物线上任意三点时 ， 通常设解析式为一般式 y=ax 2+bx+c ， 然后解三元方程组求解 ； 1. 已知抛物线过 A (1 , 0)和 B (4 , 0)两点，交 y 轴于 C 点且 BC= 5 ,求该二次函数的解析式。 二、 已知抛物线的顶点坐标 ， 或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时 ， 通常设解析式为顶点式 y=a(x h)2+k 求解。 2. 已知二次函数的图象的顶点坐标为 (1，6)， 且经过点 (2，8)， 求该二次函数的解析式 。 三、 已知抛物线与轴的交点的坐标时 ， 通常设解析式为交点式 y=a(xx1)(xx2)。 3 . y= x2+2(

15、k 1)x+2k k2,它的图象经过原点，求解析式 与X轴交点 0、A 及顶点 C 组成的 OAC 面积。 二次函数应用 1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品 ， 销售一段时间后 ， 为了获得更多的利润 ， 商店决定提高销售价格 。 经检验发 现， 若按每件 20 元的价格销售时 ， 每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时 ， 每月能卖 210 件。假定每月销售件 数 y(件)是价格 X 的一次函数. (1) 试求 y 与X的之间的关系式. (2) 在商品不积压 ， 且不考虑其他因素的条件下 ， 问销售价格定为多少时 ， 才能使每月获得最大利润 ， 每月的最大利 润是多少 ？ (总利润=总收入 总成本 ) 2. 有一种螃蟹 ， 从海上捕获后不放养最多只能活两天 ， 如果放养在塘内 ， 可以延长存活时间 ，但每天也有一定数量的 蟹死去 ， 假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变 ， 现有一经销商 ， 按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘 内， 此时市场价为每千克 30 元， 据测算 ，以后每千克活蟹的