同济高等数学第六版-D7_3齐次方程ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程 第三节 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通

2、解为xCxysin( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 为任意常数 )0C此处目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(阐明阐明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 目录 上页 下页 返回 结束 x由光的反射定律:可得

3、OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO = OMOPAP xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.目录 上页 下页 返回 结束 21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvy

4、vyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 目录 上页 下页 返回 结束 yxAO顶到底的距离为 h ,hdC82阐明阐明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2C作业 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 1

5、11时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数), 目录 上页 下页 返回 结束 ,代入将kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh1,5hk 得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:目录 上页 下页 返回 结束 15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思索思索: 若方程改为若方程改为 ,64dd