关注思维过程

1、关注思维过程 培养创新能力浙江象山第三中学 张文瑞 315700数学问题是培养学生创新能力的载体，关注解决问题的思维过程是培养创新意识和创新能力的重要途径。课堂教学是师生的双边交流活动，教师在其中起着全方位调控学生思维的指导作用。面对一个具体的数学问题，学生时常由于思维受阻、停滞和定势而带来负面影响，阻碍了创新意识的树立和创新能力的培养。为此，在数学教学中，教师要关注学生的思维过程，引导学生不断进行反思，积极寻找思维的空白点、难点、缺点、重点、盲点和交汇点，尽可能改变固有的思维模式，激活学生的思维状态，以此来培养学生的创新能力。一、关注思维“空白点”，引发创新意识在解决某些数学问题时，利用现有

2、的概念、定理、公式和法则不能达到理想结果时，或者根本达不到目的时，教师在教学中需要引导学生有意识地放大考察的视角，寻找思维的空白点，通过科学的设问，来探索新的解题途径，激活学生的创新思维，引发学生的创新意识。例如：f（x）=kx3 +1（kR），已知x= +2是方程f（x）=0的一个根，求f（ ）的值。在实际解答过程中，几乎所有每个学生都是先求k再求值。此后教师继续向学生发问：能不能利用函数的奇偶性，不求k也能求出f（ ）的值？学生通过不断反思找到了原有思维的空白点，于是得出了以下简捷的解法：由f（x）1=kx3 ，得f（-x）1=k（-x）3 =（kx3 ） f（x）1= f（x）1 x=

3、+2是方程f（x）的根，f（ +2）=0，从而f（ +2）1= 1 f（ ）1=f（ 2）1=f（ +2）1 =1 f（ ）=2。二、关注思维“难点”，树立创新信心在解决问题时，学生时常碰到思维受阻，找不到解题的切入口，甚至停滞不前，这就是所谓思维的“难点”。思维的难点是教师在教学中不可回避的一个矛盾，教师的创新就在于难点问题的处理。因此，在教学中教师要关注学生思维过程中问题的难点所在，化解问题解决的适当难度，使学生的思维得以步步深入，克服怕难就退的思维障碍，通过师生思维的互动，不断树立学生的创新信心和决心，有效地去解决问题。例如：求函数f（x）= + 的最小值。学生在做此题时，若用常规方法去

4、解决，肯定找不到解题的切入口，解题思维受阻。此时教师就要引导学生观察函数f（x）的表达式的形式结构，辨认出它就是两个两点的距离之和（f（x）= + ），然后提示学生将问题用几何（图像）表征出来，结果就把问题化解为“已知直线y=x上一点P（x，x），求它到两点A（3，0）B（4，1）的距离之和的最小值”，学生很快得以解决。该问题思维上的难点就在于表达式的变形和问题的表征，需教师积极引导学生仔细观察、思考和联想，创造性地解决问题。 三、关注思维“缺点”，健全创新思维关注学生认知思维结构的不和谐之处，抓住学生面对新问题时出现的无所适从之处，在教学中，教师要精心设计数学问题情境，让学生反思思维过程，找

5、到思维的缺点所在，触发学生的兴奋点，在疑与思的循环和矛盾中，不断产生认知冲突，用积极亢奋的思维状态去探索和研究问题，弥补思维缺点，健全创新思维。例如：讨论当m变化时，方程mx2+（2-m）y2=1所表示的曲线的形状会发生怎样的变化？学生面对这个问题会出现无所适从，不晓得从哪些开始说起曲线的形态会怎样变化，或者学生在思维过程中往往会出现遗漏不全现象。在教学时，教师可以引导学生通过数轴来发现“质变点”系数的零点，结合利用几何画板制作的软件，绘声绘色地描述曲线的动态点。当m0时，随m的增大焦点在y轴上的双曲线开口渐渐张大，当m=0时，曲线突变为两条平行于x轴的直线；把两条直线慢慢弯成扁椭圆（0m1）

6、再把椭圆似皮球般充气，逐渐鼓起为圆（m=1），进而挤压成竖椭圆（1m2）继续充气则裂变成两平行于y轴的直线（m=2）最终把它变成焦点在x轴的双曲线（m2）。四、关注思维“重点”，培养创新能力重要的问题，重要的知识，讲一遍，练一遍是不够的，对教学中重要的内容需要一个巩固练习的过程，在知识的学习中常用“熟能生巧”这个成语来鞭策自己，其实不然，在一次次考试中，学生时常出错。这就需要教师既要关注学生的思维过程，了解学生对重点的问题、知识掌握情况，又要对学生进行一定量的变式训练。通过不断的变式训练，让学生识别问题的实质，来培养学生的创新能力。例如：求函数f（x）=x2+2x+2 在区间-1，2上的最值变

7、式1：求函数f（x）=x2-2x+2在区间a，a+3上的最值变式2：已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间-1，2上的最大值为2，求实数a的值变式3：求函数f（x）=Sin2x-aCosx+6（aR）的值域，等等。二次函数在闭区间上的最值问题在高考中几乎年年考，可是每年都有大批的考生失分很多。只有加强上述几种模式的训练，才能突出二次函数闭区间上的最值的重要及思维的重点，认清这三个问题实质就是二次函数在闭区间上的最值问题，这些需要教师重新组合，充分调动学生已有的知识经验，以此来培养学生的创新能力。五、关注思维“盲点”，提高创新能力在数学学习中，经常会出现一些熟视无睹的现象，由于学生没有对这些问

8、题作深入的思考，导致认识不深，当这些问题出现在另一个问题情境时，就不能作出知识的迁移，从而形成思维的“盲点”，在教学中，教师要时常意识到这一点，关注思维盲点，通过学生对当前问题的解决，拓宽知识之间的联系，反思在原问题解决中忽视和没有注意到的，重视对新问题的解决起一定启迪作用的知识点，以此来完善数学思维，克服思维上的“盲点”，提高创新能力。例如：设、为锐角，且+=120°试求函数y=Cos2+Cos2的最值。部分学生错解的思维过程：y=Cos2x+Cos2=1+ （Cos2+Cos2）=1+Cos（+）Cos（-）=1- Cos（-） -1Cos（-）1 当 Cos（-）= -1时ym

9、ax= ，当Cos（-）=1时，ymin= 。 分析：上述恒等变形正确，问题在于-的取值能否使Cos（-）=±1，应根据所给条件进行分析。 、是锐角，+=120°30°，90°，-60°-60° Cos（-）1。当Cos（-）=1，即=60°时，ymin= ，最大值不存在。学生引起错解主要原因是忽视了角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性，这些都是学生思维的盲区。六、关注思维“交汇点”，强化创新能力数学知识是解决数学问题的基础，探寻知识点之间的联系是解题思维的重要出发点和解题思维活动过程的重要方面，解题过程能有效展示知识点间

10、的联系，引导学生反思解题所用的知识点，关注学生的思维过程，寻找知识之间的“交汇点”，理清由知识点形成的“知识链”，逐步从纵向和横向形成知识网络，扩充知识结构，并在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”，形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系，促使解题活动中的知识点产生“连锁反应”效应，优化解题过程，加强学生创新能力的进一步提高。例如：设函数Z=3Cos+i2Sin。求函数y=argZ（0 ）的最大值以及对应的值。解：由0 ，得tan0，由Z=3Cos+i2Sin，得0argZ 得tan（argZ）= = tan 故tany=tan（-argZ）= = 因为 +2tan2 ，所以 当且仅当=2tan（0 ），即tan= 时，上式取等号。所以当=argtan 时，函数tany取最大值 ，由y=-argZCosy（ ， ），由于在（ ， ）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值argtan 。引导学生反思寻找：1、知识点：三角公式，同角三角函数公式，复数的几何意义和性质均值不等式或二次函数的性质等；2、联合点：复数通过辐角与三角函数有机地联系在一起，弄清复数与函数的这一“联合点”，是此题顺利求角度最值转化为求三角函数最值的关键