可伸缩挠性结构的稳定控制

1、1998年2月中国空间科学技术1可伸缩挠性结构的稳定控制张洪华(北京控制工程研究所,北京100080)摘要对于挠性梁收缩过程的不稳定性,提出了边界控制方案,并设计了相应的控制律。受控结构的振动能量总是被耗散,系统的阻尼被增强,从而挠性梁的伸展过程、收缩过程和平台保持过程都被稳定化。主题词梁挠性结构结构稳定性振动控制方法1引言运用严格的分析方法,本文作者曾研究了可伸缩挠性梁结构的稳定性。发现结构振动与转动能量的耗散与积聚取决于梁的伸缩运动:在伸展过程系统的能量被耗散;在收缩过程系统能量被积聚;在平台保持过程系统能量维持不变。因此,梁的伸展过程是稳定的,梁的收缩过程是不稳定的,而梁的平台保持过程是

2、临界稳定的。众所周知,在未来大型空间飞行器在空间建造的过程中,姿态运动和维度变化运动通常是必需的运动,而挠性振动是不期望的运动,应当设法抑制25。而结构收缩过程的本质不稳定性将可能导致飞行器暂态过程的品质降低,甚至影响飞行器的使命。因此,有必要对其施加控制以使伸缩结构在所有过程都获稳定,进而具有期望性能。伸缩结构控制的研究许多是与绳系卫星的释放与回收控制有关25,但除有限的几篇文献外,这些研究均假设绳索的弹性可忽略。本文则以刚体与可伸缩挠性梁的互联结构为背景,引入能量函数并且利用能量耗散原理设计相应的控制器。12可伸缩挠性梁结构的运动方程考虑如图1所示的可伸缩结构,它由刚性本体R和联接其上的可

3、伸缩挠性梁构成。图中,OEXEYEZE表示惯性坐标系;O0X0Y0Z0表示轨道参考坐标系;O1X1Y1Z1表示与梁固连坐标系,其中O1X1与未变形梁方向一致。为便于分析,仅考虑其姿态运动、挠性梁的振动和梁的长度变化运动(维度运动),并且这些运动局限在轨道平面O0X0Y0内。则该结构中的运动可归结为坐标系O1X1Y1Z1绕O0Z0的旋转运动,在平面O1X1Y1内的挠性振动和挠性梁的轴向维度运动。:2中国空间科学技术1998年2月令 表示体系O1X1Y1Z1相对于体系O0X0Y0Z0的角速度;w(r,t)表示挠性梁上质量元的弹性位移; (t)表示刚体的角位移;JR表示刚体R的转动惯量;Jf表示挠性

4、梁在刚体R内部分的转动惯量;l=l(t)表示梁在t时刻的长度; (t)表示梁的伸缩速率;n(x,t)和m(x,t)分别表示梁的接触力和接触力矩;!是梁的质量密度;图1可伸缩挠性梁结构(t)是控制力矩。i1,j1,k1表示体系O1X1Y1Z1的单位矢量。假设梁是一端固连于刚体、一端自由的均匀悬臂梁,刚体内的部分集中在刚体的边沿,刚体外的部分是Eular-Bernolli梁,并且满足:其中性线(几何对称线)是刚体的,即不可伸缩;其弯曲位移的梯度很小。进而可设梁上任意点的伸缩速率一致2。对于小运动结构(小姿态运动、小伸缩率、小挠性变形和小挠性变形梯度),可进一步设:梁的接触力n(x,t)在截面方向的

5、分量n2主要取决于梁的剪力,于是,n2=-EIwxxx(x,t).梁的接触力矩m(x,t)=EIwxx(x,t)+m3(x,t)k1在自由端主要取决于梁的弯矩,或者梁上的陀螺效应忽略不计,于是,m(l,t)=EIwxx(l,t)k1.姿态旋转角速率 1以使 vw(x,t)dx0l + vw0l t+vwx+ (b+x)dx 1其中使用记号:( )x=( ),( )t=( ),( )=( )。dt在上述假设下,利用Newton-Eular方法可导出可伸缩挠性梁结构的运动方程(EI/!)wxxxx+wtt+2vwxt+wxxv+wxv+2 v- w+ (b+x)=0 2 (1)(2)JR+Jf(t

6、) =-bEIwxxx(0,t)+EIwxx(0,t)+m3(0,t)+(t)对于未受控的梁结构,已经证明梁的伸展过程是稳定的,收缩过程是不稳定的,而梁的平台保持过程是临界稳定的。因此,有必要对梁施加控制以使其具有期望的运动性能。3可伸缩挠性梁结构的稳定构造如下控制律:(t)=(b+l)EIwxxx(l,t)-EIwxx(l,t)-k-EIwxxx(l,t)=-#wt(l,t)+vwx(l,t)EIwxx(l,t)=-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)这里k,#,和%是待定常数。控制律(3)作用于刚体;控制律(4)和(5)作用于挠性体的自由端,-EIwxxx(l,t)是自由端的剪切力,E

7、Iwxx(l,t)是自由端的弯矩。-EIwxxx(l,t)和EIwxx(l,t)可由相应力(, (3)(4)(5)1998年2月中国空间科学技术3的力矩,这些量均可测得,因此,控制律是可实现的。构造可伸缩挠性梁结构的能量函数V=JR+Jf(t) +!0(r-vi1) (r-vi1)dx+EI2ll2wxxdx0(6)其中第一项表示刚体与收拢在刚体内的挠性梁部分的旋转动能;第二项表示伸展开的挠性梁的动能(不含轴向运动动能);第三项表示伸展开的挠性梁的弹性势能。定理1:假设伸缩结构式(1),(2)的控制器由式(3)(5)给出。若下列条件成立 在式(3)中,k>0 在式(4)中,#>0在

8、式(5)中,0<EI/ v=0,若v0!在式(5)中,>1,若v<0,wxt(l,t)wxx(0,t)0<-1,若v<0,wxt(l,t)wxx(0,t)<0则对适当小伸缩速率v,式(6)将收敛到零,即limV(x,t)=0t为证定理1先给出引理1和引理2。引理1:若定理1条件成立,则沿着受控结构的解,式(6)是时间t的非增函数。证明:微分式(6)并利用式(1),(2)导出V=2JR+Jf(t) +J +2!0(r-vi1)2EI¨2f(7)(8)(9)(10)l(r-vi1)dx+dtl22wxxwxxtdx+EIwxx(l,t)v-EIwxx(

9、0,t)v=02-!vb2 -2 (t)-(b+l)EIwxxx(l,t)+EIwxx(l,t)-2EIwxxx(l,t)wt(l,t)+vwx(l,t)+2EIwxx(l,t)wxt(l,t)+22EIw2xx(l,t)v-2EIwxx(0,t)v(11)2将式(3)(5)代入式(11)给出V=-(2k+!vb) -2#wt(l,t)+vwx(l,t)+2wxt(l,t)-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)+2(v/EI)-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)-2EIwxx(0,t)v=-(2k+!vb) -2#wt(l,t)+vwx(l,t)-2(-v/EI)wxt(l,t)+2

10、2(2v-EI)%wxt(l,t)wxx(0,t)+2v(%-1)2EIw2xx(0,t)222222222(12)由式(12)推出若下列(a)和(b)成立:k>0#>0(a)在情况v0EI/v%=0(13)4中国空间科学技术1998年2月k>0#>0(b)在情况v<00>1,若wxt(l,t)wxx(0,t)0%<-1,若wxt(l,t)wxx(0,t)<0则存在常数K1>0,K2>0,K30,K40使得22V-K1 -K2wt(l,t)+vwx(l,t)2-K3w2xt(l,t)-K4wxx(0,t)0(14)(15)容易验证若定

11、理1的条件式(7)(10)成立,则式(13),(14)必成立,进而式(15)成立,于是能量函数式(6)是非增函数;因此引理1得证。引理2:若定理1条件成立,则存在常数T>0,使t>T时,能量函数式(6)以Ot速率衰减。证明:对&(0,1),定义函数V(t)V(t)=(1-&)tV(t)+这里V(t)同式(6)。对所有0<x<l和所有t>02ll!x(r-vi1) (rx-(b+x)xi1)dx0(16)w(x,t)l0w(x,t)dxl注意到-2l2x2w(x,t)dxw(x,t)l0wxx(x,t)dx02xx2xl2(17)l2!x(r-vi1

12、)rx-(b+x)xi1dx!l (r-vi) +00lrx-(b+x)xi1 dxM1V(t)+M2这里M1>0,M2>0。因此(1-&)t-M1V(t)-M2V(t)微分式(16)导得(18)(19)V=(1-&)V(t)+(1-&)tV(t)+l!x0(r-vi1) rx-(b+x)xi1dx+dtl!x(r-vi1) rx-(b+x)xi1dx+0dtl!vrx-(b+x)xi1dx2222(20)计算式(20)中各项,并注意到对任意R,aR,bR,aba+b/可导得对任意和1有2V -(1-&)tK1+(1-&)JR+Jf(t)+!

13、l(b+l)2+!lw2(l,t)/2+wt(l,t)+vwx(l,t)2-(1-&)tK2+1/2+!l+wxt(l,t)-(1-&)tK3+/+l/(EI)+2w2xx(0,t)-(1-&)tK4+ % EI/2+lEI%-222+&-!v2l2/(EI21)2l2EIwxxdx-02-222+&-21×222li1(+)021)1998年2月中国空间科学技术5其中K1>0,K2>0,K30,K40同式(15)。在式(21)中,选取1和&使得&21+1/2,进而选取v使得22+&>!v/(EI1)2

14、最终选使得-+&-!v2/(EI21)2EIw0l2xx2dx+(2+2l2#+2 % )wx2(l,t)0(22)由式(17)以及l=l(t)的有界性(因为梁的总质量是有限的,而在刚体外的梁的一部分设为有固定质量密度),可推知选取使式(22)成立是可能的。进而观察式(21)推知存在常数T>0,使t>T时V(t)0(23)(24)或V(t)V(T)式(24)和式(19)意味着当t>T时(1-&)t-M1V(t)-M2V(T)或V(t)(M2+V(T)/(1-&)t-M1因此引理2得证。定理1的证明:由引理2易导出limV(t)limM2+V(T)/(1

15、-&)t-M1=0tt(25)定理1表明控制律(3)(5)能够在所有伸展、收缩和平台保持过程使挠性梁结构稳定。注意到控制律设计的主要思想是耗散结构的振动能量。此外,控制律的参数的确定并不要求知道结构的精确物理参数,因此具有很强的鲁棒性。4结论运用能量耗散原理,本文研究了可伸缩结构的稳定控制,给出了能够使挠性结构在伸展、收缩和平台保持全过程具有稳定性的控制方法。控制器位于结构的边界,容易实现;控制律基本上是一种发展的速率反馈控制,但为了处理控制器与其敏感器不是同位配置的问题,控制律中加入了逻辑判断,因此,控制律本质上是一种非线性控制。本文结果可用来解释国外一卫星收缩帆板失效的原因,并且给

16、出预防失效方法。参考文献4YuS,AkibaR,MatsuoH.Controlofomni-directionalrendezvoustrajectories.ActaAstronautica,1994,32(2):83876中国空间科学技术1998年2月作者简介张洪华1963年生,1993年毕业于中国空间技术研究院博士后流动站,高级工程师。目前主要从事挠性航天器控制;高稳定度卫星姿态控制;空间站动量管理控制等研究工作。STABILIZATIONOFDEPLOYABLE/RETRACTABLEFLEXIBLESTRUCTUREZhangHonghua(BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100080)SubjectTermBeamFlexiblestructureStructuralstabilityVibrationalcontrolMethod“风云二号”气象卫星正式交付使用中国第一颗静止轨道气象卫星“风云二号”经过160多天的在轨测试及试运用,性能良好,技术参数正常,达到了90年代国际同类卫星先进水平,于1997年12月1日正式交付国家卫星气象中心使用。国务委员、国家科委主任宋健出席了交付仪式,并代表国务院向全体研制人员和参试人员表示慰问和祝贺。“风云二号”气象卫星