2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题04算法、推理证明、排列、组合与二项式定理理

1、算法、推理证明、排列、组合与二项式定理【考向解读】1. 高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注2. 直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合 命题.3. 以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4. 二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5. 以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6. 在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现【命题热点突破一】程序框图

2、例 1、【2016 高考新课标 1 卷】执行右面的程序框图，如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值 满足（A）y =2x（B）y =3x（C）y=4x（D）y=5x开始输入 x,y,nn-1n=n+1x=x+，y=ny输出 x,y结束【答案】C1-12 2【解析】当x=0,y=1, n=1时，x=0 ,y=1 1=1，不满足x2y - 36；21 12213 13n = 2, x - 0,y=2 1-2，不满足x y - 36；n = 3, x,y = 23 = 6，2 2 2 2 2223满足x y -36；输出x,y=6，则输出的x,y的值满足y =4x，故选 C.【感悟提升】

3、程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以2“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问 题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的 程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用.【变式探究】某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的 S 的值为 72,则判断框内填入的条件可以是()【解析】恠题意,可知程序运行如下：n= 11 S=0S=0 + ?xi = 2fn=2S=2+2X2=6,n=3-*S= 6 + 2x3=12, n=4S=

4、 12 + 2x4=20, 11=55=20 + 2x5=30, n=tiS=304-2x6=42, n=7S=42+ 2x7=56, n=8S=5C4-2x8=72, n=9,此时输出S的值为72,故判断框中应填沖厂，【命题热点突破二】合情推理与演绎推理例 2、(1)观察下列各式：C0= 4;C3+ C = 41；C+ C +C5=42；C7+C+C7+ 6=43;照此规律，当 nN*时,C2n_1+ C2n_1+ C2n_1+ C2n_1=(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A( 2, 3)，且法向量为 n= (

5、1, 2)的直线方程为(一 1)X(x + 2) + 2X(y 3)=0，化简得 x 2y + 8= 0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点 A(1, 2, 3)，且法向量为 n = ( 1,nW11?D .【答案】A32, 3)的平面的方程为 _ .【答案】(1) 4nT ( 2) x 2y+ 3z 6= 0【解析】(1)归纳可知，C2n1+ C2n1+ Gn1+ C2n1= 4 .(2)类比直线方程的求解方法，可得平面的方程为(1)x(X 1)+ 2X(y 2) + ( 3)x(z3)= 0，即 x 2y+ 3z 6= 0.【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的

6、一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的.【变式探究】ArArQ4已知 COSn= -, COSnCOS = - ,COSncos-. COS=-,根据以上等式， 可猜想的一般结论325547778是_n2nnn1*【答案】COS时COS时COS亦=歹(n*N)【解析】从已知等式的左边来看，外即b是通项为：n+l的等差数列，等式的右边是通项为专 的等比数列一由以上分析可以猜想出一般结论为- = 2x3 = 6,满足x:+y:36输出x = |

7、ry = 6,则输出的的值满足2.【2016 高考新课标 3 理数】执行下图的程序框图，如果输入 的a =4,b=6，那么输出的n=()L &/【答案】C不满足+ y:36 5J-4x,故选 C*b亍b一 口4卜壬$十口;用6(A) 3( B) 4( C) 5(D) 6【答案】B【解析】第一次循环，得口= 2上=4卫=6山=6= n = l;第二次循环得= -i* = 6, = 4:j =10 ,川=2;第三次循环，得直=2上=4卫=6上=16申=3；第循环，得a = 2,b = 6,a = 4.5 20 16. n = 4f退岀循环，输出并=4，故选B3.【2016 年高考四川理数】

8、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为 3，2，则输出v的值为(A 9( B)18 ( C) 20(D 35【答案】B【解析】程序运行如下n = 3,x=2v=1,i=2_0v = 1 2*2 = 4,i=1_0r v = 4 2,1=9,i=0_0rV=9 2,0=18,i=-1：0,结束循环，输出v = 18，故选 B.4.【2016 高考新课标 2 理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图

9、7执行该程序框图，若输入的x=2, n=2，依次输入的a为 2，2， 5，则输出的 s=()8【解析】由题青，当Y=2ji = lJt = 0=0时，输入应贝h = 0-2 + 2 = 2 = l,输入口=2,贝IJJ= 22+2=6 = 2,循环；输人口 =5则“6-2 +A17用=3 a 2 ,结束故输出5.【2016 年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的A.1B.2C.3D.4=0?s =0* -/ 输/vs sx+a比=点+1否(A) 7【答案】C(B) 12(C) 17(D) 34a值为 1,则输出的k值为()是/输出s /9【答案】B1【解析】输入a=1，则k=0,b=

10、1;进入循环体，a，否，k=1,a=-2，否，k = 2,a - 1, 2此时a =b =1，输出k，则k = 2，选 B.6.【2016 高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为 0 和 9,则输出的i的值为,i10【解析】依次循环：S =8,n = 2;S = 2,n =3;S = 4,n = 4结束循环，输出S = 4，选 B.【答案】Ba的值是 11【解析】第一次循环：a = 5, b = 7，第二次循环：a = 9, b = 5，此时 a - b 循环结束a = 9。1.【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的E处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位

11、于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）【答案】3【解析】第一次循环：a=1,b=：8；第二次循环：a=3,b =6；第三次循环：a = 6,b =3;满足条件,结束循环，此时，i =3.7.【2016 高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）理f54用 Ji= fl1+ 1输出$是一个算法的流程图，则输出的1112【答案】B【解析】由题意，小明从街道的E 处出发到 F 处最短路径的条数为 6,为 3,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6 3 =18，故选 B.2.【2016 年高考四川理数】设i为虚数单位，则（X i）6的

12、展开式中含【答案】AC；x4i2- -15x4，故选 A.【答案】D(A) 24(B) 18(C) 12(D) 9再从 F 处到 G 处最短路径的条数x4的项为4(A) 15x4(B) 15x4(C) 20i x4(D) 20ix【解析】二项式（x i）6展开的通项Tr 1=C6X6-rir，令6-r=4，得r=2，则展开式中含x4的项为3.【2016 年高考四川理数】用数字1，2, 3，4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A) 24(B) 48(C) 60(D) 721 或 3或 5， 其排法，所以奇数的个数为3A4= 72，故选 D.4.【2016 咼考新课标3 理数】定义

13、“规范 01 数列”匕討如下：共有2m项，其中m项为 0,m项1,a1,a2H,ak中 0 的个数不少于1 的个数若m(A) 18 个(B)16 个(C)14 个(D)12 个1113【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为【答案】C【解析】由题意，得必有a0,a8=1，则具体的排法列表如下:0110仁01101146.【2016 高考新课标 1 卷】（2x、上）5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10【解析】r试题分析：（2x x）5的展开式的通项为C；（2x）5_r（、x）r= 25_rC；x52（r =o, 1, 2，5），令5-r3得r=4，所以x

14、3的系数是2C5-10.27.【2016 高考天津理数】（X2-丄）8的展开式中x2的系数为_ .（用数字作答）x【答案】56【解析】展开式通项为Tr 1=C；（x2）8_r（-）r=（-1）rC；x16r，令16 -3r = 7,r = 3，所以x7的x（-1）3c；二-56.故答 案为56.【答案】2【解析】根据二项展开的通项公式Tr十=c6（-2）rxr可知，x2的系数为C：（-2）2=60。8.【2016 高考山东理数】若21ax+.x)的展开式中5x的系数是80,则实数a=_【解析】 因为510 r2T十=C：(ax2)5亠(于)r=C；a5x2，所以由10_予=5二r=2,因此15

15、C5 a = -80=a = -2.x=l-J,i=Ox=iy-tk=k+lA是/ 输ihk*)/解析第一次循环：=1-1=0, f=l + l= x=0, 3-2,第二次循环：S=0-2=-2, =0+2=2, x=-2f尸2, =2;第三次循环：$=-22=-4, r=-24-2=0, x=4ry=0?匸工输出一 5答案B6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为1. (2015 重庆,7）执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. ( 2, 2)C. ( 4, 4)B. ( 4, 0)D. (0， 8)2. (2015 福建,C. 0D. 1解析当i= 1,16S= 0 进

16、入循环体运算时，S= 0,i= 2；S= 0 + ( 1) = 1,i= 3;S= 1 + 0 = 1, i = 4;S= 1+1= 0,i= 5;S= 0+ 0= 0,i= 65,故选 C.答案 C173. （2015 北京，3）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为 8,则判断框内可填入的条件是A3 f 51125A.s w4 B. sw6Csw乜D.sw24解析 由程序框图，k的值依次为 0, 2, 4, 6, 8,因此s= 2+ * =12（此时k= 6）还必须计算一次,因此可填s洛，选 C.答案 C4.（2015 新课标全国n,8）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中

17、的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,b分别为 14, 18,则输出的a=（）18A. 0 B. 2C. 4D. 1419解析 由题知/若输入14J=1S j则第一次执行循环结构时，由 处力知，=14, =6-=18-14=4|第行循环结枸时由。占知aaJ=144=10=h第二;焰丸行循环结构时，由知，a=a b 1U4=6J=4,第四次执行循环结构时）也 Q1占知丿cia i=64=2 b=Aj第五次执行循环结构时，由知*b=ba=4 2=2j第六;対丸行循环结构时，由口=占知，输出=结束，故选B答案B5. （2015 山东，13）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为_40 人，同

18、学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 _ 条毕业留言（用数字作答）.解析依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了40X39= 1 560 条毕业留言.答案 1 560T=1+,1x1dx=1+ x丿01130=1 + 2_2当n= 2 时,12-3T= |+x2dx= 2+J 01 11当n= 3 时,11结束循环，输出T=.6答案1166.（2015A4=解析当n= 1 时,207. （2015 北京，9）在（2 +X）5的展开式中，X3的系数为 _ （用数字作答）.解析 展开式通项为：Tr+1= C525rxr，二当r= 3 时，系数为 於25_3= 40.答案 40解析b一舟；的展开式的通项ri=c_i一占二心_扌严、 当&一4=2时，r=2,所以*的系数为15169.（2015 四川， 6）用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复