桥梁抗震-时域法

1、第三章时程分析法和阻尼计算理论2013版桥梁结构抗震1()dsin()dtg et  ( )x t  =d§3-1  时程反应分析法单自由度结构在地震作用下的运动方程为：mx + cx + kx = m g (t )t0由于地震波是极为不规则，上述积分难以用解析解计算。2013版桥梁结构抗震2iiiiyyy += ( )( )TigigMItt= PiM20

2、13版( )kkiizg  y  t= 多自由度结构在地震作用下的运动方程为：Mx + Cx + Kx =  MI g (t )具有正交阻尼，采用振型分解，得到广义坐标下单自由度运动方程：21ii对于线性结构，任意反应量 Z 与结构位移之间存在线性关系：z = Qx = Qy = GyZ 的任一分量 Zk 可表示为：ni=1桥梁

3、结构抗震2013版Mx + Cx + Kx =  MI  g (t )一般结构自由度较多，而且复杂的 地震动过程不能用简单的解析函数描述，因此得不到地震反应的解析表达式。对于非正交阻尼结构 ，运动方程不能解耦，难以求解动力方程组。对于包含非线性 （几何或物理）、 桩（或基础）与土 相互作用、行波效应或多点激励 等等情况，不能采用振型叠加原理，也无法采用解析方法求解。用数值方法是解决上述问题的有效办法！§3-2

4、0; 直接积分法桥梁结构抗震直接积分法直接采用数值积分计算结构地震响应的方法数值积分的基本原理：（1）将振动时程分为一系列相等或不相等的微小时间间隔t （2）在t 的时间间隔内，假定位移、速度和加速度按一定规律变化;（3）求解  tit 时刻结构的地震反应，tit  时刻结构的动力平衡方程可以表示为如下的增量形式:2013版K D ut + t = FD其中，KD 和 FD 分别为结构等效动力刚度和等效荷载向量。（4）对一系列

5、时间间隔按上述步骤逐步进行积分，直到完成整个振动过程。桥梁结构抗震2013版数值积分法：显式积分法：利用时刻 ti 的位移、速度推算下一时刻 ti+1 的位移和速度，ui +1 = f (ti , ui , ui , ui )显式积分法对于非线性结构，误差较大，并出现发散现象，得不到精确结果。隐式积分法：采用包含 tit 时刻运动响应的函数 f ，来推算下一时刻 ti+1 的位移和速度，

6、ui +1 = f (ti , ui , ui , ui , ui +1 , ui +1 , ui +1 )隐式积分法可以控制误差积累、计算结果稳定。桥梁结构抗震常用的数值积分法：地震反应分析基本采用隐式积分常用的两种方法为Newmark-  法，Wilson-  法等2013版§3-3  Newmark数值积分法Newmark

7、法是一种加速度法，根据时间增量内假定的加速度桥梁结构抗震ui +1  uiu (t ) = ui +(t  ti )1 ui +1  uiu (t )=ui +  u (t )dt = ui + ui (t  ti ) +(t  ti )22013版1u

8、60;(t )=ui +  u (t )dt = ui + uiit ) +uiit )2(t (t 21 ui +1  ui变化规律计算结构的动力响应。由于选择的加速度变化规律任意，Newmark方法的形式多样。（1）线性加速度法ttti2ttti+(t  ti )36t111,1iiig imucukumu+= 桥梁结构抗震,1g  

9、iu+  +()iiuu   t+   +2()iiiuu   tu   t+     +1iu +  = 2013版21tt+  +ti+1 时刻的结构响应满足运动方程将  ui +1，ui +1 代入上式，得12ck1mm31 c1 k2 m i

10、6 m将  ui +1  代入 ui +1，ui +1  式则速度和位移反应值可求得。地震时，速度和位移初值为0，加速度初值可由下式得到mu0 =  mu g ,0桥梁结构抗震11()iiiiuuuut+=+211()iiiiiuuutuut+=+  +2013版,1g  iu+  +()iiuu   t+   +2(

11、)iiiuu   tu   t+     +1iu +  =   ( )u tu=+21tt+  +（2）平均加速度法1(uii +1 )21214利用运动方程可得：12ck1mm41 c1 k2 m i4 m桥梁结构抗震1iiuu+  1iiuu 2013版1/ 21/

12、0;2112iiiiiuuuuu+iu  =1/ 2iiiuut+  =   u=iut+  =（3）冲击加速度法ui +1/ 2  ui 1/ 2 = ui tui 1/ 2 =ui +1/ 2 =ttui +1 = 2ui  ui 1 + ui t

13、0;2tt 21ui  ui 11ui +1  ui 12t22t桥梁结构抗震11()iiiiuuuut+=+2211()iiiiiuuu   tu   tut+=+     +2013版（4）Newmark  法1212 取不同的值，得到时间增量内加速度的不同变化形式， = 1/ 6  为线性加速度法 = 

14、1/ 4  为平均加速度法 = 0为冲击加速度法对于多自由度的结构，其地震运动方程为：桥梁结构抗震2211()iiiiiuuu   tu   tut+=+     +2013版11()iiiiuuuut+=+（4）Newmark  法Mu + Cu + Ku = F (t )则 ti+1 时刻的位移、速度、加速度为：1

15、212ui +1 =  M 1Cui +1  M 1 Kui +1 + M 1 F (ti +1 )采用增量形式表示：桥梁结构抗震u = uii t 2 + ut 2t +u2t241u =u u = ui t +utt 2t2（4）Newmark  

16、;法1111u iu =u ( 1)u i t2111u iu i2u =  M 1C u  M 1 K u + M 1F2013版式中：u = ui +1  uiu = ui +1  uiu = ui +1  uiu =u

17、60;(u ii t 1)u2t24桥梁结构抗震u =u tt2u =  M 1C u  M 1K u + M 1F采用增量形式表示速度和加速度：111代入1112u iu i可得下面计算位移增量的线性方程组：K u = Pu代入上式得u,u2013版K = K +C +2ttMP = F + M&

18、#160;u ii  + C    11  1t2 2 4其中系数矩阵和常数向量：112+uu i +  1 u i t 桥梁结构抗震   tttuu+    =tttuuu+2tttuu+    2013版=tttuuu+23ttttuuu+    

19、;§3-4  Wilson-  数值积分法内t基本假定：在时间间隔   （  1.0） 加速度响应线性变化。则在间隔   t 内的任意时刻  t +  的加速度根据线性内插值计算：ut + =ut +  t2  t   +26  t桥梁结构抗震crtt  &#

20、160;=nT2013版   t  （2）反应结构周期变化§3-5  数值积分的几点问题收敛性：当 t  0 时，数值算法的数值解趋于准确值。中心差分法，Newmark  法，wilson  法均满足。稳定性：某一步产生的误差不会在后续的计算中被无限放大。中心差分法为有条件稳定（要求），Newmark  法和wilson 无条件稳定（  t 取值不会导致发散）。时间步长选择：（

21、1）足以描述外部荷载变化T10桥梁结构抗震2013版§3-6  时程反应分析法特点可以考虑结构、土深基础相互作用，地震波相位差以及不同地震波多分量多点输入等因素，以建立结构（包括基础与地基）动力计算模型和相应地震振动方程。可以考虑结构的几何和物理非线性以及各种减振、隔震装置的非线性性质（如构件的弹塑性、橡胶支座变形、特种阻尼装置等）。对于复杂桥梁，如悬索桥、斜拉桥、斜交支承桥、弯梁桥等桥梁，其振动模态存在着纵、横、垂直、扭转等的耦合，时程反应分析法可以考虑这些耦合效应进行三维分析。动态分析可以考虑各种不同因素，使结构抗震计算分析的结果更加符合实际情况，得到结构地震

22、过程中的全过程动态反应，使桥梁抗震计算从单一强度保证转入强度、变形（延性）的双重保证。土与结构相互作用桥梁结构抗震2013版桥梁结构抗震2013版§3.7  结构阻尼理论和计算方法3.7.1  桥梁振动阻尼若无外部能源，则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止。这是因为系统的能量会因为某些原因而耗散，产生振动系统能量耗散的原因称为阻尼。任何现实的建筑结构系统都具有振动阻尼。阻尼产生的原因主要有结构材料的粘性、构件接触面(或点)的摩擦，以及为控制结构振动所加于结构的人工耗能装置等。对于地震问题还有由于结构基础反射作用产生的输入地震动的能

23、量的损失，称其为辐射阻尼。桥梁结构抗震2013版桥梁阻尼取值现行的公路桥梁抗震设计细则主要适用于单跨跨 径 不 超 过 150m 的 混 凝 土 梁桥 、圬 工或 混凝 土拱 桥，规定结构的阻尼比取5%。钢结构的阻尼比较钢筋混凝土结构低，一般可取3%。缆索承重桥梁(斜拉桥、悬索桥)与普通桥梁相比，结构更为复杂，而且是非均质结构，各部分的能量耗散机理不同，因而阻尼比的确定也就更加困难。各国的规范也没有给出参考值。桥梁结构抗震2013版国内7座斜拉桥

24、(钢桥1座，结合梁桥3座，混凝土桥3座)的实测资料表明，实测阻尼比大部分在0.5%-1.5%之间，结合梁斜拉桥各阶振型的实测阻尼比集中在1.0%附近，而混凝土斜拉桥阻尼比大部分在1.2%附近。在悬索桥地震反应分析中，特别关心的是以塔为主的振型，但能找到的实测阻尼比的资料只有江阴大桥的，第一阶以塔的纵向弯曲为主的振型的阻尼比仅为0.5%。因此，悬索桥的阻尼比的取值不宜大于1.0%。桥梁结构抗震2013版3.7.2  正交阻尼人们关于结构振动的耗能机理并不十清楚，提出了许多材料阻尼的数学模型，但无论哪一种阻尼模型，都有其适应范围和局限性。由于结构的阻尼机制十分复杂，从实用的角度

25、出发，常采用简单的正交阻尼模型。其中广泛应用Rayleigh阻尼模型，其数学表达式如下:C = a 0 M + a1 K式中  1  a0 为Rayleigh阻尼常数1桥梁结构抗震 i  =+  1 i 1     o2    ia0 =2i j (i j  

26、 ji )i    2算精度，通常选定两个振型参2( jj  ii )a1 =ij2 由振型矩阵关于 M 和 K 的加权正交关系可知: T C a0 T M  + a1 T K  = diag2ii i即  TC 为对角矩阵，其第i个对角元素为 2i即

27、0;i 为第 i个振型的阻尼比。若已知任意两阶振型的阻尼比，则可定出阻尼常数：为了提高结构动力响应的计2与系数相对较大的主要振型阻尼比作为参考振型。21ii  =+1o2i   1ia （3.4.6）02ia桥梁结构抗震有时也采用只与质量或刚度成正比的阻尼模型，即  0 = 0或  1 = 0 ，此时有：i =或i =2bCMaMK=  1j   =2bbj

28、a2013版Rayleigh阻尼模型只是正交阻尼模型的一个特例，从数学上可以找到一个更一般的表达式:bb使结构的无阻尼振型矩阵关于C加权正交。式中  a b  为常数，当b=0，1即为Rayleigh阻尼模型。此时振型的阻尼比可以表示为12 jb利用上式，可以由给定的某几阶振型的阻尼比确定 ab ，进而可以确定C。桥梁结构抗震2013版3.7.3  非正交阻尼一般认为，正交结构阻尼模型适用于阻尼特性分布较均匀的工程结构。但在下面几种情况下，结构的阻尼可能呈现出明显的非均匀分布，则不能采用正交阻尼

29、:明显的非均质结构：即结构的不同部分有不同的阻尼特性;有集中阻尼或摩擦阻尼存在：如在结构的某些部位上加有人工阻尼装置或结构的某些相互接触构件间存在相对运动;当以等效刚度和阻尼(称之为辐射阻尼)描述土一结构互相作用体系时。桥梁结构抗震STs C1s   =2013版式中：-广义阻尼矩阵中的对角线元素sC   Cs  M *2ssssC  3.4.3  振型阻尼的适用计算方法1.  根据对角线元素估计振型阻尼比用无阻尼振动的振型 

30、 和无阻尼振动的固有频率 ，按比例阻尼理论近似计算阻尼比：2 s  sT M ss令 T C  s  = C sT1T桥梁结构抗震等效阻尼比：14iW212ky222013版W =单元的等效阻尼比为：'2ky1iWW  =44iWsW=   Wky=2. 应变能比例阻尼理论s振型的等效阻尼比由一个荷载循环中消耗的能量W与最大势能 W 的比计算得到，因

31、此 ，由 m个单元组成的结构振型阻尼比可表示为：mii =1m121i =112iW i - i 单元的阻尼比可以得到振型阻尼：桥梁结构抗震WWu  Ku=势能s  =ssK2013版sW   = miii =1mi1Ti =1振型应变能比例阻尼为：2mmTTisi Ki siisi Ki sii =1i =1mTsiT Kisii =1

32、式中：K  i- 单元 i的刚度矩阵  si- s振型中单元 i 的局部形状桥梁结构抗震TisiisiMs  =4ssUM2013版=3. 运动能比例阻尼理论同应变能比例阻尼相似，s振型的运动能比例阻尼可以表示成为：m1   U i =1TM  i- 单元 i的质量矩阵桥梁结构抗震3.5  时程分析中的地震波3.5.1  地震波频谱特性地震波波形具

33、有不规则的形状，从时间轴难以看出其周期特性。采用傅立叶变换可以建立时间域的信息与频率域的信息对应关系。傅立叶变换时域地震波频域特性2013版傅立叶逆变换桥梁结构抗震傅立叶变换的基本原理：对于由偶数N个离散点yk（k=0,1,2,N-1）构成的实际记录地震波。利用傅立叶级数，可以将波形分解为有限个简谐振动的和：a0aN / 2y (t ) =+   (annt + bn sin nt ) +N / 21cos 2n=12cos&

34、#160; N / 2t2013版a0ay (t ) =+   (annt + bn sin 2 f nt ) +N / 2 cos 2 f N / 2tnnf= 2f n =T = N tN / 21cos 2 f2n=12nT22nknk0a/&

35、#160;2Na(cosna+ 桥梁结构抗震22   nk0coskkyN=na   =22   nk0sinkkyN=2013版2   nk0a/ 2NaA=+ 对任意离散点kN / 21yk = y (k t ) =+ bn sin) +cos  k2n =1NN2由N个方程可以求得N个系数an（n=0,

36、1,2,N/2）和bn（n=1,2,N/2-1） ：N 1n = (0,1, . ,  N / 2)NN 1b   =n = (1, 2,., N / 2  1)nNN / 21ykn cos(+  n ) +cos  k2n =1N2振幅和相位分别为：22An =an

37、 + bn n = tan 1 (bn / an )桥梁结构抗震幅值谱相位谱2013版桥梁结构抗震1940, El Centro Site, 270 Deg2013版1985, Mexico City, Station 1, 180 Deg桥梁结构抗震   mf   =  f   

38、;=2013版简谐振动的最高频率 fm 和频率间隔 f 分别为 ：N12T2t1N t数列 yk 的时间间隔越小，分离出的频率越高，数据时间信息越长，频率的分辨率也越高。a0yk =+   An cos(2n =1N / 212 nkN+  n ) +aN / 22cos  k桥梁结构抗震yn =  ck e

39、(n = 0,1,., N  1)N 12 n1 y eck =(k = 0,1,., N  1)N2013版上式用复数形式表示：N 12 nikNk =1 ikNnk =1上面两式分别为傅立叶逆变换和傅立叶变换桥梁结构抗震2013版3.5.2  时程分析中地震波选择地震反应时程分析包括三个关键的问题：（1）确定合适的地震输入；（2）建立结构系统的数学模型和振动方程；（3）选择

40、合适的方法求解方程得到地震反应。确定一个合理的输入是预测结构地震反应问题的前提，也是不确定因素最多的一个难题，因为地震波具有很强的随机性。结构的地震反应随着输入地震波的不同又有很大差距，因此，要保证时程分析的合理性首先要选择合理的地震波记录。桥梁结构抗震2013版描述地震波的三个基本要素：（1）地震波的幅值（峰值加速度）；（2）频谱特性（振幅谱、相位谱）；（3）持续时间结构遭受地震破坏主要是地震波三要素综合影响的结果。地震反应分析所采用的地震波：（1）国际上常用的地震加速度记录（El-Centro波，Talf波等）（2）拟建场地附近同类地质条件下的强震记录；（3）采用规范中设计反应谱拟合的人工

41、地震波；（4）采用建桥桥址场地地震危险性分析，生成基岩面上的人工地震波。拟合规范反应谱的常规方法：桥梁结构抗震A(t ) =  Ckk t + k )2013版 = (ul ) / N    =   + (k  1/ 2)常规的人工合成地震波基本思想是用一组三角级数的和来构造一个近似的具有给定功率谱密度的平稳高斯过程，然后乘以强度包络函数，以得到近似的非平稳

42、的地震动加速度时程。可以构造如下的三角级数来表示均值为零的平稳高斯过程A(t)Ncos(功率谱密度k =1Ck = 4S x (k ) 1/2kl桥梁结构抗震()  /    ln(akS)xkS=kkdT2013版目标是拟合规范的设计反应谱，而反应谱和功率谱密度函数直接的关系还没有精确解，由多位研究人员提出了不同的计算公式，目前常采用下面的近似转换关系：T2ln p)SaT() 为 给 定 的 规

43、0;范 设 计 反 应 谱 ， 即 目 标 谱 ；  为 阻 尼比；p为不超过反应谱值的概率，一般可取为  p0.85；Td为地震动的持续时间。由于上面的三角级数反映的是平稳的随机过程，需要乘以包络函数 f(t) 以反映地震波时域的非平稳性。A(t ) =  Ckk t + k )常用的时间包络函数为：Nk =1cos

44、(桥梁结构抗震f (t ) = 1 t t2  t  T c (t t2 )(Sak )iC(kC (k ) =2013版(t / t1 )20  t  t1t12te上述方法得到的地震波的反应谱与给定的规范目标谱存在一定的差别，为了提高精度，需要按下式进行多次调整：Ti +1Sa (k )Sa (k

45、0;)  为拟合时程反应谱；C i (k ) 为第i次迭代结果。桥梁结构抗震2013版调整真实地震记录拟合规范反应谱法选择实际地震动记录，直接根据反应谱的定义计算出地震动记录的反应谱，与设计反应谱进行比对，通过反复调整傅立叶幅值谱，再利用傅立叶逆变换合成与规范设计反应谱一致的人工地震波。这种方法即可保留实际地震动的某些未知信息，保持了天然地震波所具有的时域、频域的非平稳性，又可得到具有相同反应谱的地震动时程，它是对实际地震动一种较理想的调整方式。桥梁结构抗震2013版其合成过程如下：(1)  选择能尽量满足设计地震

46、动参数的天然地震记录根据地震、场地条件和地震动参数，以各种条件相同或相近为原则选择一条或一组天然地震记录。(2)  计算出天然地震波的反应谱根据反应谱的定义计算出天然地震波的反应谱，比较地震波相应的反应谱与设计反应谱的差值，确定地震波傅立叶幅值谱的调整系数。(3)  对天然地震波进行傅立叶变换获得傅立叶幅值谱，并对幅值谱进行修正，然后进行傅立叶逆变换得到新的地震波，重复2-3步，拟合规范设计反应谱。通过反复迭代和修正，直至满足工程要求。假设加速度设计反应谱用 Sa ( f ) 表示，地震波记录 ug的反应谱用Sa* ( f )  表示。桥梁结构抗震N 12