概率论课件第四章 随机变量的数字特征

1、2022-1-161随机变量的数字特征随机变量的数字特征例例1 1 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶, 所射中环数分别记为所射中环数分别记为x1, x2, 它们的分布律分别为它们的分布律分别为:x1 8 9 10 x2 8 9 10pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3试评定他们射击技术的好坏试评定他们射击技术的好坏.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2022-1-162 若使两个射手各射若使两个射手各射n枪，则他们打中枪，则他们打中的环数大约是：的环数大约是： 8 0.39 0.110 0.69.3 ;nnnn 甲：他们平均射中的环数约为他们平均射中的环数约为3

2、. 96 . 0101 . 093 . 08nnnnnnx甲：1 . 93 . 0105 . 092 . 08nnnnnny乙： 8 0.29 0.510 0.39.1 .nnnn 乙：2022-1-163平均起来甲每枪射中平均起来甲每枪射中 9.3环，乙射中环，乙射中9.1环，因此甲的技术要好些。环，因此甲的技术要好些。 受此问题启发在上式中用概率代替受此问题启发在上式中用概率代替频率引入如下定义：频率引入如下定义：2022-1-164111 : r.v.: , 1 2 , ,e(), e( ). (kkkkkkkkkkkxpxxpk, ,x px pxxx p设离散型的分布律为若级数绝对收

3、敛 则称级定义数学数的和为随机变量的期望 也叫即做平均值）记作的数学期望不存在。发散时，则说当xpxiii1|2022-1-165例例2 设设x为投掷一颗骰子时出现的点数，则为投掷一颗骰子时出现的点数，则x的分布律为的分布律为6,.,2 , 1, 6/1iixp于是，于是，x的数学期望为的数学期望为27661261161)e(x下面计算一些离散型分布的期望值。下面计算一些离散型分布的期望值。1) (0-1)分布分布 设设x服从服从(0-1)分布，分布律为分布，分布律为px=1=p,px=0=q, 0p1,q=1-px的数学期望为的数学期望为 e(x)=1p+0q=p2022-1-166 2)

4、( , ),: x b n p设二项分布00e( ) nnkkn-knkkxk p xkk c p q解：n-kknkqpknknk0)!( ! , 0, 1, , .kkn-knp xkcp qkn1( -1)-0(1)!(1)!(1)!nknkknp np qkkknk令-1( -1)-( -1)1(1)! (1)!(1)(1)!nknkknp npqknk.)(1npqpnpn2022-1-1673) ( :),x 松设泊布即分- e , 0, 1, 2, 0.!kp xkkk-1-01e()ee!(1)!kkkkxkkk: 解-0 e!kkk14) ,1,2, kkpqp k几何分布1

5、11e()kkkkxkpkqp- = ee23()p qqq211()1(1)qppqqp2(123)pqq2022-1-1681 ,221,2,( 1).kkkkkxp xxkxk 3 例 随机变量 的分布率为其中111( 1)ln2,kkkkkx pk显然级数111| kkkkxpxk但由于，因此 的期望不存在2022-1-169- . .( ),( )d , ( )dr.v., e(). e():.( )d ., r v xf xxf xxxf xxxxxxf xx设连续型的概率密度为若积分绝对收敛 则称积分的值为的记为即数学期望简称期望 又称定义数学期为望均值连续型随机变量的数学期望：

6、连续型随机变量的数学期望： 设设f(x)为连续型随机变量为连续型随机变量x的概率密度，的概率密度，对对x的取值区间作一分割，有的取值区间作一分割，有.d)()()(e0,)(1xxxfxxfxxxxxfxxxpiiiiiiiii时，近似地有当2022-1-1610下面计算常用连续型变量的数学期望：下面计算常用连续型变量的数学期望：: r.v. , , 1, , : ( ) 0 , .xa baxbxf xb-a otherwise01 设服从区间上的均匀分布 即均匀分布的密度函数为 )e(x d )(-xxxf1 dbaxxb - a则则它恰是区间它恰是区间a,b的中点。的中点。,2ab202

7、2-1-1611- : r.v., e,0,: ( ) 0, 0.xxxf xx02 指数分布 设服从参数为 的指数分布则其密度函数为 )e( x d )(-xxxf0de xxx0de 1tttxt令,10ee1ttt 指数分布是最常用的指数分布是最常用的“寿命分布寿命分布”之一，之一，期望表明期望表明 值越小，产品平均寿命越长。值越小，产品平均寿命越长。2022-1-16122: ( ,), xn 03 正态设分布则)e(x)( de21222)(-xtxxx令tttde)(21222- de21 de2122222-2-ttttt (,0, 1 , 上式中第一项被积函数为奇函数 因而积分

8、为而第二项后一部分为 .)e(x2022-1-161322 1 ( ),.(1)1 |d(1)xfxxxxxx 4 例设服 从 柯 西 分 布 ， 其 密 度 为由 于 因此因此, 柯西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望不存在.| |1 ( )e,.2xxf xx 5 例设 概率密度为| |1e()()ded 2xxxfxxxx则001e de d 2xxxxxx1 1 102 2022-1-1614随机变量函数的数学期望公式随机变量函数的数学期望公式: 1: r.v., () ()(i)r.v., ,1 2, , (),kkkkkyxyg xg xpp xxk,g x p定理 设 是的函

9、数是连续函数是离散型它的分布律为若绝对收敛 则 .)()(e)e( 1kkkpxgxgy.d )()()(e)(e , d )()( ),( r.v., (ii)-xxfxgxgyxxfxgxfx则绝对收敛若它的概率密度为是连续型2022-1-1615说明说明: : 1. 在已知在已知y是是x的连续函数前提下的连续函数前提下,当我们求当我们求e(y)时不必知道时不必知道y的分布的分布, 只需知道只需知道x的分布就可的分布就可以了以了.的期望为则的概率密度为维若二的函数是是连续函数如zvryxfyxvryxvrgyxgz.),(),.(.,.)(,()() 1 . 4( ,dd),(),(),(

10、e)(e假设积分绝对收敛 yxyxfyxgyxgz)( )2 .4( ,),(),(e)(e, 3 ,2, 1 ,.),(11假设级数绝对收敛则有其分布律为为离散型又若 jiijjiijjipyxgyxgz i,jpyyxxpvryx2. 上述定理可以推广到多维上述定理可以推广到多维r.v.函数函数.2022-1-16162 (0,1),e().xnx6例设求221/ 21e,0 ( )20,0yyyyxfyyy1 解法求得的密度1d)()e()(e2yyyfyxy则22222 1e()( )ded2xxxx fxxxx2 解法由定理221d(e)2xx 222211eed22xxxx 120

11、22-1-1617例例7 7 某商品的市场需求量某商品的市场需求量x服从服从2000,4000上的均上的均匀分布，每售出一吨挣匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需万元，售不出则每吨需保养费保养费1万元，问应组织多少货源才能使收益最大。万元，问应组织多少货源才能使收益最大。2000,4000,. yyz解：设 为进货量，收益为则400020001e()( )( )d( )d 2000 zhx fxxhxx于 是当当y=3500时达到最大值，因此组织时达到最大值，因此组织3500吨货源是最好吨货源是最好的决策。的决策。3 , ( )3(),yxyzh xxyxxy 当时400020001

12、1 (4)d3 d20002000yyxyxy x26170004 10 1000yy 2022-1-1618. () , 01, 01, ( , ) 0 ,:. x,yxyxyf x y ,xy8例设二维随机变量的概率密度为其它试求的数学期望 (4 1).:解由式可得 dd )()e( -yxx,yxyfxy .31dd )( 1010 yxyxxy2022-1-161922 (, ),1,2,1,2,3,01,1,e(),e().jx yp xi yjp qijjxpqpxyy 9例已知的联合分布律为求121e(),jjixyijp xi yj解：121e(/),jjiix yp xi y

13、jj21221()() 2jjjjpqq222(1)2jjj jjp q24321622()2qpppp2121()2jjpq222(1)2jjjp q211()212qpq2022-1-1620均值的性质均值的性质:(1) e(c)=c; (c为常数为常数)说明说明: : i. 性质性质(3)和和(4)可以推广到有限个可以推广到有限个r.v.(x1, x2, , xn)的情况的情况.(2) e(cx)=ce(x);( c为常数为常数)(3) e(x+y)=e(x)+e(y);(4) 设设x,y相互独立相互独立, 则则e(xy)=e(x)e(y);(5) |e(xy)|2e(x2)e(y2).

14、(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)ii. 对于对于“和和”,不要求不要求x1,x2,xn相互独立相互独立; 对对于于“积积”要求要求x1,x2,xn相互独立相互独立.2022-1-1621例例1 1. 二项分布的均值的计算二项分布的均值的计算:设设xb(n,p),引入引入r.v.xi(i=1, 2, , n), 它们是相它们是相互独立的且都服从互独立的且都服从0-1分布分布: pxi=1=p, pxi=0=q, x表示表示n次独立重复试验中次独立重复试验中a发生发生的次数的次数,xi表示第表示第i次试验的结果次试验的结果:xi=1表示表示a发发生生, xi=0表示表示a不发生不发生, 所以所以说

15、明说明: : 将将x分解成数个分解成数个r.v.之和之和,然后利用然后利用r.v.和和的数学期望等于的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解的数学期望之和来求解. 这这个方法具有一定的普遍意义个方法具有一定的普遍意义.niinpxx1.)(e)(e 故1niixx2022-1-16222010e( )xx2例一民航送客车载有位旅客自机场开出，旅客有 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以 表示停车的次数，求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）0,11,2,10iixii在第 站没有人下车，解：引入随机变量，在第 站有人下车，2022-1-1623

16、。现在来求易知)(e,21xxxxxn20200.9200.9,10.9,iii按题意，任一旅客在第 站不下车的概率为，因此， 位旅客都不在第 站下车的概率为在第 站有人下车的概率为也就是2000.9 ,.ip x 12101210e()e()e()e()e()xxxxxxx2010(1 0.9 )8.784(次）20e()1 0.9 ,1,2,10.ixi 由此2011 0.9 ,1,2,10ip xi 2022-1-16242. . 方差方差 方差描述了方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度对其数学期望的离散程度, 在概率论和数理统计中十分重要在概率论和数理统计中十分重要.22r.v.,

17、 e -e() , , d()var() , d()var()e -e(). xxxxxxxxxx设为一若存在 则称它为的方差 记作或即一、定义一、定义d( ). xx称为 的均方差或标准差2022-1-1625若若x为离散型为离散型r.v.其分布律为其分布律为px=xk=pk, k=1,2, 则则,)(e)(d2kkkpxxx xfvrx则其密度函数为为连续型若 ),(.,. .d)()e(-)d( -2xxfxxx2022-1-1626在前面例在前面例1中中,x,y表示甲乙一次击中的环数表示甲乙一次击中的环数,有有2221112d()e(e()0.3 (89.3)0.1 (99.3) 0.

18、6 (109.3)1.11xxx可见甲的技术不够可见甲的技术不够“稳定稳定”,乙方差小较乙方差小较“稳定稳定”.方差的计算公式方差的计算公式:222d( )e(e( )e(2e( )(e( ) ) xxxxxxx222222d( ) e(e( )0.2 (8 9.1)0.5 (9 9.1)xxx 2 0.3 (10 9.1)0.4922e()e( )xx2022-1-1627. r.v.1 , 10, ( )1- , 01, : d( ). 0 .xx-xf xxxx , otherwise1例设具有概率密度求0110e( ) (1)d (1)d0,-xxxxxxx解：01222-101 e(

19、) (1)d (1)d,6xxxxxxx. 61)e(-)e()d( ,22xxx于是2022-1-162810. 设随机变量设随机变量x具有具有(0-1)分布分布, 其分布律为其分布律为 px=0=1-p, px=1=p, 则则e(x)=0(1-p)+1p=p,故故 d(x) =e(x2)-e(x)2=p-p2=p(1-p).e(x2)=02(1-p)+12p=p, 下面计算一些常见分布的方差下面计算一些常见分布的方差)(e2x20nkkn-knkk c p q1 (1)nkkn-knkk kk c p q21(1)nnkkn-kkkn-knnkkk kc p qkc p q2!e() (2

20、)(2)!()!nkn-kknp qxkkknk令2220(2)!(1)e()!(2)!nkn- -kknn npp qxknknppnnxpnn22) 1()(e) 1( ), ,( : 2 0pnbx设二项分布 0, 1, .kkn-knp xkc p q, kn.)(e)(e)(d22npqxxx故2022-1-1630 ),( : 3 0即设泊松分布x0. 2, 1, 0, ,e! -kkkxpk)e( : x解-0e!kkkk-1-1e.(1)!kkk)e(2x2-0e !kkkk-1( -11)e(1)!kkkk-22-221ee,(2)!(1)!kkkkkk . )e(-)e()

21、d(22xxx2022-1-163101 : r.v. , , 1, , : ( ) 0 , .xa baxbxf xb-a otherwise设服从区间上的均匀分布 即的密度函数为均匀分布 )e(x d )(-xxxf,2d1 baxb-axba )e(2xxxfxd )( -221 dbaxxb-a)d(x. 12)()e( -)e(222b-axx332213 = (),3()babababa2022-1-16320- 2 : r.v., e,0, : ( ) 0, 0.xxxf xx设服从参数为 的指数分布 则其密度函数为指数分布-e( )( )d xxf x x解：220e() ed

22、 xxxx22d( )e()- e( )xxx01 ed.xxx2201 e dtxttt22, 21 10( )e dpxpxx2022-1-1633)d(x)( de)-(21222)(-2xtxxx令)2( de21222-222tuttt令021-2d212e222uuuuuuude2-02122322.2222023 : ( ,), xn 正态分布 设则2022-1-1634221(ln)exp,0( )220,0e( ),d().xxxf xxxxx2.例有密度函数求e()( )dxxf x x解：221()exp e d (ln )22yyyyx令222221()e()( )de

23、xp e d22yyxx f x xy)(22e).1e (e)(e)(e)(d22222xxx22222221()eexp de22yy2201(ln)expd22xx2022-1-1635二、方差的性质二、方差的性质:10 设设c是常数是常数, 则则d(c)=0;20 设设x是是r.v., c是常数是常数, 则有则有 d(cx)=c2d(x);30 设设x, y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 则有则有 d(x y)=d(x)+d(y);2022-1-16362 d()e()e()xyxyxy,e (e ()(e ()x yxxyy当独 立 时22e(e )2(e )(e

24、 )(e ) xxxx yyyy=d( )d( )2e(e()(e( )xyxxyye(e( )e()e()e( )xyxyxyxye()e()e( )0xyxy命题得证。2022-1-1637121212,d()d() d()d()nnnx xxxxxxxx推论：相互独立，则40 d(x)=0的充要条件是的充要条件是x以概率以概率1取常数取常数c, 即即 px=c=1. 22112211d()d()d()nnnnc xc xc xcxcx2022-1-1638例例1 1 设设xb(n,p),分解分解x,求其方差求其方差d(x).1,niixx解：其中), 2 , 1(1, 0niaiaixi

25、发生次试验，第不发生次试验第易知易知x1,x2,xn独立同服从独立同服从(0-1)分布，因此分布，因此11d()d()d() nniiiixxxpqpqpqnpq2022-1-163922212111 (,)(1,2, ),(,),.iiinnniiiiiiniiixnink xnkkk kk 2 例证明：若且相互独立，则不全为零方差的性质可得望与服从正态分布。再由期正态分布，可知变量之线性组合仍服从有限个独立的正态随机niiixk1 证：11e()e()nniiiiiik xk x所以结论成立所以结论成立.11d()d()nniiiiiik xk x11e()nniiiiiikxk22211

26、d()nniiiiiikxk2022-1-1640 e(),d()e()d()0*d()e(*)0,d(*)1.xxxxxxxxxxx3 例对任一随机变量 ，若其期望方差均存在，且，则称为 的标准化随机变量。试证：e() e(*)ed()xxxx 证：22d(*)e(* )e(*) xxx21e(e()d()xxx1d()1d()xx1ee()0d()xxx2e()ed()xxx2022-1-16412 r.v.e(), d(), 0, xxx设具有数学期望方差则对有不等式三三. 切比雪夫切比雪夫(chebyshev)不等式不等式:| ( ),|( )dxxf xpxf xx:证设 的概率密度

27、为则22221()( )dxf xx22|() ( )dxxf xx2222- - 1chebyshev. p xp x 或这一不等式称为不等式2022-1-164223| 2 0.7500,px如取或可得这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。2( ,)| 2 0.9544,xnpx 时| 3 0.8889px| 3 0.9974px2022-1-16433. . 协方差和相关系数协方差和相关系数 ( , )r.v. , e -e( ) -e( ), , cov( , ), cov( , )e -e( ) -e( ). x yxxyyxyx yx yxxy

28、y1定义 ： 设为二维若存在 则把它称作 和 的协方差 记作即展开可得计算公式展开可得计算公式: cov(x, y)=e(xy)-e(x)e(y).由方差性质证明知由方差性质证明知,对于任意的两个对于任意的两个r.v.x和和y, 有有 d(x y)=d(x)+d(y) 2cov(x,y).2022-1-1644 协方差的性质协方差的性质:10 cov(x, y)=cov(y, x);20 cov(a1x+b1, a2y+b2)=a1a2cov(x,y), 其其 中中a1, a2, b1,b2是常数是常数;30 cov(x1+x2, y)=cov(x1,y)+cov(x2, y);60 |cov

29、(x, y)|2d(x)d(y); “ =”成立当且仅当成立当且仅当x与与y之间有严格的线性关系。之间有严格的线性关系。(y=ax+b)50 若若x, y相互独立相互独立, 则则cov(x, y)=0.40 cov(x,a)=0,cov(x,x)=d(x),a为常数为常数;2022-1-16450)(e()(e(e 62yyxxtrt都有证明：对任性质0)(e()(e)(e(2)(e(e 222yyyyxxtxxt展开为0)(d),(cov2)(d2yyxtxt即此不等式对应的方程无实根或有二重根此不等式对应的方程无实根或有二重根,故有故有即命题成立。, 0)(d)(d4),(cov(42yx

30、yx000,(e()(e( )0.tttxxyyxy“”成立时方程有重根即 满足与 有线性关系。2022-1-1646d()0, d()0, cov(, ).d()( )xyxyxyx,yxd y2定义 ：若则称为的相关系数，记为的标准化随机变量为记yxyyyyxxxx,)(d)(e*,)(d)(e*)(e)(e)(e) ,cov(yxyxyxe()e( )e() ()d()d( )xxyyxy显然，相关系数是标准化了的协方差显然，相关系数是标准化了的协方差。cov(, )d()d( )xyx yxy2022-1-16471;. 1 0xy相关系数的性质：02 1 1, 1, , 0xyxyp

31、 yaxba, ba 和 以概率 线性相关 即其中为常数 且d()d()d()2cov(,) =1 1 20xyxyxyx y 证：因为1. xy所以有. 0,30xyyx相互独立，则若0,xyxy3定义 ：若则称 和 是不相关的。注意注意：相关系数：相关系数 xy刻划了刻划了x, y之间的线性相关关系之间的线性相关关系,当当 xy=0时时, 称称x,y不相关是指它们之间没有线性不相关是指它们之间没有线性相关关系相关关系. xy=1或或-1时，时，x与与y有严格线性关系。有严格线性关系。2022-1-1648:不相关与相互独立的逻辑关系 a. , , ;x, yx y若相互独立则不相关 b.

32、;上面的逆命题一般不真 .).()(),( ,0, 0, , 1 ,1),( )r.v.( , 22yfxfyxfyxyxfx, yyxxy但其其它的密度函数是二维反例不相关独立服从二维正态分布时当yxyxx, y, , ,)( c. 2022-1-1649例例1.1.设设(x, y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求x和和y的相关系数的相关系数.(,)x y: 解 前面在第三章的例子中已经知道的边缘概率密度为2121()211( )e,2xxfx2222()221 ( )e,-,2yyf yx y.)d( ,)d( ,)(e,)(e222121yxyx故知yxx,yfyxyxd)d()-

33、)(-(),cov(21- 而tuututudd )e1(21-2222122122 故其中 , -11 1111222xuxyt2022-1-165022222122221222cov(, )(ed )(ed )21- (ed )(ed )2ututx yuutuutt 1212 22 .2 由第三章我们曾证明过的一个命题由第三章我们曾证明过的一个命题,设设(x, y)服从二维正态分布服从二维正态分布, 则则x, y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0. 知知x与与y不相关与不相关与x和和y相互独立是等价的相互独立是等价的.xy2022-1-1651公式：公式：cov(ax+by,

34、cx+dy) =acd(x)+(ad+bc)cov(x,y)+bdd(y)例例2 xn(2003,1),yn(2004,1),且且x与与y独立，独立，求求3x-y与与x+y的相关系数。的相关系数。解：由于解：由于x，y独立，则独立，则cov(3x-y,x+y)d(3x-y)=9d(x)+d(y)=10cov(3,)d(3)d()xy xyxyxy相关系数为d(x+y)=d(x)+d(y)=22552 10=3d(x)+2cov(x,y)-d(y)=3-1=22022-1-16524. 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一. 定义定义: 设设x和和y是随机变量是随机变量, e(x),e(y)为一阶原

35、点矩为一阶原点矩, d(x),d(y)为二阶中心矩为二阶中心矩, xy为二阶混合中心矩为二阶混合中心矩.(1) 若若e(xk), k=1, 2, 存在存在, 则称它为则称它为x的的k阶原点矩阶原点矩.(2) 若若ex-e(x)k, k=1, 2, 存在存在,则称它为则称它为x的的k阶中心矩阶中心矩.(3) 若若e(xkyl), k, l=1, 2, 存在存在, 则称它为则称它为x和和y的的k+l阶混合矩阶混合矩.(4) 若若ex-e(x)ky-e(y)l, k, l=1, 2,存在存在, 则称它则称它为为x和和y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩.2022-1-1653 二维随机变量二维随机变

36、量(x1,x2) 有四个二有四个二阶中心矩，分别记为阶中心矩，分别记为)(ee)(e)(ee)(e)(ee)(ee2222211222122111221111xxcxxxxcxxxxcxxc将它们排成矩阵形式将它们排成矩阵形式22211211 cccc称这个矩阵为称这个矩阵为(x1,x2)的的协方差矩阵。协方差矩阵。二、定义二、定义2022-1-16541211121212221212 () cov(), 1 2, , ().nijijnnnnnnnnx , x , , xcx ,xi, j, ,ncccccccccnx , x , , xc设 维随机变量的二 阶 中心矩及二阶混合中心矩都存在 则称矩阵为 维随机变量的协方差阵( ,1,2, ),ijjicci jn由于故协方差矩阵是一个对称矩阵2022-1-1655三三. 协方差阵的性质协方差阵的性质:10 c是对称的是对称的; (由协方差的性质由协方差的性质cov(x,y) =cov(y,x), cij= cji可得可得) 20 cii=d(xi), i=1, 2, 3, , n.30 cij2 cii cjj, i,j=1, 2, , n.(由许瓦尔兹不等由许瓦尔兹不等 式可得式可得)