定积分计算方法

1、1/27.cos( ).yxte dttdtdyyy xdx 0030求由方程所确定隐函数的导数 sin1. limsinxxxt dttt dt 2200230. (),_axx dxa 202340若则(sin) sin= lim= sinxxt dtxxx 220230223,or02cosydyxdxe . ( )_xxf t dt 04( )( )xf t dtxf x 02/27.( )().xtf xxt edt 205 求函数的极值( )xxttf xxedttedt 2200 xxttxedttedt 2200( )xtxxfxedtxexe 2220 xtedt 20令：令

2、： 得得( )fx 0 x 0( )xxfe 20010(.)f 00函数的极小值3/27 我们知道求定积分的关键是求原函数，而我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有有换元法换元法和和分部积分法分部积分法，那么定积分是否也有换，那么定积分是否也有换元法和分部积分法呢？那么定积分中和不定积分元法和分部积分法呢？那么定积分中和不定积分中的换元法和分部积分法有哪些不同呢？中的换元法和分部积分法有哪些不同呢？ 在一定条件下，结合牛顿在一定条件下，结合牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式可以用可以用换元积分法换元积分法与与分部积

3、分法分部积分法来计算定积分来计算定积分. .注意：定积分计算与不定积分计算的注意：定积分计算与不定积分计算的不同点不同点第四节第四节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法4/271 1、换元公式、换元公式定理定理6.3 6.3 设设f(x)在在a,b上连续上连续, ,函数函数x=j j(t)满足满足:j j(t)在在a a,b b上连续、单调上连续、单调, ,且且j j(a a)=a, j j(b b)=b; j j(t)在在a a,b b上连续上连续. .则有则有dtttfdxxfba b ba aj jj j)()()(证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(a

4、FbFdxxfba )( )(=)(ttftFj jj jj j而而b ba ab ba aj jj jj j|)()()(tFdtttf 于是于是)()(a aj jb bj jFF ),()(aFbF 故有故有dtttfdxxfba b ba aj jj j)()()(.,从从右右到到左左为为第第一一换换元元法法换换元元法法公公式式中中从从左左到到右右为为第第二二5/27换元必换限换元必换限2 2、换元法两个要点、换元法两个要点换元无须还原换元无须还原用用 把变量把变量 换成新积分变量换成新积分变量 时，积时，积分上下限也相应的改变分上下限也相应的改变.)(txj j xt定积分定积分换元

5、换元必必换限换限6/27例例1.求求xdxx 101解：令解：令tx 12, 1; 1, 0 txtxtdtdxtx2, 12 21210211tdtttxxdx32142 22()33tt则则且且于是于是例例2.求求lnxedx 2017/27解：解：令令tex 12212),1ln(ttdtdxtx 1, 2ln, 0, 0 txtx则则且且于是于是原积分原积分= 102212tdtt 10221)11(2tdtt)1(210210 tdtdt)|arctan|(21010tt )4/1(2 例例3.求求220aax dx例例2.求求lnxedx 2018/27解：解：令令 x = tan

6、t,tdtdx2sec 4/, 1; 0, 0 txtx则则且且 40102sec1 tdtxdx4/0|tansecln tt )21ln( 例例4.求求 1021xdx定积分中三角代换，换限时要特别定积分中三角代换，换限时要特别注意注意变量的取变量的取值范围。还要值范围。还要注意注意开方时的符号开方时的符号9/27例例5. 若若 f(x) 为连续奇函数证明为连续奇函数证明( )aaf x dx 0若若 f(x) 为连续偶函数为连续偶函数( )( )aaaf x dxf x dx 02熟记结论，简化计算熟记结论，简化计算.3.3.奇、偶函数在对称区间上定积分的性质奇、偶函数在对称区间上定积分

7、的性质 10/27上述结论的几何解释：上述结论的几何解释：yxaa0y=f(x)+偶函数图形关于y轴对称，在a, a上关于y轴两边的图形面积相等.奇函数图形关于原点对称，在a, a上关于x轴上下两边的图形面积相等.yxaa0y=f(x)11/27奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积12/27例例7 7 _11ln5.05.0 dxxxxx 11ln解：

8、解：因为因为 y = 是连续奇函数是连续奇函数,故上式为零故上式为零.例例7 7_1112 dxxxx解：解：原积分原积分=dxxx 10212 10221)1(xxd2ln| )1ln(102 x0ln 213/27定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式(Formula for Integration by Parts)分部积分公式分部积分公式1.定理：定理：若若u(x),v(x) 的导数在的导数在a,b上连续，则有上连续，则有 bababavduuvudv|例例7.求求lnexdx 1解：解：由分部积分公式由分部积分公式 eeexxdxxxdx111ln|lnln eedxedxxxe1

9、11=1若遇到若遇到 如何分部积分？如何分部积分？ badxxgxf)()(14/273.23.2、分部法两个要点、分部法两个要点按按“反对幂指三反对幂指三”定定u、v；对于被积函数为反幂、对幂、幂指、幂三两类对于被积函数为反幂、对幂、幂指、幂三两类函数的积分可按函数的积分可按“反对幂指三反对幂指三”定定u、v；边分部边计算结果。边分部边计算结果。对于定积分的分部积分法，在分部积分的同时，对于定积分的分部积分法，在分部积分的同时，对积出的部分代入积分上下限，计算结果，这样对积出的部分代入积分上下限，计算结果，这样可以简化计算过程。可以简化计算过程。15/27例例8 8 计算计算.10 dxxe

10、x解解 10dxxex 10 xxde1010 dxexexx101xee )(011eee e21 幂幂*指指16/27例例9 9 计算计算.cos20 xdxex解解 20cos xdxex 20sin xdex 2020sinsin xdxexexx 202cos xdeexcoscos20202 xdxexeexx 202cos1 xdxeex指指*三三)1(21cos 220 exdxex17/27 例例1010 计算计算.)1(ln212 dxxx解解 212)1(lndxxx 2111lnxxd 2121ln111lnxdxxx 2111132lndxxx 21)111(32ln

11、dxxx211ln32lnxx 3ln2ln35 18/27例例1111 计算计算 10dxex解解 10dxex2,txtx 则则令令 102dtet 101022tttdedtte()()ttttee dtee 11100022 2)1(2 ee注注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、本题是一个集凑微分法、根式换元法、 分布积分法的综合题。分布积分法的综合题。换元法和分部积分法的综合题：换元法和分部积分法的综合题：19/27解解例例1212 设设 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因为为ttsin没没有有初初等等形形式式的的原原函函数数，无无法法直直接接求求出出)

12、(xf，所所以以采采用用分分部部积积分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf( )x f x 12012 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx两类算不出来的积分：两类算不出来的积分： dxedtttx2 ,sin20/27 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxxcos x 12012).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf注注 ：本题实质是二重积分中交换积分次序的类型：本题实质是二重积分中交换积

13、分次序的类型课后认真看课后认真看P204P204例题例题121221/273.3. 有关积分等式的证明有关积分等式的证明 证明一个积分等式，可以从被积函数和积分区证明一个积分等式，可以从被积函数和积分区间入手，通过换元法、分部积分法、以及定积分的间入手，通过换元法、分部积分法、以及定积分的性质得以证明性质得以证明.例例 13. 13. 若若f(x)在在0,1上连续上连续, 证明证明:由此计算由此计算.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx证证 设设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft22/27()

14、 (sin )t ft dt 0 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdxarctan(cos )x 02)44(2 .42 例如：例如：23/27例例14.证明证明/(sin )(cos )xfx dxfx dx 200证：证：令令dtdxtx ,2/ 2/, 2/, 0 txtx左边左边 = 2/2/)(cos)2/( dttft则则 2/2/2/2/)(cos)(cos2 dtttfdttf 2/02/0)(cos)(cos22 dxxfdttf练习：练习：证明证明/(sin)(sin)xfx dxfx dx 20024/27作业：作业：P230, 1 (1,5,6,7); P233, 1 (1,3,6,9);25/27例例1313（P205.5）)(1)0(,sin)()(10 xffxxxfdtxtf求求且且设设 duxdtuxtuxt1,1, 则则令令 xduxufdtxtf0101)( )( xduuf