优秀教材研究分析立体几何初步

1、第 1 章 立体几何初步立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科， 而三维空间是人们生存发展的现实空间 所以，学习立体几何对我们认识、 理解 现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义 立体几何初步一章，是在义 务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显普通高中 数学课程标准 （以下简称课程标准 ）对立体几何的教学要求， 通过直观感知、 操作确认、 思辩论证、度量计算等方法， 以帮助学生实现逐步形成空间想像能力 这一教学目的、课程标准关于立体几何初步的表述及教学要求1表述：课程标准指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科人们通常采

2、用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认 识和探索几何图形及其性质三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形， 培养和发展学生的空间想像能力、 推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力 以及几何直观能力， 是高中阶段数学必修系列课程的基本要求 在立体几何初 步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方 体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关 平行、垂直的性质与判定， 并对某些结论进行论证 学生还将了解一些简单几何 体的表面积与体积的计算方法2教学要求：2.1 空间几何体1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台

3、、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结 构2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作 模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式（4）完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征 的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） .5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）2.2点、线、面之间的位置关系（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的

4、位置关系的基 础上，抽象出空间线、 面位置关系的定义， 并了解如下可作为推理依据的公理和 定理：公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.公理 2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么 这两个角相等.2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.通过直观感知、操作确认，归

5、纳出以下判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么该直线与这个平 面平行.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平 行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 那么这条直线垂直于这 个平面.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它页垂直于另一个 平面如果两个平面互相

6、垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题、对比课程标准与教学大纲，在要求上的主要变化1. 对于“空间几何体”：教学大纲要求：了解概念，掌握性质； 课程标准则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征课程标准把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求2. 对于“点、线、面之间的位置关系”：课程标准把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究 （ 角和距离）在必修中不作要求（移到选修中） ，对线、面垂直的判定定理不证明，移到9 / 9空间向量中再证分段设计，分层递 进3. 对知识发生的过程提出了较高 的要求：多

7、处使用了“观察”、 “认识”、画出”、“直观感知、操作确认，归纳”等情感、态度与价值要求的行为动词对空间几何体的要求是直观图1感知；对线、面关系则要求操作确认、 思辨论证；对判定定理的要求是操作 确认、合情推理；对性质定理则要求 思辨论证、逻辑推理4. 不要求用反证法证明简单的问题三、新课程教材和大纲教材处理图2的变化与以往高中数学课程中的立体几何相比， 立体几何教材处理的变化主要表现 在几何定位，几何内容处理方式， 几何内容的分层设计以及几何内容的增减等方 面1. 定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能 力、逻辑推理能力等 . 强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适

8、当渗透公理 化思想2. 内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球-点、 线、面-侧面积、表面积与体积的计算（如图1）,而原教材是点、线、面-柱、 锥、台、球，即从局部到整体（如图 2），突出直观感知、操作确认，并结合简 单的推理发现、论证一些几何性质3. 内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位 . 在必修课程中，主要是通过 直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些 几何性质.进一步的论证与度量则放在选修 2 中用向量处理 .教材在内容的设计 上不是以论证几何为主线展开几何内容， 而是先使学生在特殊情境下通过直观感 知、操作确认，对空间的点、线、面

9、之间的位置关系有一定的感性认识，在此基 础上进一步通过直观感知、 操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定 定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明 . 不是不要证明，而是完善过程， 既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力4. 教学内容增减：删除或在选修课内体现的）：1)异面直线所成的角的计算 .2)直线与平面所成角的计算 .3)三垂线定理及其逆定理 .面角及其平面角的计算 .5)多面体及欧拉公式 .6)原教材中有 4个公理， 4 个推论， 14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理） .新教材中有 4 个公理， 9个定理（ 4个需证明） 增加：（7）简单空间图形的三视图.专设“

10、空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力.（8）台体的表面积和体积等内容.立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解,培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端.四、江苏省数学学科关于立体几何初步的教学建议§ 1.1空间几何体（4课时）1 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特1.能用运动的观点整1 .柱、锥、台、征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体体认知柱、锥、台、球的结构特征只的结构，了解柱、锥、台、球的概念.球.须通过实例概2.了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单2.通过本节学习，进括，不必证明.

11、几何图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简一步体会观察、比较、2 .空间几何体的易组合）的三视图.能识别上述的三视图表示的立归纳、分析等一般科性质不必深入挖体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图.学方法的运用.掘.基本要求发展要求说明重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征,会用斜二测画法画空间几何体的直观图.难点：如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征.教学建议:1. 新课标在几何教学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用.因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的概念，进一步研究它们的结构和分类

12、.课外可让学生动手做一做，更直接的感受空间几何图形的特征.如建议学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型:（1）正方体；（2 ）长方体；（3）三棱锥；（4）四棱锥；（5）三棱台.学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮助学生逐步形成空间想像能力.2. 用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形，它是画空 间几何体直观图的基础.而水平放置的平面图形的画法可以归结为确定点的位置的画法.在平面上确定点的位置我们可以借助直角坐标系来完成，因此画水平放 置的直角坐标系是学生首先要掌握的方法. 通过例题的教学使学生明确画直观图 的基本要求.3. 关于“三视图”的一些补

13、充说明:（1）画三视图容易忽视的问题不给出“正方向”，把想当然的“正方向”看作是规定的“正方向”.如某中考题:“下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（)”圆锥圆柱D俯视图左视图（10）主视图、左视图和俯视图的大小不符合“长对正、高平齐、宽相等”的要正方体A. 1个 B . 2个C. 3个D. 4个严格意义上来说，该题（属开放性问题）是没有答案的，因为你没有给出正方向，所以不知左视图为何形.视图中缺少应有的线段，尤其是缺少该用虚线描绘的不可见的物体轮廓 线、分界线和棱.如常将四棱锥 S ABCD的三视图作成图（10）而非图（11）， 即俯视图中缺少棱SC。求.（2）江苏省高考关于“三视图

14、”要求的变化:2008、2009年江苏省高考数学学科考试说明中，将“三视图与直观图”定为A级要求，即仅作了解，而从2010年起，则将“三视图与直观图”不作要求.§ 1. 2点、线、面之间的位置关系（10课时）基本要求发展要求1了解平面的概念，掌握平面的画法及表示了解平面1 .会进行“文字语的基本性质，即公理1、2、3及其推论1、推论2和推论言”“符号语3，了解平行公理（即公理4）与等角定理.言”“图形语言”之2了解异面直线的定义，会说明两条直线是异面直线，间的转化.并能正确画出两条异面直线，在画图过程中感知两条异2.在引导学生观察、面直线所成的角.比较、抽象、类比得3.通过直观感知、

15、操作确认，归纳出直线与平面平行、出空间点、线、面位垂直以及两平面的平行、垂直的判定定理.置关系的过程中，努4.通过直观感知、操作确认，归纳并能证明出直线与平力浸透数学思想与辩面平行、垂直以及两平面的平行、垂直的性质定理.证唯物主义观念.5.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.说明判定定理的证明不作要求.2.有关角与距离不作计算要求.3.三垂线定理及其逆定理不充.重点：直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理.难点：文字语言、符号语言与图形语言的转化；对异面直线的认识.教学建议:1. 平面的基本性质虽仅为了解，但却是进一步研究空间点、线、面位置关系的基础，在教学中，可以先给出

16、一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的 兴趣，然后引入最简单的几何体一一长方体模型， 有关点、线、面用彩色来突出,让学生仔细的观察；设计一些实例，再给出实物图片，让学生觉得四个公理确实是显而易见的；设计一幅实物图片和直观图形进行对比， 使学生从平面到空间 理解等角定理，显得更直观、更可信.2. 空间点、线、面的位置关系应依托长方体模型，教学中，让学生仔细地观察“教室”这一长方体模型和其他长方体模型的点、线、面的位置关系，这样显得更直观，容易得出直线和平面平行的判定定理， 平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平行的性质定理，平面和平面平行的性质定理;例题和习题的设计要有意识的考虑长方体、正方

17、体模型以及一些不太规则的图形.3. 本章教学中应重视文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”转换.4. 在教学中，要努力浸透归纳、类比等数学思想方法，帮助学生形成辩证唯物主义世界观.§ 1. 3空间几何体的表面积与体积（3课时）基本要求发展要求说明1. 了解柱、锥、台、球表面积的计 算公式，并能计算一些简单组合体 的表面积；2. 了解柱、锥、台、球的体积公式， 并能计算一些简单组合体的体积.1. 初步体验将空间问题转化为 平面问题的思想方法；2. 体会柱、锥、台之间的关系3. 初步体会“积分”思想的应 用.祖暅原理可 向学生形象 地介绍，但 不作了解要求.重点：让学生了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积计算公式.难点：球的表面积与体积公式的推导.教学建议:1. 应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系.2. 通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题解决中的作用.五、本章教学中应注意的几个问题1.明确立体几何的教学目标，不拔高，也不降低。新增的内容不加深，删除的内容不增补.2注意概念定理的发生发展过程；加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力.3. 注意从不同角度认识几何体.4重视问题的数学化表达，加强“