习题与复习题详解线性空间高等代数

1、习题5. 11. 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 数乘n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间.2. 全体正实数R,其加法与数乘定义为a b abk oa ak其中 a,b R ,k R判断Rf按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间 答是.设，R.因为 a,b R a b ab RR,a R oa a R ,所以R对定义的加法与数乘运算圭寸

2、闭F面一一验证八条线性运算规律(1)a b ab ba b(a b) c (ab)c (ab)c abc a(bc)(b c)；R中存在零元素1, a R ,有 a对R中任元素a，存在负元素a1aa 勺 1；11oa a a;o oaoaoa；oa aa a a a oaoa;设X1 1所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间A B与B A不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1）,全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间4 .在P22中,a/|a| 0,a p22 ,

3、判断w是否是p2 2的子空间.1 2例如和1 21的行列式都为零，但33的行列式不为零5也就是说集合对加法不封闭习题5.21 .讨论P2 2中的线性相关性.解 设 X1AX2A2X3A3X4A4O,ax1X2X3X40X1ax2X3X0X1X2ax3X0XX2X3aX40由系数行列式a11111a1(a33)(a 1)时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2 .在R4中,求向量在基4下的坐标.其中1 X2 2X3X441101213111000111MMMM0001初等行变换1000010000100001MMMM101011110110则有故向量在基4下的坐标为(1, 0,-1 , 0 ).

4、X22X33X 4x0x2X3X2XX2X30X43X1X20x30X44X10X20x30X47M21000M7M3初等行变换0100M11M40010M21M70001M301 ,110010002 ,3 ,1 11 221 3304 .故向量在基 1,2,3 ,4下的坐标为(-7 , 11 , -21 , 30).4.已知R3的两组基11= 1 ,110 ,-1(2)(4)11= 2 ,1已知向量已知向量33= 43）到基在基在基1,的过渡矩阵;13下的坐标为0，求在基-113下的坐标为-1，求在基2求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C是由基）到基（n）的过渡矩阵3下的坐标；3下

5、的坐标；知基（I）到基（n）的过渡矩阵为（2）首先计算得C 11201232132于是在基下的坐标为C32012在基下的坐标为C设 在基3下的坐标为*1*2*3,据题意有*1*2*3*1*2*3解此方程组可得*3=k04 , k为任意常数.314k 2 3k 3 k 07,k为任意常数.5 .已知Px4的两组基1 X X2X3, f2（X）2X , f3（X）1 X,f4（X）23X X X , g2（X）13X , g3（X）1 X3X , g4（X）（I）到基（n）的过渡矩阵;（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f（x）.解（1） 设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵，由g1,g2, g3

6、,g4f1, f2, f3,f4 C01有(1,x,x2,x3)1011110111101“231(1,X, X , X )110110110010C .0010 C01101111110123(2)设多项式f(X)在基下的坐标为(X1, X2,X3,X4)T .据题意有C冷X3X4X1X2X3X4(CE)X1X2X3X4(* )因为|C E|0001111111011 1 01 1 01 1 10 0 11 0 21 0 210122所以方程组(*)只有零解,f (x)在基下的坐标为(0,0,0,0) T，所以f(x) = 0习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.证明

7、 设线性方程组为 AX= 0,对系数矩阵施以初等行变换.Q R(A) 2线性方程组的解空间的维数是5- R(A) 3 .实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.习题5.41.求向量 1, 1,2,3的长度.2.I I # ( 1)2 22 32 715.求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.解 d( , ) 11 I7(1 2)2( 1 0)2(0 1)2 (1 3)277.3.求下列向量之间的夹角1,0,4,31,2,1 11,2,2,33,1511,1,1,2 ,31,1,0解(1)1) 02 4 13(1)0,(a,)

8、(2)18,II I3 .设，证明所以I18arccos=13 111141 ( 1) 20 3,申,3 arccos=.V77,为n维欧氏空间中的向量，证明:d()d( , ) d(,).因为II(I II)2,从而 d(,).1.在R4中,正交.解设向量则有习题5.5求一个单位向量使它与向量组1(X1,X2,X3,X4)与向量，1) 0,2) 0,3)0齐次线性方程组(*)的一个解为取 (1,1,1,1),将向量单位化所得向量3正交，X2X3X40X2X3X40X2X3X40X1X2X3X41,1,1,21, 1, 1,1 ,31, 1,1, 1(* ).1.1111=(?2,2)即为所求

9、.X2.将R3的一组基1化为标准正交基.0解(1 )正交化,(2 )将1， 2，3单位化则；(1，2)(1, 1)3为r3的一组基标准正交基.1112 111111111323133.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.所以只需求出一个基础解分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基, 系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系111 0 ,00101 ,0010041由施密特正交化方法，取110 ,001/21/21丄1,332101/31/31/3413单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解

10、向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以是解空间的一组标准正交基.n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，证明:A 1, A,A n也是Rn中的一组标准正交基.证明因为2,n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，所以(i, j)(i,j1,2,L , n).设所求坐标为（X1，X2，X3）,据题意有為1 *2 2 X3 3 .又因为A是n阶正交矩阵，所以ata故A 1, A 2, ,A n也是Rn中的一组标准正交基.5.设3是3维欧氏空间V的一组标准正交基,证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题1

11、.当k满足时,1 1,2,1 , 2 2,3, k , 13,k,3为R3的一组基.三个三维向量为R3的一组基的充要条件是I 1, 2,6.2.由向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组的秩，故答案为1.3.R3中的向量3,7,1在基11,3,5 , 26,3,2 , 33,1,0下的坐标为根据定义，求解方程组就可得答案.15482 ,33为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算36 1M 3I4QQ“ 7初等行变换3,2,11133M 7025M 1所以(xi,x2,x3)= (33,-82,154).4.R3中的基3到基 12,1,3 ,1,0,1 ,

12、2, 5, 1的过渡矩阵为因为（21,2 ,3 )( 1 ,2 ,3 )1325 ,所以过渡矩阵为15.正交矩阵A的行列式为atA IE I A2 1 lA 1.6.已知5元线性方程组AX= 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含 5-3 =2个向量,故解空间的维数为2.7.已知 12,1,1,1 , 22,1,a,a , 33,2,1,a , 44,3,2,1 不是 R4的 基且 a 1,贝临 满足解 四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是I 1, 2, 3,二、单项选择题().1 .下列向量集合按向量的加法与数乘不构成

13、实数域上的线性空间的是解(C )选项的集合对向量的加法不封闭(A)V1x1,0,0,xnx1,xnR(B)V2X1,X2,xnx1x2xn0, xiR(C)V3x1,x2,xnx1x2xn1,xiR(D)V4X1,0,L ,0,0 |x1R故选（C）.2.在P33中，由A生成的子空间的维数为（(A)(B)(C) 3(D) 41向量组A=生成的子空间的维数是向量组3A的秩,故选（A）.因（B ）选项中（12 2,23 3 ,3 31) =( 1 , 2 ,3 )又因3线性无关且可逆，所以1 2 2,2 2 3 3,3 31线性无关.故选（B）.解因(12) ( 23)3)0,所以（C ）选项中向

14、量组线性相关，故选（C）.5. n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为S,则().(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r选（B）6.已知A, B为同阶正交矩阵，则下列（）是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB(D)kA （ k为数）解A, B为同阶正交矩阵ab（ab）t abbtatAAT E故选（C）.7.线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（A）一定不可逆（B）定可逆（C）不一定可逆（D）是正交矩阵选（B）(B)1 .已知R4的两组基34,2234,334,4（1 ）求由基（n）到（I）的过渡矩阵;（2

15、）求在两组基下有相同坐标的向量解（1）设C是由基（1）至«4）的过渡矩阵,已知4)(114)11011100110001所以由基（n）到基（I）的过渡矩阵为1C1100011000110001（2）设在两组基下有相同坐标的向量为又设在基（I）和基（n）下的坐标均为（X1,X2,X3,X4）,由坐标变换公式可得齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1),通解为 X (0,0,0, k) (k R).X1X,X1X2cX2,即(E C) X20(* )X3X3X3X4X4X4故在基（I）和基（n）下有相同坐标的全体向量为0 10 20 3 k 4 k 4 (k R).由题有01

16、120,所以3是3个线性无关向量，构成 R3的基.(2 )因为所以从3到基1,2,3的过渡矩阵0-111-103)2、3)-11-103)-51所以向量在基3下的坐标为解(1)因为由基4到基4的过渡矩阵为(1,2、 3,4)(1201，2102, 3,4)C1-10-12000-5-1所以(2 ) Q2,3,4)2,3,4)所以4)C11127向量232 4在基1，2，3,4下的坐标为0112-7t2f2(X) t3f3(X)0,则有t1(1xx2)2t2(1 x 2x )t3(1 2x3x2)t1t2即t1t2t12t2t32t33t300(*)因为系数行列式0所以方程组(* )只有零解.故fi(x), f2(x), f3(x)线性无关,构成线性空间PX3的一组基.设 f (x) yi fi (x)y2 f2 (x)y3 f3(x)y1 y2 y36则有 y1 y2 2y3 9y1 2y2 3y314yy2y3所以f (x)在基fi(x), f2(x), f3(x)下的坐标 为(1,2, 35.当a、b、c为何值时，矩阵1 是正交阵.要使矩阵A为正交阵,应有aat6.1 2彳