5.第五节相似三角形及其应用

1、第四章三角形第五节相似三角形及其应用课时1（建议时间：30分钟）匕基础过关1. （2019常州）若 ABCs ABC；相似比为1 : 2，则 ABC与 A'B'C'的周长的比为（）A. 2 : 1B. 1 : 2C. 4 : 1D. 1 : 42.（人教九下P31练习2改编）如图，在 ABC中,DE / BC，若AD = 3,则AC =()A.B. I2第2题图3.（人教九下P36练习2改编）如图，在 ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于点D，则下列说法中错误的是（A. ACD sA CBDB. ACD sA ABCC. BCD ABCD. BCD

2、BAC第3题图4.（2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕0点旋转到 AC位置，已知 AB丄BD,CD 丄 BD ,垂足分别为 B, D , A0 = 4 m, AB = 1.6 m , C0= 1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离 CD为（）A. 0.2 mB. 0.3 mC. 0.4 mD. 0.5 m!fi)4mr第4题图5. (2019 贵港)如图，在 ABC 中，点 D , E 分别在 AB, AC 边上，DE / BC，/ ACD = / B,若 AD =2BD , BC= 6，则线段 CD的长为（第5题图6.数学文化（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著

3、作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10 寸），则竹竿的长为（）A.五丈C. 一丈B.四丈五尺D.五尺第6题图7. （2019淄博）如图，在 ABC中，AC = 2, BC = 4, D为BC边上的一点，且/ CAD = / B.若 ADC的面积为a，则 ABD的面积为（）A. 2aB. |aC. 3aD. fa（:第7题图38. （2019抚顺）如果把两条直角边的长分别为5, 10的直

4、角三角形按相似比3进行缩小，得到的直角三角5形的面积是9. （2019南京）如图，在 ABC中，BC的垂直平分线 MN交AB于点D, CD平分/ ACB，若AD = 2,BD = 3,贝U AC的长为10. （2019江西逆袭卷）如图，在 Rt ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于点D，点E是AC的中点，DE的延长线与 BC的延长线交于点 F.求证： FDC sA FBD.第10题图11.（人教九下 P28 习题 5 改编）如图，DE / BC, DE = 3, BC = 9, AD = 1.5, AB = 4.5, AE= 1.8 , AC =54，八+ AD AE DE

5、aa 企(1)求 AB，AC，BC 的值;求证： ADEsA ABC.第11题图满分冲关PQ / AB交BC于点Q, D为线段8A A. 1315B.亦25C. n32D. n第1题图1. （2019海南）如图，在 RtAABC中，/ C = 90° AB = 5, BC= 4,点P是边AC上一动点，过点 P作PQ的中点，当 BD平分/ ABC时，AP的长度为（）2. （2019 自贡）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90° AB = 10, BC= 6, CD / AB, / ABC 的平分线 BD 交AC于点E, DE =.第2题图3. （2019通辽）已知

6、三个边长分别为2 cm, 3 cm, 5 cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为.4. （2019辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO, CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（一8, 6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足 PBECBO,当 APC是等腰三角形时，P点坐标为.一天下午，他和学习小组的B，如图所示.于是，他5. （2019陕西）小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度 同学们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部们先在古树周围的空地上选择了一点D，并在点D处安装了测倾器 DC ,测得古树的顶端 A的仰角为4

7、5°再在BD的延长线上确定一点 G,使DG = 5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG方向移动，当移动到点 F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得 FG = 2 m，小且EF、明眼睛与地面的距离 EF = 1.6 m,测倾器的高 CD = 0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,CD、AB均垂直于FB,求这棵古树的高 AB.（小平面镜的大小忽略不计）点D、E、F分别在边BC、AB、AC 上，且/ ADE = / B, / ADF =6.如图，在 ABC 中，AB= AC,/ C,线段EF交线段AD于点G.(1)求证：AE = AF

8、;若 DE = CE'，求证：DF / BE.(:第6题图课时2（建议时间：20分钟）1. （2019苏州）如图，在 ABC中，点D为BC边上的中点，且AD = AB= 2 ,AD丄AB,过点D作DE丄AD,DE交AC于点E,若DE = 1，则 ABC的面积为（A. 42B. 4C. 2 寸5D. 8第1题图BC = 4, / CBD = 30° ,则DF的长为（）A. Iv3B.討3C.第2题图3.如图，点A , 与 ABC相似，则点B, C, D的坐标分别是E的坐标不可能是（(1 , 7) , (1 , 1) , (4 , 1) , (6 , 1)，以 C , D , E

9、 为顶点的三角形 )A.(6 , 0)B. (6 , 3)C. (6, 5)D. (4 , 2)2. （2018包头）如图，在四边形 ABCD中，BD平分/ ABC , / BAD = / BDC = 90° , E为BC的中点，AE 与BD相交于点F.若- I ILII了 ! vb- -H -J - V JiIIIiriifl -亡|IpIpIl>-1- + -I一-、lII II I4 I!TIji II I.Il IfII-I! p!III1!i MI7/!k；!妙第3题图4. (2019 江西模拟)在四边形 ABCD 中，AB / DC，/ B = 90° A

10、B= 3, BC= 11, DC= 6.点 P 在 BC 上, 连接AP, DP.若 ABP与 PCD相似，则 BP的长是.5. （2019江西逆袭卷）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF丄DE, 垂足为F, BF交边CD于点G.(1)求证：DG AB = DF BG;连接CF，求证：/ CFB = 45第5题图6. （2019江西定心卷）随着社会的发展，为人们生活提供便捷的产品也越来越多.如图，是一款拐杖凳，其示意图如图，拐杖主杆部分EF长约为80 cm ,支撑坐板的支杆 MP与EF交于点O,点O与坐板支撑点M的距离约为18.5 cm，点O与支撑杆着地点 P

11、的距离约为31.5 cm，坐板MN / FP , MN = 20 cm.（1）求FP的长;(2)测得坐板与主杆的夹角/ 点0到手持点E的距离.(结果保留到小数点后一位.参考数据：si n43憑 0.68 , COS43 e 0.73 , tan43 ° 0.93 , sin52 憑 0.79 ,COS52 e 0.62, tan52 沁 1.28)第6题图MNF = 43 °坐板与支撑杆的夹角/ PMN = 52 °求拐杖凳主杆与支撑杆交参考答案课时1基础过关1. B【解析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得，ABC与 A'BC的周长比为1 : 2.

12、2. C3. C4. C【解析】/ AB丄 BD ,CD 丄 BD/ ABO=/ CDO = 90° 又二 AOB = / COD , / AOBCOD ,AB AO Rn 1.6 4 丽/曰,-Cd= Co，即 CD = 1,解得 CD = 0.4 m.5. C 【解析】/ DE / BC, ADEABC , DQ = AAf = ADADBD = |, / BC = 6, DE = 4, / DE / BC,/ EDC = / BCD ,/ ECD = / B,aX DCE CBD , DC- = CD，即 DC2= BC DE = 24,a DC = 26.6. B【解析】设竹

13、竿的长度为x尺，竹竿的影长是一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=x 1 50.5 尺, 15=乔，解得x= 45尺，即四丈五尺.7. C【解析】/ CAD = / B,Sx ADCAC c 2 c 1/ C=/ C, ADCsX BAC , Sabac =（BC）2=（4）2=N" $ adc = a,- Sa bac= 4a. - ABD = Sa baq Sa ADC = 4a a= 3a.1 38. 9【解析】直角三角形的两条直角边分别为5, 10,其面积为；X 5X 10= 25,相似比为-,2 59面积比为9,259缩小后的三角形面积为25X9 = 9.

14、25【解析】/ MN 垂直平分 BC , DB = DC， / B=/ DCB ,v CD 平分/ ACB, / ACD =/ BCD =/ B,/ A =/ A,AC AD. ACD sX ABC , AB = AC , AC2= ad AB = 2 X （2 + 3）, AC =师.10.证明:/ CD 丄 AB,/ ADC = 90°点E是AC的中点，DE = EC= AE./ EDC = / ECD./ ACB= 90° / BDC = 90°11.ECD + /ECD = /F =/ F,DCB = 90° / DCB + /B. / FDC

15、= / B.:. FDCs' FBD.ad(1) 解: AB1.5_ 145= 3，AE 1.81B= 90°DE 31BC = 9 = 3；(2)证明：v DE /D =/ B, / E=/ C,又v/ DAE =/ BAC ,且 A| = Ac= DC, ADE s' ABC.满分冲关1. B【解析】v AB= 5 , BC = 4, / C= 90° , AC = pAB2 BC = 3. v 点 D 是 PQ 的中点，二 DQ =DP. BD 平分/ ABC， / QBD = / ABD.t PQ/ AB, / QDB = / ABD = / QBD

16、 , CPQs' CAB.： BQ=DQ = DP,QC QPBC - AB,即 4- BQ 2BQ20.解得 bq=25. v pq / ab , Ac= BC,即 AP=乎,解得 ap=卷【解析】在Rt ABC中,/ ACB = 90° AB = 10, BC= 6,由勾股定理得 AC = AB2- BC2=8,如解图，过点 E作EF丄AB于点F ,/ BD 平分/ ABC,： EF = CE.v/ A =/ A,/ AFE = / ACB = 90 ° Afes' Acb , ab - BCAE EF ,即 8-CE = CE,解得 CE = 3,在

17、Rt BCE 中，由勾股定理得 BE = BC2 + CE210=3砺， CD / AB , / CDB = / ABD , v BD 平分/ ABC , / ABD = / CBD , / CBD = / CDB , CD=CB = 6, v/ AEB = / CED , / ABE = / CDE , ABE s' CDE , 器=|,即寮 £ ,解得 DE =芈.第2题解图3. cm2【解析】如解图,四边形BCGH是正方形， BE / CFJ.四边形CDMN是正方形,be CF / DM. BE / DM.Abe s' ADZ. dmABad刚BE即 BE =

18、27 . BE = 1.vBE/CF ,ABEs' ACF. CE' = Ac. CF = 2 3. CF =号.S 阴影=S 正方形 BCGH S 梯形 bcfe = 32 (1 + 号)X 3=曽 (cm2).第3题解图4. （ 4, 3）或（32, |）【解析】/ PBE sA CBO , / PBE =/ CBO , / PEB = / COB = 90 ° | =BO. PE丄BO,点P在线段BC上. APC是等腰三角形，当 PA = PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，此时PE是 BOC的中位线， PE = 1co = 3,则点P的坐标为（一4, 3）;

19、如解图，当CP= AC = 8PE BP be PE 2 be时，在 Rt BOC 中，BO = 8, CO = 6, BC= 10,. BP = 2,t £ =生=生，.牛=丘=¥，解得CO=BC = BO ,6 = 10 = 8PE = 6 BE= 8, OE = BO BE = 32,.此时点 P 的坐标为（32 - 5555 5）；当AP = AC= 8时，点P不在线段BC上，此时不存在点 P.故满足题意的点 P有两个，坐标分别为（4,3）或（一32 6）.2第4题解图H，贝U BH = CD = 0.5 m ,5.解：设古树AB的高度为x m,如解图，过点 C作C

20、H丄AB于点/ ACH = 45°CH = BD = AH =（X 0.5） m ,由题易知，/ EGF = / AGB,又 EF 丄 FB, AB丄 FB,EF FGAB= BG,X X 0.5 + 5解得x= 18.答：这棵古树的高度为 18米.fim第5题解图6.证明：（1） / ADE = / B, / BAD = / DAE , AB adAD = Ae， AD2= AE AB,同理可证：AD2= AF AC, AE AB = AF AC,/ AB= AC, AE= AF;/ BAD dAE ,/ AED = / ADB = / DAC +/ C,/ DFC = / DAC

21、 +/ ADF , / ADF = / C,/ AED = / DFC ,.DF = CF DE AE，/ ADE = / CDF = / B, DF / BE.课时21. B 【解析】如解图，过点A、E分别作BC的垂线，垂足为点 F、G. / AD丄AB, AB= AD, ABD是等腰直角三角形，v AD = 2,. AF = 72, BD = 2 羽,FD = BF = 2,/ ADB = 45/ ADE = 90EDG 为等腰直角三角形，/ DE = 1 , EG = DGAFC = / EGC , / C=/ C ,AF FC 211- eg = Gc = 1， FC = 2GC =

22、2FG = 2(FD + DG) = 3-2 , Ssbc = BC AF =(BF + FC)AF =产2.D 【解析】=EC,第1题解图/ BDC = 90° , / CBD = 30° , BC = 4, BD = 3 , CD= 2.如解图，连接 DE, v BE / ABD = / CBD = 30°,/ BDA = 60° / ADE = DE = BE = 2, / BDE = 30° , v/ BAD = 90° AB= 3，可得 AB/ DE , ABFEDF , DF = ED = 2DF = 2bD = ? XB

23、F AB 3'5BD 5第2题解图3.B 【解析】 在 ABC 中，/ ABC = 90° AB = 6, BC = 3, AB : BC = 2, A.当点 E 的坐标为(6, 0)时，/ CDE = 90° CD = 2, DE = 1,贝U AB : BC = CD : DE , CDE ABC ,故本选项不符合题意； B.当点 E的坐标为(6, 3)时，/ CDE = 90° CD = 2, DE = 2,贝U AB : BC 丰 CD : DE , CDE 与 ABC 不相似，故本选项符合题意；C.当点 E的坐标为(6 , 5)时，/ CDE = 90° CD = 2, DE = 4，贝U AB : BC = DE : CD , EDCABC，故本选项不符合题意；D.当点E的坐标为(4, 2)时，/ ECD = 90° CD = 2, CE = 1,则114. 11或2或情况讨论：当AB : BC= CD : CE , DCEABC，故本选项不符合题意.9【解析】 在四边形 ABCD中， AB / DC，/ B= 90° / C= 90°