04-1连续性的概念

1、第四章函数的连续性§ 1连续性的概念(一)教学目的：掌握函数连续性概念.教学内容:深刻理解函数连续，函数左右连续，区间上函数连续，间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类基本要求:1)掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义.2)较高要求：讨论黎曼函数的连续性.教学建议:(1)函数连续性概念是本节的重点.对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类.(2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题.函数在一点X0的连续先回顾一下函数在Xo点的极限ximtf(xA设函数

2、f (x)在xo的某个空心邻域内有定义，A是一个确定的数，若对V £ >036 >0，当 0<|x -xo I < § 时，都有 I f(X)- A I < £，则称 f (x)在 xt xo时，以A为极限。这里f(xo)可以有三种情况1) f (xo)无定义，比如上章讲过的特殊极限limSin(xo1To X - Xo，上X , X工xo2)f(XoA，比如 f(x)*x+1,x=xo, Ximofgxofxo)曲线在Xo处连绵不断，我们称这种情况为，f（X）在Xo处连续。定义1设函数f（x）在Xo的某邻域内有定义，若lim f（X

3、）= f （Xo） 3Xo则称函数f（X）在xo点连续。例如函数 f（x）=2x+1在点x=2连续，因为lim f(X)=ym(2x +2) =5 = f (2)p-,.1xsin X H o又如，函数f(x) = x'在X = O处连续。因为o , X = 0XT1 lim f(x) = limxsin = 0 = f(0) XX若记 人x=xxo，也y = f(X)- f (xo)贝y lim f(x) = f(xo)可等价的叙述为limo，于是函数f（X）在X0点连续的定义又可以叙述为定义2）设函数f（X）在Xo的某邻域内有定义，若则称f（X）在Xo点连续。另外，由于函数 f(x

4、)在Xo点连续是用极限形式表述的，若将lim f(X)= f (Xo)改用名一6语言叙述，则f(X)在x0点连续又可以定义为:定义1(3设函数f(X)在Xo的某邻域内有定义，若对 V S >0,36 >0，使得当I X Xo I 6时，都有1 f(X)-f(Xo)|<E ,则称f(X)在Xo点连续。注意 函数f(X)在Xo点连续，不仅要求 f(X)在Xo点有定义，而且要求 XT Xo时,f(X)的极限等于f (Xo)，因此这里在极限的“E-6”语言叙述中把“o<|x-Xo |6 ”换成了“ |x-Xo| 乙”。最后,(1)式又可表示为lim f(X)= f (lim x

5、)，XjXoXo可见“ f在X = 0连续”意味着极限运算lim对应法则0f的可交换性。例1证明函数f(X)= xD(X)在点X = 0连续，其中D(X)为狄利克雷函数。证明 由f(o)=o及|D(x)|<1，对于任意的S >o，为使|f(X)- f (0)| = |xD(x |x < £只要取6 =z，即可按z-d定义推得在连续。相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下:定义2设函数f(X)在Xo的某左(右)邻域内有定义，若则称f (X)在Xo点左(右)连续。由极限与单侧极限的关系不难得出:定理4.1函数f (X)在Xo点连续的充分必要条件为：f (

6、X)在Xo点既左连续又右连续。X + 2 X o例2讨论函数f(x)*x_2,，x；o在x"的连续性。解因为町f(x)巳mo(x+2)sf(o) !im_f(x)=ijm(x-2)=2 H f (0)所以f (x)在x=0右连续，但不左连续，从而f（X）在X = 0不连续。二间断点及其分类定义3设函数f在某U o（x0）内有定义。若f在点X0无定义，或在点X0有定义但不连续，则称点 X0为函数f的间断点或不连续点。由连续的定义知，函数f（X）在Xo点不连续必出现如下情形：lim f(x) = A，而f在点X0无定义，或有定义但lim f(x) = Ah f (x0)X-3X0Jx02

7、）左、右极限都存在，但不相等，称a =| lim f（x）- lim f （x） |为跳跃度1X0 十1X0-3）左、右极限至少一个不存在据此，函数f的间断点可作如下分类:1.可去间断点情况1） X0称为可去间断点（或可去不连续点）；沁,XH0Xymf(x)=1H-1 = f(o)-1 ,x=0X = 0是f（X）的可去间断点。例 f(x)=|sg n(x-a)|, limf(x)=1,af （a） =0，是f（X）的可去间断点。2.跳跃间断点 情况2） X0称为可跳跃间断点;情况1），2）统称第一类间断点。例 y =x因为 lim f (x) = n ,lim =n -1，所以y =X的整数

8、点为跳跃间断 jx)-点，跳跃度等1.1 -23期 sgnx = -1-4 -3-2O-例 f(x)=sgnx 因为 lim sgnx=1+所以f(x)=sgnx在x=0处为跳跃间断点，跳跃度等2.3 .情况3) xo称为可第二类间断点;1例f(x)= , lim f (x)不存在，所以X = 0是f (x)的第二类不连续点。 xXTez plot('abs(1./(x+e ps)',-0.5,0.5),为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象(c41)sub plot(2,2,1) ezp lot('si n(x)/x',-0.5,0.5) hold o

9、n plot(0,1,'r*') sub plot(2,2,2) ezp lot('si n(x)+sig n(x)',-pi/3, pi/3) hold on plot(0,0,'r*'), sub plot(2,2,3) ezp lot('si n(1./x)',-0.5,0.5) hold on plot(0,0,'r*') sub plot(2,2,4)sin( x)/xabs(1/(x+e ps)0.5定义 若函数f(x)在区间I上每一点都连续,则称 f(x)为I上的连续函数,对于区间端hold on p

10、lot(0,28,'r*')0.99 0.98 0.97 0.961厂1i ll'rrii25-1 -10.5-j il l1 If! /ji-20-11 .101 iglJ1 1 1' /a15-'«/ !| ,1;110-10.5- ,11 -y hI -fl115-1II '!|1-0.50.5-0.50.5-0.50x sin (1/X)0x0x三区间上的连续函数点上的连续性则按左、右连续来确定。例如 y =c， y=x, y=sinx,y=cosx是(亠，+处)内的连续函数,y =丿1 - x2 在(-1,1)的每一点都连续，

11、在 X =1左连续性，在x = -1右连续性，因而是-1,1上的连续函数(参见上章§1的例题)。定义 如果f(x)在区间a, b上仅有有限个第一类不连续点，则称函数f(x)在间a, b上按段连续。例如y =x , y =sgnx是按段连续函数。例3讨论黎曼函数R(x) =1b,P , (p,q )为正整数，p/q为既约真分数x =qx=o,1 及(0,1)内的无理数的连续性1证明设t (0,1)为无理数，任给g >0 (不妨设g 满足丄> S正数显然只有有限个q(但至少有有一个，如q =2),从而使R(x) > s的有理数 (0,1)只有有限个(至少有有一个，1如)，设为X1,Xn,取26 =min(|x1 -斗|xn -列,r,1 © ),(显然 5 > 0)则对任何X U (匕6)(匸(0,1),当x为有理数时有 R(x)吒名，当x为无理数时R(x) = 0.于是，对任何X壬U(r E)，总有R(x) - R(r)= R(x) < 芯