第三章傅里叶变换53550

1、第三章傅里叶变换本章要点本章要点: :1. 1. 利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱进行分析进行分析2. 2. 利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续谱进行分析谱进行分析3. 3. 利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性间的内在关系间的内在关系4. 4. 灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换5. 5. 掌握抽样信号的傅里叶变换和抽样定理掌握抽样信号的傅

2、里叶变换和抽样定理 3.1 3.1 引言引言l 信号的正交分解信号的正交分解l 完备正交集完备正交集信号的正交函数分解信号的正交函数分解二维空间二维空间: :矢量在直角坐标系中分解为两矢量在直角坐标系中分解为两个正交矢量的组合个正交矢量的组合, ,每一个正交矢量都是每一个正交矢量都是原矢量在正交坐标系上的投影原矢量在正交坐标系上的投影. .正交函数正交函数: :在区间在区间(t(t1 1tttt2 2) )内用函数内用函数f2 2(t) (t) 近似表示近似表示f1 1(t).(t).212121)()()(0,)()(1.)()()(22211212212222121122212122121

3、21ttttttdttfdttftfcdcdcdttfctftttttcttttfctf应有最小的使内为最小在区间误差数之间的方均使得实际函数与近似函选取0)()(:),(.,)()(, 02121212112ttdttftftttftfc内正交的条件在称为正交的分量内不包含则若 正交条件正交条件 例题例题:page326 6-1 6-2:page326 6-1 6-2 正交函数集正交函数集.)()(0)()(,),(,)(),(),(212122121数集则此函数集称为正交函即内满足正交特性如在区间构成一函数集个函数ttiittjinkdttgjidttgtgtttgtgtgn)(1:)()

4、(1)()()(,)()()()()(:212121211221222212211ttrnrrttiittittiiinrrrnnkcdttfttdttgtfkdttgdttgtfcctgctgctgctgctfn项数的在最佳近似条件下给定满足要求由最小方均误差准则合近似个正交的函数的线性组任意函数由2121)()()(2)(1)()(121121221122ttnrrrnrrrttnrrrdttgctgctftfttdttgctftt212121)(1)()(1)(1221222ttnrrttiittiicdttfttdttgtfckdttg 归一化正交函数集：归一化正交函数集： 复变函数的

5、正交特性复变函数的正交特性.),()()()(0)()(),.,2 , 1)(21*2121函数集则此复变函数集为正交内在区间满足复变函数集ttkdttgtgjidttgtgnrtgittiittjir完备正交函数集完备正交函数集 .0lim,)(1 )()(1)()(),()(),.(),(:21221221122121212121交函数集则此函数集称为完备正有趋于无限大若令方均误差为近似表示函数在如果用正交函数集定义一nttrnrrttrnrrrrrnnkcdttfttdttgctftttgctftttgtgtg.)(0)()()(0),(,)(),.,(),(:2121221交函数集则此

6、函数集成为完备正为任意正整数满足条件即不存在有限能量函数之外如果在正交函数集定义二idttgtxdttxtxtgtgtgttittn10011001100)0()0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 12112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在区间内满足其中函数集内是完备正交三角函数集在区间)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettt

7、tjntjmtjn在区间内满足其中内是完备正交函数集在区间复指数函数集3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 分析分析l 三角函数的傅里叶级数l 指数函数的傅里叶级数l 函数的对称性与傅里叶系数的关系l 傅里叶有限级数与最小方均误差 三角函数的傅里叶级数三角函数的傅里叶级数,.2 , 1sin)(2:cos)(2:)(1:2),sincos()(100100100111110111110ntdtntftbtdtntftadttftattnbtnaatftttntttntttnnn其中正弦分量幅度余弦分量幅度直流分量周期信号的另一种三角周期信号的另一种三角 函数正交集表示函数正

8、交集表示)sin()()cos()(1100110nnnnntnddtftncctf周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件：(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即 等于有限值.(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个.(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个.100|)(|tttdttf 狄利克雷狄利克雷(dirichlet)条件条件 指数函数的傅里叶级数指数函数的傅里叶级数为所有的整数其中ndtetftfnfenftfttttjnnntjn10011)(1)()()(111请将三角函数表示的频谱与指数函数表示的频谱的对应关系找出!10011001100)0(

9、)0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 112112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在区间内满足其中函数集内是完备正交三角函数集在区间)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettttjntjmtjn在区间内满足其中内是完备正交函数集在区间复指数函数集.|21)(21)(1)(2122012220212100恒表征了时频域的能量守称为帕塞

10、瓦尔方程周期信号的功率特性nnnnnnntttfccbaadttfttfp 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理 函数的对称性与傅里叶函数的对称性与傅里叶 系数的关系系数的关系tnaatfbtdtntftatftfnnntn1102011cos)(0cos)(4:)()(:(1)1信号分解为系数为偶函数)sin()()sin()(40:)()(:(2)11201101tnbtfdttntftbaatftfnntnn信号分解为系数为奇函数为所有的奇数信号分解为为奇数为偶数系数为半波对称奇谐函数ntnbtnatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()c

11、os()(4)cos()(4)(0:)2()(: )(3)111201120110111类推:偶谐函数?为所有的偶数信号分解为为奇数为偶数系数为半波重叠偶谐函数ntnbtnaatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()cos()(4)cos()(4)(0:)2()(:)(4)1110201120110111 吉布斯吉布斯(gibbs)(gibbs)现象现象page99:用三角函数集取不同的有限项级数逼近原函数(对称方波).原函数既是偶函数又是奇谐函数,因此,傅里叶级数只存在奇次谐波的余弦项.分析结论:page100吉布斯现象:当选取的傅

12、里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当项数n很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论n多大，这个超量不变。但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。.,. 3.)(. 21.21. 1:111系数之间关系形成周期信号单双边频谱的附录二之间的关系对称性与级数所含分量级数系数中同理可得指数型傅里叶的来源和中三角型傅里叶级数系数回顾与思考tfttt3.3 3.3 典型周期信号的傅里典型周期信号的傅里叶级数叶级数l 周期矩形脉冲信号l 周期锯齿脉冲信号l 周

13、期三角脉冲信号l 周期半波余弦信号l 周期全波余弦信号 周期矩形脉冲信号22 1t 1t)(tfe0t)2()2()2(0)2()(2,211tutuettetftt内一个周期 对应傅里叶级数对应傅里叶级数)cos()2()(11111tnnsaetetfnntjnensatetf1)2()(11三角形式:指数形式:page106 不同脉宽下周期矩形信号的频谱*零点,第一零点:*频带宽度b:与脉宽关系为反比关系:m22b2, 5,101te1, 5,101tepage105 不同t1下周期矩形信号的频谱*谱线间隔:与周期关系为反比关系:112t1, 5,101te1,10,101te.|:|.

14、 3.,:. 2.:. 1:趋于零总是一般随或者收敛性分量基波整数倍的其他频率不可能包含不是间距正好等于基波频率相邻谱线各谱线间呈等距分布谐波性布谱线沿频率轴呈离散分离散性周期信号频谱特点ncfnn 周期锯齿脉冲信号)(tft02e21t21t2e.1.)sin(1) 1(.)4sin(41)3sin(31)2sin(21)sin()(1111111规律收敛谐波幅度以频谱只含有正弦分量ntnnettttetfnn 对应傅里叶级数对应傅里叶级数 周期三角脉冲信号)(tfte21t1t21t1t0 对应傅里叶级数对应傅里叶级数.1.,)cos()2(sin142.)5cos(51)3cos(31)

15、cos(42)(212122121212规律收敛谐波幅度以基波及奇次谐波分量频谱只含有直流ntnnneettteetfn 周期半波余弦信号)(tft04tte.1.,2)cos()2cos() 1(12.)4cos(154)2cos(34)cos(2)(211112111规律收敛谐波幅度以量基波和偶次谐波频率分频谱只含有直流其中nttnnneettteetfn 对应傅里叶级数对应傅里叶级数 周期全波余弦信号)(tft02tte| )cos(|)(0tetf.1.;22)2cos() 14(1) 1(42.)3cos(354)2cos(154)cos(342)(2011100121111规律收敛

16、谐波幅度以的偶次谐波分量或者说直流分量及的基波和各次谐波分量频谱包含直流分量及其中nttnneeteteteetfnn 对应傅里叶级数对应傅里叶级数3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换1, 5,101te1,50,101tedeftfdtetffdtetfnftttdtetftnfenftftjtjtttjntttttjnntjn)(21)()()()(lim)(lim0,)(1)()()(ftfs221111122111111111111并取极限两边同乘以deftfdtetfftjtj)(21)(:)()(:反变换正变换傅里叶变换定义傅里叶变换定义频谱函数频谱函数f(f() )的物理意义的物

17、理意义周期离散频谱在频域周期离散信号在时域周期连续频谱在频域非周期离散信号在时域非周期连续在频域频谱非周期连续信号在时域非周期离散频谱在频域周期连续信号在时域非周期信号是连续的周期信号频谱是离散的的情况下也称频谱与周期信号频谱不混淆在度简称频谱函数或频谱密称为频谱密度函数具有密度的概念是单位频带的复振幅可见,:,:,:,:,:,:,:,:.,. 2.,.,)(,lim2limlim)(. 100fffftffnfnnt.,)(,)(,2)(,. 4).(2)(,)(21)(. 3的相对大小即比较各频率分量性描述非周期信号频谱特用改表示频谱不能用复振幅直接则为无穷小量限值为有若振幅为期信号各频率

18、分量的复而非周为有限值复振幅周期信号各频率分量的积分连续和的的指数分量振幅为无限多个频率为为表示非周期信号能分解ffdffedfdeftfntjtj充分条件必然有界则满足绝对可积一旦积要在无限区间内绝对可即只不过周期为条件傅里叶级数的仍应满足类似于里叶变换非周期信号是否存在傅傅里叶变换的存在性.)(,)(| )(|)(| )(|.)().,(.,:ftfdttfdtetfftfdirichlettj3.5 3.5 典型非周期信号的傅典型非周期信号的傅里叶变换里叶变换l单边指数信号单边指数信号l双边指数信号双边指数信号l矩形脉冲信号矩形脉冲信号l钟形脉冲信号钟形脉冲信号l符号函数符号函数l升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号jatueftfat1)()()( 单边指