电磁场含电磁波课后答案第1章.doc

1、第一章习题解答给定三个矢量A、 B和C如下:Cx Cy 2 ez 3 ey 4 Cz求：(1) aA； ( 2)1 A B (7) Ag(Bex 5 ez 2(3)AgBB)gC；Cx ey 2；（4）(8)S3J” 2?""( 3)2（2）A B（3）AgBAB ；(A B)（5）A在B上的分量；（6）A cC 和 A （B C ） o3业4届2ey(exCy2ez3)(ey4ez)Cx(Cj(|ey2ez 3) g( Cy 4 Cz) 11ey 6COS abAgB a|b|11AB COS ' ( 丁丄L ) 135.5° J 238(5)上的分量A

2、bA cosABAgB|b|(6)(7)由于B所以(8)ex Cy6zeyey24y2eAg(B C)(Xe(exlO(A B )gCexexeyex 4 eyl3CzezZeCy 1ey10Cz10A (B C ) 1Cx 8 ey 5ez 20Cx 10 Cy 1 Cz 43) X yg(e 8 e 5 ez4)g(ex5e 20)Cz 2)4242Cz204 ex2Cy 40Cz 5ex 55 Cy 44 Czl 1三角形的三个顶点为（1 ）判断 PP12 P3是否为一直角三角形;（2）求三角形的面积。Pl (0,1,2)、P2(4J, 3)和 P3(6,2,5)。Pl (0,1,ri

3、Cy Gz 2, R2 Cx 4 CyCz 3 , F3ex 6 ey 2 ez 5则12 r2 riex 4 ez , R23r?r?ex 2 eyez 8 ,K31 ri 13ex 6 CyCz7由此可见R gR口23 (ex4 Cz )g(ex 2cy ez 8)0故PP12P3为一直角三角形。11R 1 _(2)三角形的面积S 一怙一叫223|-V17 V69 17.132212求 P ( 3,1,4)点到 P(2,2,3)点的距离矢量R及R的方向。2)P2(4丄 3)rp解(1 )三个顶点和P3(6,2,5)的位置矢量分别为则且Rp p 与 X、ex3Rppey Cz 4 , rp

4、ex 2 Cy 2 ez 3 , rp rp ex 5 Cy 3 CzCOScoscos轴的夹角分别为b- P)KpI1 eygRpp (柿) 址卩)丿coscoscos32.31°o120.4799.73°给定两矢量A B上的分量。ex 2ey3 Cz 4和B ex4 Cy 5 Cz 6 ,求它们Z间的夹角和解A与B之间的夹角为ABCOS '(131°A在B上的分量为Ab3.532C Cx给定两矢量 ez上的分量。Cx 2ey 3 Cz 4 和 Bex 6 Cy 4 Cz所以Aey证明:m JAgB故eyez4exl3ey 22 Cz10C上的分量为(A

5、B)c(A B)gCTH如果 AgBAgC AA B A C，则有A25-=14.43V 3*c(A(AgB ) A ( AgA) B ( AgC ) A ( AgA)CAgC，于是得到 (AgA)B (AgA)CB C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一己知矢量，P AgX而P aX，P和P已知，试求X。解由P A X，有A P A ( A X) ( AgX ) A ( AgA)X pA ( AgA) X故得pA A PX AgA一 2 一 一在圆柱坐标屮，一点的位置由(4,3)定出，求该点在：(I )直角坐标屮的坐标;3(2)球坐标屮的坐标。解

6、(1)在直角坐标系中X 4cos(2 !32 y 4sin(2 / 3) 2 z 3故该点的直角坐标为 (2, 2 J亍,3) °(2)在球坐标系屮r VFV 5故该点的球坐标为(5,53.r,l 20°)25 , e r r2 (3,4, 5)处的 |E 和 Ex ；用球坐标表示的场E(1)求在直角坐标中点(2)求在直角坐标中点解(1)在直角坐标屮点tan 1(4/3)53° '2 /s 120°(3,4, 5)处E与矢量B(3,4, 5)处，r? ( 3)2ex2 ey 2 ez构成的夹角。cc，故4?( 5)2 5025Eer2Ex ex

7、gEE cos rx(2)在直角坐标屮点(34 5)处，r25 VIex 3ey 420ez5 ,所以25r ex 3 ey 4 ez 5故E与B构成的夹角为EB COScos 1 ( 44 M) 153.60i 2球坐标屮两个点(ri, 1)和(u, 间夹角的余弦为eIb2,2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2得到理。cos一球面cos cos 1 cos Ri Cxri sin1 COS 1sin 1 sin 2 cos( 12ey ri sin 1 sin iCz ri cos IR? Cx Y2 sinR1 gR2riIIrJsin 1 cossin 1 sinsin 1 s

8、inS的半径为5解蜒(e3sin )gdSs在由 _、和r 5 z 02 cos 2ey r2 sin 2 sin2 ezr2 cos 21 sin 2 cos 2 sin 1 sin2 (cos 1 COS 21 sin 1 sin2 COS( 12) COS I COS，球心在原点上，计算:(e 3sin )ge d SrrS1 sin 2 sin 2 cos 1 cos 22) cos 1 cos 229(e 3sinS)gdS的值。3s in5 2sin0z 4围成的圆柱形区域对矢量Ae 2z验证散度定z在圆柱坐标系屮gA丄_(灯2)_(2z) 3r 2r所以gAd42d z0r5(3

9、r02)rd r 1200故有gAd求（1）欠量A一个单位立方体的积分;gA(2)(3)故有e 2z)g(e d SzrrS425? 5d05 22 4rd rd01200 ?Agd Ss2 2 2 X e X y e Xyz120024x2 y'z?的散度；（2）求gA对屮心在原点的（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。（x2）（x2 y2）（24 x2 y2 ）2x 2x y 72XyzgA对中心在原点的一个单位立方体的积分为,；1 2 1/2gAd“2 1/2A对此立方体表而的积分1卫 1/21?AgdS“2(2 X22x2 y 72x2 y2 z2)d X d ydz

10、_L24V2 V2(_ )2 d ydz1*2 'I 2 2I.*21/22x2 ( _) 2 d X dzi 2 F 221,2 k21*24x2 y2(_ )3 d X dy2gA d ? Agd S24 s1 2(_) 2 d y dz2八12x2(_ )2 d xdz/1 2 2/1 2 J 224x2 y2(些 d xdy1/2 t 2224分 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求gr对球体积的积rgd Ss2r ger d SSIa3又在球坐标系屮,gr_L_ (r r)2 r所以求矢量ACxX此正方形的两边分別与 斯托克斯定理。grd0 0eyx? e

11、zy'zX轴和y轴相重合。再求a3r 2 sin d r d d0沿xy平面上的一个边长为a32的正方形回路的线积分,A对此回路所包围的曲而积分，验证?Agdlcxd0xd0222 d y0Od y 80exeyCzyX2zy2z22gRex 2 yz ez 2x所以AgdS(ex 2yzez 2x)gez d X d y 8s00故有?Agd 18cAgd Ss求矢量Aexx ey xy2沿圆周於y2a2的线积分，再计算A对此圆面积的积分O解蜒AgdlX d X xy2 d2y ( 242COS sina cos sin2 )dalCc04AgdSAyAiez()gez d Sa 2

12、y2 d Sr 2 sin? r dd r4assXys0 04证明：（1）gR 3 ； (2)R 0 ； (3) (AgR) A。其屮 RexXey y ez z :XA为一常矢量。Z解（1）exeyez(2)(3)设 ACy Ay Cz Az t则 AgR Ax X Ay y(AgR)tAxA y Az)X Vzez-(Ax X zAy y AzZ)ex Ax ey AyCzAz一径向矢量场Fer解在圆柱坐标系屮，由可得到fO)表示，如果gF+ rf(r)r d rf（r）会有什么特点呢?gFCf(r) - CrgF -kr2f(r)0r 2 d rCf(r)r 2给定矢量函数E ex y

13、 eyx ,试求从点Pi (2,1,在球坐标系屮，由可得到为任意常数。1）到点P2（&2, 1）的线积分这个 E是保守场吗?E gd 1 ： （ 1）沿抛物线X y2 ； （ 2）沿连接该两点的直线。解（1） E gd 1 Ex d X Ey d y y d x x d yccc22 2y d(2 y2 ) 2 y2 d y 6 d y14(2)连接点 P 1(2,1, 1)到点 P2(& 2,X 81）直线方程为Eyd yE gd 1 Exd Xcc由此可见积分与路径无关，故是保守场。卡yz的梯度及求标量函数y d(6 y 4) (6 y 4)d y(12y4)d y 14在

14、一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex2= ey_严G产定出；求（2,3,1）点的方向导数值。如 抵 皈ex 2xyzyz) ey y(X yz) Cy x? z ezX? yez Z(X yz)34故沿方向eI ex iey /750V506xyz gei 1=1V50点(2,3,1)处沿ei的方向导数值为16巳込的方向导数为V 50994x Z 5x y/To总r<卜z36用60 1127后推导直角坐标o屮gA公式Ax AyX yAz相似的方法推导圆柱坐标下的题图在圆柱坐标中,gA -1 （rAr）r r取小体积元如题图所示。r矢量场-Ar oz沿e方向穿出该六面体的表面 A

15、r的通量为r(rr )d r dArrrd rd(rr )Ar (rr, , z)rAr (r, , z)佔）rr1 (rAr)同理A(r,AzAz(r, ,zAzz r d rdz) Az(r, z)rA_r r z 亠zz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1-r r rz屮屮屮屮故得到圆柱坐标下的散度表达式A lim01 (rAr) A Az方程U给出一椭球族。b2 c2求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于2x ue 2y2z故椭球表面上任意点的单位法向矢量为u现有三个矢量AX(e 72八cCr sin cos2 .e z sinyee e y D2zC22 y 2 z 2Cy

16、b?e cosz? coscose sine .zCz 2z2rz sinc（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋 度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中ex (3 y2 2 x)CyXgA 4(r Ar)r 2 rJ(f 2 s inr 2 r2 _ sinr sincoscosA 沱sinr 2 sinerrAr(sin A)1- r sin(s in coscos )(sin )r sinr sinr sinrAersin cosr sinr sin er sin Ar sinr cos cosr sin sin故矢量A既可以由一个标

17、量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系屮gB =(rBr )-r rrB Bz00J(rz 2 sin )1r r2 z Sin(z? cosr2 .z Sin_ (2rz sin )zCrreCz1reezrzrrzBrrBBz2 - z Sinrz 2 cos2rz sin2r sin2r sinrrB -r故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示; 直角在坐标系屮C X C y gc= XCz(3 y2Xex2x)( x? ) _ 2 z)yezey2xyX22zez (2 X 6y)故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为AgA 0gB =

18、2r singC 0 '利用直角坐标，证明Be (20X 6y)g(fA)gA Ag f同理故有(fG ) f解在直角坐标屮f gA Ag fAxf(XAx(fX(fAx)X证明Ay(A.ZA f Ax)(fXAy * yaDzg( A H) 解 根据 算了的微分运算性质，有g( A H) Ag( AA表示只对矢量A作微分运算，由 ag(b c) cg(a b),可得(tAy )yfAy y(fAz)zAyAz)(fg(tA)fAz)zHgA Ag HH g( A H )H表示只对矢量H)H作微分运算。Ag( A H ) Hg( AA) Hg(A)Hg A HAg Hg( A H) H g A Ag 利用直角坐标，证明G f GAg所以解在直角坐标屮fG利用散度fex(yzzXffT Gy-)ey(Gx TGz)eyzzXfGzfe (G -f)(Gy-f -XzyyzfGxe (G -fX)s干f-yXzzXfGvfe (G -zyXf亠)X(Grf y(fG)t(IG V)exJzey(fGxz(fOy)(fG)f Gex (GzGyGx Gz)ey ( ) ez定理及斯托g(A) 0， 试证明z。解(1)对于任意闭合曲线 由斯托克斯定