2019-2020年高中数学3.4.2基本不等式学案新人教A版必修5

1、2019-2020 年高中数学 342 基本不等式学案 新人教 A 版必修 5一、 自主学习预习与反馈1.已知 x, y 都是整数，（1 ）若（和为定值），则当时，积 xy 取得（2 ）若（积为定制），则当时，和取得 _上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。2.x,y 满足，且 x,y 都是正数，则的最大值是（A . 40B.10C.4D3.在下列函数中，最小值为2 的是（）A.B.1JIC.D.ysin x（0：xsi nx24.若，则函数（）A.有最大值-6 . B.有最小值 6 C有最大值-25.已知，则的最小值为利用均值不等式求最值时，应注意的问题1各项均为正数，特别是出现对数

2、式、三角数式等形式时，要认真考虑。2求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。3确保等号成立。以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。二、 学习探究【题型一】利用不等式求函数的最值已知，求函数的最大值。变式 已知 0 x0,y0,x+y=1,则使恒成立的实数 m 的最小值是（）A.B. C.2 D2.设 x,y 满足 x+4y=40,且想，且 x,y，则的最大值是(A.40 B 。103.已知正项等差数列的前A. 100B。754.函数()A. B 。C5.设 x0,贝 H y=3-3x- 的最大值是 _6.函数 f(x)=3x+lgx+ (0 x-1 )的最小值。&

3、某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12,房屋正面每平方米的造价为1200 元,房屋侧面每平方米的造价为800 元，屋顶的造价为 5800 元.如果墙高为 3,且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？名题赏析(xx 上海文数)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分6 分，第 2 个小题满分 8 分已知数列的前项和为，且，(1) 证明：是等比数列；(2) 求数列的通项公式， 并求出使得成立的最小正整数 解析： (1)当n=1时， 刁=-14； 当n 2时，an=SS=-5an，5an，1，所以,C。4 Do220 项和为 100,

4、则的最大值为(Co50 Do25又a1-115 工 0，所以数列an-1是等比数列;(2)由(1)知：，得，从而(nN*);由 Sis，得，最小正整数n=15.2019-2020 年高中数学 342 基本不等式的应用练习苏教版必修 51.如果用x，y来分别表示矩形的长和宽，用I来表示矩形的周长，S来表示矩形的面 积，则I= 2(x+y),S=xy.2. 在上题中，若面积S为定值，则由x+y2xy，可知周长有最小值，为 4 S.3.在第 1 题中，若周长I为定值，则由.xy4，则函数y=x+(B)x- 4A. 有最大值6B. 有最小值 6C. 有最大值 2D. 没有最小值11 1解析：y=x 4

5、+ 42(x 4)-+ 4= 6.当且仅当x 4= 时，即xx 4x 4x 4=5 时取得最小值 6.4.基本不等式a+b2ab(a,b R+)的变形有a2+b2 2ab和ab 2 2a+b= 2 23= 4 2.3.已知x,A. 1 B . 2C. 2 2 D. 2解析:+2 寸寸xy24= 22,此时 = , 即卩x=y= 2.4小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(avb)，其全程的平均时速为v,则(A)A. avvvabB. v=aba+bC.abvvv2a+bD. v =2解析：设甲地到乙地距离为s,则v=2s2abs sa+ba+bavb5v学2ab2ab a+b 2b2ab=a

6、,a+bvab.5.若ab1,P= . lga lgb,a+ lgb) ,R=lg *，则(B)A.RvPvQB.PvQ RC. QPRD .PRbl,.lga0, lgb 0.由基本不等式易得PvQ而 Q= lgabvlga+b=R故PvQ 0,y0, lg 2x+ lg 8y= lg 2，则：+丽的最小值是1解析：由x1x+ 3y3y=x+汽 2+3 3y+ 2+ 2 寸3 3 3y= 4，当且仅当x= 3y时取等号.答案：47.已知x 0,y0, 3x+ 4y= 5, 2xy的最大值为y是正数，且x的值是(B)1 1 解析： 2xy= 6x3xx4yW4y2 2125 25=x =642

7、4答案：g&不等式y=x(1 3x) 0 xv1 1的最大值是 _3 / 0 x0. x(1 3x) = (3x)(1 3x) ，求f(x) =x2的最小值.解析： x 5, x 2 0. f(x) =(x-2)；+1= (x 2) +22x 2x 2x 2仅当x 2= x_2，即x= 3 时，等号成立.故当x= 3 时，f(x)min= 2.10.过点P(1 , 2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，当ABO的面积 最小时，求直线I的方程.x y解析：设A(a, 0) ,B(0 ,b)，则a 0,b 0，则I的方程为$+*= 1，又rl过P点，1 21- + = 1,三

8、角形的面积S=c ab.a b21 2由a+b= 1?ab=b+ 2a22ab?ab 8,当且仅当x y -1的方程为 2+ 4= 1，即卩 2x+y 4= 0.?能力升级一、选择题11. 已知向量a= (x 1, 2) ,b= (4 ,y).若a丄b,则 9x+ 3y的最小值为(C)A. 2 3 B . 12C.6 D . 3 ,2解析：/a丄b,.a b= 0，即 4(x 1) + 2y= 0，即 2x+y= 2,. 9x+ 3y2 9x- 3y=2 32x+y= 6.当且仅当 2x=y= 1 时取等号，.最小值为6.12.已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是(D)A. a2

9、+b2=M解析:答案:1122.当且b= 2a,即卩a= 2,b= 4 时，Snin= 4.B. a,bRT,且a+b=MC. av0,bv0,且a+b=MD.abv0,a+b=M可知 A B C 三项均有最大值.但D 项中不存在等号成立的条件，故D 项没有最大值.13.已知不等式(x+y) -+a 9 对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 込y丿(B)A. 2 B . 4C. 6 D . 8a ax v解析：(x+y)(X+y=- + 丁 +x+a-+ 2 需+a= (1+ a)2.由(1+、.a)2= 9,解得a=4.、填空题14._ 设x,y为实数，若 4x2+y2+xy= 1

10、,贝 U 2x+y的最大值是 _ .222233 |2x+y解析：T4x+y+xy= 1, / (2x+y) = 1 + 3xy,即(2x+y) = 1 + ? 2x-y 1+ ? ?2解得(2x+y)2w8,即-2 25叫 2x+y0,b0,a2+ = 1，贝 Uap1 +b2的最大值为 _b2解析：由a2+ - = 1 得 2a2+b2= 2,a1 +b2=22 2- 2a- 1 +b222 2-(2 2a)2+1 1+匚3 342 2.当且仅当 2a= 1 +b2?b2= 2,a2=3 3时取等号.答案：3 342 24三、解答题16.已知f(x) = lgx(xR+)，若X1,X2 R+,判断彳f(X1)+f(X2)与f&尹 的大小, 并加以证明.解析:对任何实数a、b都成立，且a=b时，等由ab2 . 2a+b2/f(x +f(X2)=