2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的概念及线性运算学案

1、平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1 .向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2) 零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的.(3) 单位向量：长度等于 1 个单位的向量.(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0 与任一向量平行.(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量.2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b) +c=a+(b+c)减法求a与b的相反 向量一

2、b的和的 运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+ ( -b)2数乘求实数入与向 量a的积的运算(1)1 入a| = | 入 |a| ;(2) 当入0 时，入a的方向与a的方向相同； 当入0 时，入a的方向 与a的方向相反；当入入(ia)=入ia;(入+ i)a=入a+ ia;入(a+b)=入a=0 时，入a= 0+入b3.共线向量定理向量a(a 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得b=入a.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例 1】给出下列四个命题：1若 |a| = |b|，则a=b;2若A,B,C, D是不共线的四点，则“AB=DC是“四边形ABCD为平行四边形”的充要

3、条件；3若a=b,b=c,贝 Ua=c；4a=b的充要条件是|a| = |b|且a/b.其中正确命题的序号是()A. B .C.D.答案A解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同2正确. AB=DC /|AB= |DC且AB/ DC又代B, C, D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABC助平行四边形，则|AB= |DC,AB/ DC且AB DC方向相同，因此AB=DC3正确. a=b, a,b的长度相等且方向相同， 又b=c, b,c的长度相等且方向相同，a,c的长度相等且方向相同，故a=c.4不正确.当a/b且方向相反时，即使|a| = |b|，也不能得

4、到a=b,故|a| = |b|且a/b3不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关3. 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈aa4. 非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.Ia|a|【对点训练】给出下列六个命题：若 |a| = |b|，则a=b或a=b；2若AB= DC则ABC助平行四边形；3若a与b同向，且|a|b|，则ab；4入，卩为实数，若入a=b,则a与b共线；5入a= 0(入为实数)，则入必为零；6a

5、,b为非零向量，a=b的充要条件是|a| = |b|且a/b.其中假命题的序号为_.答案解析不正确.|a|=|b|.但a,b的方向不确定，故a,b不一定是相等或相反向量；2不正确因为AB=DC A,B, C, D可能在同一直线上，所以ABC环一定是四边形.3不正确.两向量不能比较大小.4不正确当 入=卩=0 时，a与b可以为任意向量，满足 入a=b,但a与b不一定共 线.5不正确.当入=1,a= 0 时，入a= 0.6不正确.对于非零向量a,b,a=b的充要条件是|a| = |b|且a,b同向.考点二、平面向量的线性运算-1 - 4 【例 2】(1)设DABC所在平面内一点，AD=TAB+-A

6、C若BC=入DC入 R)，贝卩入433=( )A. 2B. 3C. 2D. 3(2)在厶ABC中，点M N满足AM= 2MC BN=NC若MN=xAB yAC贝U x =_；y=1 1答案（1）D2-614 解析由AD=- 3A聊 3AC可得 3AD=-AB+4AC即 4AD-4AC= AD- AB则 4CD= BD,即BD=- 4DC可得BD-DC=- 3 比 故BC=- 3 比 贝U入=3.- - - 1 -1 - 1 - 1 -1 - 1 -（2）由题中条件得，MNkMOCNh-AC-CB=3AO-（AB AC=2AB-AC= xAB+ yAC,所以 3 232261 1X= 2,y=-

7、6.【类题通法】1. 解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化2. 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果.【对点训练】1.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA-BP-CP=0 ,只入PD则实数 入的 值为_ .答案2解析 因为D是BC的中点，贝U AB+ AC=2AD由P/BF-CP=0,得BAPC5又AP=入PD所以点P是以AB AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP=AB+AC=2AD= 2PD所以入=2.612fff2 .设D, E分别是

8、ABC勺边AB BC上的点，AD=qAB BE=3BC若DE=入iAB+入2AC(入i,入2为实数)，则入1+入2的值为_.1答案2f f f1f2f1f2f f1f2f解析DE= D聊BE=jAB+3BOAB+3(AC- AR= -&AB+3ACfff12TDE=入1AB+入2AC入1=一M,入2=63厂,1因此入1+入2=2考点三、共线向量定理的应用【例 3】(1)已知向量AB= a+ 3b,BC=5a+ 3b,CD=- 3a+ 3b,则()7A.A,B, C三点共线B.A, B, D三点共线C. A,C, D三点共线D.B, C, D三点共线已知向量a,b不共线,且c=入a+b,

9、d=a+ （2 入1）b,若c与d共线反向，则实数入的值为（）A. 1B.1D. 1 或一 2答案(1) BB解析(1) BD= BC+CD=2a+ 6b= 2(a+ 3b) = 2AB BD AB共线，又有公共点B, A, B, D三点共线.故选B.（2）由于c与d共线反向，则存在实数k使c=kd（k0）,于是 入a+b=ka+ （2 入1）b.整理得 入a+b=ka+ (2 入kk)b.由于a,b不共线，所以有821整理得 2 入入1 = 0，解得入=1 或入=2.1又因为k0,所以入o,故入=q.【类题通法】共线向量定理的应用(1) 证明向量共线：对于向量a，b,若存在实数 入，使a=b,则a与b共线.(2) 证明三点共线：若存在实数入，使區入处则A B, C三点共线.(3) 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.【对点训练】1向量e1,eq不共线，AB=3( 8 + 氏),CB= e2e1,CD=2e1+e2,给出下列结论：A,B,C共线；A, B, D共线；B, C D共线；A,C, D共线，其中所有正确结论的序号为 _ .答案f f fff f解析 由AC