导数常见题型方法总结

1、导数题型总结例1：设函数y f(x)在区间D上的导数为 在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上 恒成立，则称函数y f(x)在区间D上为“凸函数”， 已知实数m是常数，(1 )若y f(x)在区间 的取值范围；(2)若对满足 在区间a,b解：由函数f (x)y f(x)y f(x)43、 x mxf(x)120,3f (x),g(x) 03x26 2上为“凸函数”，求m的任何一个实数m，函数 都为“凸函数”，求b a的最大值.得432 /、 X mx 3x f (x)12 6 2f(x)32 .、 x mx -f (x) 3x32g (x) x2 mx 3(1) Q y f(x) 贝J在区间

2、0,32 g(x) x mx 30上为“凸函数”，在区间0,3上恒成、IZ等价于解法一：从二次函数的区间最值入手:gmax(x)0g(o)0g(3) 09m 23m 3 0解法二：分离变量法: 当x 0时,2g(x) x mx 330恒成立,成立，当0 x 3时 等价于g(x)x23m x2 mx 3 0恒成立-的最大值(0 x 3) 恒 x0x3n h(x)3 )是增函数，贝yhmax(x)h(3)2m 2(2)v 当 im 2 时 则等价于当im 变更主兀法再等价于F(m) mx X2 3 0在同2恒成立(视为关 于m的一次函数最值问题)J |m| 2时f(X)在区间2时g(x) x22F

3、(m) mx x 3 0都为“凸函数” mx 3 0 恒成立a,bF( 2)/Cx x2 3F(2)-22x x3 2.0*0例2:设函数(I)求函数(n)若对任意的 立，求a的取值范围.解: (I)f(x)lx3 2ax23f ( x)3a2x b(0 a 1,b R)的单调区间和极值;a 1,a 2,不等式f (x)| a恒成2 2f (x) x 4ax 3a x 3a x a得f(x)的单调递增区间为(a,3a)，得f(x)的单调递减区间为(一 ，a) )当x=af (x)极小值=b.| f (x)x2 4ax令 f (x) 0,令 f (x) 0,和(3a, +f (x)极大值由(n)

4、X a 1,a2,则等价g(x)b；当x=3a时，得：对任意的1 32x2 , (a R,a 0) ( 1 )求 f(x)的 1x4 + f (x) (x R)有且4求a的取值范围.x(ax 1)f(x)0 /、 a 3 f (x)- x3g(x) = -x4当a 01 x 0 ,a所以f(x)的递增区间为(，1) (0,),递减区间为 a时，同理可得f(x)的递增区间为丄，).a寸x2有且仅有3个极值点 ax 1)=0有3个根，则x 0或递减区(2)g(X)a 2方程时，令当a 0间为(，0)(1g(x) -x4x3 ax2 xa 3-x3x(x2解得x-或x 0，令f(x) 0解得a丿X2

5、(-,0).a1、(0,),a 7ax 10ax 1 0有两个非零实根，所以a 2 或 a 22a2 40,2X而当a 2占八、或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值其它例题:32f (x) ax 2ax b(a 0).已知定义在 2,1上的最大值1、(最值问题与主元变更法的例子) t的函数 ax3 2ax2 b (a 在区间 是5,最小值是11.f(x)(I)求函数f(x)的解析式；f(x) tx 0恒成立，求实数x的(n)若 t 1,1时，取值范围.角军：(I) Q f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4) 令 f (x)=0/得 X1 0，

6、X2 32,1因为a 0，所以可得下表：因此f(0)必为最大值，二f (0) 5 因此Qf(2) 163 5,f(1)a 5, f(1)f( 2),即f(2)16a511/. a 1 , Af(x) x3 2x2 5.(n)f (x)1 3x24x , /. f (x) tx0等价于3x2令g(t)xt 3x24x则问题就是g(t) 0 在 t1,1b 54x tx 0， 上恒成x2,000,1f(x)+0-f(x)/极大立时，求实数x的取值范围，g( 1) 0 即 g (1) 0解得。x 1 ,所以所求实数x的取值范围是0,1. 2、(根分布与线性规划例子)已知函数(I )若函数f(x)在x

7、 1时有极值且在函数图象 上的点(0, 1)处的切线与直线 的解析式；(n)当 f(x)在 x (0, 1) 极小值时，设点M(b 2, a 原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求 直线L的方程.解: ( I ).为此只需3x2 5x 0x2 x 0f(x) |x3 ax2 bx cf(x)、/3x y 0行，求f(x)取得极大值且在x (1, 2)取得1)所在平面区域为S,经过f (x) 2x2 2ax b 2a b 2 0函数f(x)在x 1时有极值,f(x)21 2-X2-f(0) 1又T f(x)在(0,- c 11)处的切线与直线3x y 03x 1(n)解法 极大值且在f

8、(0) b 37分:由 f (x) 2x2 2ax b 及(1, 2)取得极小值,2x2 2ax b 及 f (x)在 x (0, 1)取得令 M(x, y),f (0) 0f (1) 0f (2) 0贝Ub 02a b 204a b 80xyx2y4yb 2a 12 0xx故点M所在平面区域S为如图 ABC, 易得 A( 2, 0) , B( 2,1),C(2,2),D(0,1),E(0-3),S ABC2同时DE为 ABC的中位线，所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将SS DECS四边形ABED3分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为 它与AC,BC分别交于G,

9、 贝得点F的横坐标-得点G的横坐标为:y kx2y x 20y kx4y x S四边形degf6 0S OGES OFD64k16k2 2k 50解得：k线方程为：丄21 x2综上，所求直线方程为1y x2.12 分y k*S四边形DEG* 1D(O,-1)2 k(21-2)64k 11即G-XgA0 05 （舍去）故这时直 (n)解法极大值且在x (1, 2)取得极小值,即由 f (x) 2x2 2ax b 及 f (x)在 x (0, 1)取得M(x, y),f (0)f (1)f则000xyb2a4ax2y4y故点M所在平面区ABC,易得 A( 2, 0) , B( 2,域S为如图1),

10、C(2,2),D(0,1),3E(0,-),S ABC 2 同时DE为 ABC的中位线， 所求一条直线L的方程为：另一种情况由于直线BO方程为: 线BO与AC交于由S decS四边形ABED31y 2x,设直H( 1,1S ABCS ABHy2yS ABO S aoh3、f(x) ax31 -x2x 2H ,得直线L与S DEC2 1212124aCXy.A OE所求直线方程为 (根的个数bx2 (c 3a 2b)x d (a 0)问题) 的图象如图所示。1-x2已知函数(I)求c、d的值；3x y 11(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处 的切线方程为3x y 11 0，求函数f

11、( x ) 的解析式；方程f(x) 8a有三个不同of(x) 8axo 5,(皿)若的根，求实数a的取值范围f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b解：由题知：(l) 由图可知 函数f ( x )的图像过点(0,3 ), 且 f 1 = 0得 d 3d 34得 3a 2b c 3a 2b 0 c 0(n)依题意 f 2= -3 且 f ( 2 ) = 512a 4b 3a 2b 3 解得 a = 1 , b = -68a 4b 6a 4b 3 5，所以 f ( x ) = x3 -6x2 + 9x + 3(m)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 -( 3a + 2b )x + 3 (a 0 )-2b 由 f 5 = 0 b = - 9af x = 3ax2 + 2bx -3a若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 ) 8a V f ( 1