圆心角圆周角垂径定理及其应用

1、教学目标重点、难点考点及考试要求第一课时辅导讲义圆的对称性1 理解圆的对称性及有关性质.2 .理解同圆或等圆中， 圆心角、弧、弦各组量之间的关系， 并会应用.3.掌握圆周角定理.3 .探索垂径定理并会应用其解决有关问题.1. 圆心角与弦的关系，圆心角与圆周角的关系2. 垂径定理的理解与应用1. 会计算圆心角，圆周角。并熟练其之间的转化关心，注意弧和弦在圆心 角中的等量关系2. 熟练掌握垂径定理的应用教学内容知识框架1.圆是轴对称图形(重点)通过折叠与旋转的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条过圆心的直线; 圆是中心对称图形，其对称中心是圆心.2.圆心角，弧，弦之间的关系(重点

2、) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等。(1) 在具体运用以上定理解决问题时，可根据需要选择，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等”.(2) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所 对的弧、弦也不一定相等.(3)要结合图形深刻理解圆心角、孤、弦这三个概念和“所对应的” 一词的含义，因为一条弦所 ，这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等，对应对的弧有两条，所以由“弦等”得出“弧等” 的优弧和优弧相等。3.圆心角的度数与它所对的弧

3、的度数的关系(1) 1 °勺弧：将顶点在圆心的周角等分成 圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成(2) 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.360份时，每一份的圆心角是 1 °勺角.因为同圆中相等的360份.我们把1 °勺圆心角所对的弧叫做 1°勺弧.4、圆周角定理及其推论(重点)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。A推论3：若三角形一边上的中线等于这

4、边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。即：在 ABC 中， OC=OA=OB ABC是直角三角形或L C=90°5.垂径定理的应用(难点)(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的 垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示，推论1 : (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径 ABCD CE DE 弧BC 弧BD 弧A

5、C弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。考点一：圆心角，弧，弦的位置关系CS'2?0例1E.连接ADOB考点二：圆周角定理如图，三角形 ABC中，/ A=60° , BC为定长，以BC为直径的O O分别交AB, AC于点D, DE,已知DE=EC下列结论： BC=2DEAfBD+CE=2DE其中一定正确的有（b00A例2、（2011?衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦 周角/ ACB=45,则这个人工湖的直径 AD为（ 例3、（2010?荆门）如图，MN是O O的直径，的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（AB是湖上的一座桥，已知桥 AB长100m，测得圆）MN

6、=2，点 A 在O O 上,/ AMN=30 ° , B为 ANT）例1、（2006?济南）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点， ABD是等 边三角形，则四边形 ABCD的周长P的取值范围是（）A例2、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等； 圆中90°角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有（） 例3、（ 2007?重庆）如图，AB是O O的直径，AB=AC, BC交O O于点D, AC交O O于点E, / BAC=45°, 给出下列五个结论： / EBC=22.5 ;BD=DC;AE

7、=2EC劣弧 AE是劣孤 DE的2倍；AE=BC其A中正确结论的序号是'例4. （2005?内江）如图所示，O O半径为2,弦BD=2V3, A为弧BD的中点，E为弦AC的中点,且在BD上，则四边形ABCD的面积为例4、如图AB是O O的直径，ACA所对的圆心角为 60° BEA所对的圆心角为 20°且/ AFC=Z BFD,/ AGD=/ BGE则/ FDG的度数为（考点三：垂径定理1、（2010?大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，O P与x轴相切于点Q,与y轴）C、(5, 4) D、(4, 5)2.5cm C、2cm D、1cm3、 （2009?

8、龙岩）如图， AB、CD是半径为5的O O的两条弦，AB=8, CD=6, 于点E, CD丄MN于点F,P为EF上的任意一点，贝U PA+PC的最小值为多少？N4、已知：如图，/ PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3cm, DB=10cm，以DB为直径作O O交射线OC丄 AB 于点 D,且 AB=8m, OC=5m，贝U DC 的AP于E、F两点，求圆心 O到AP的距离及EF的长.A5、如图所示，O O的直径AB和弦CD交于E,已知AE=6cm,EB=2cm,/ CEA=30°，求CD.D,求证：AC=BD.6、如图， OAB中，OA=OB,以O为圆心的圆交 BC

9、于点C,考点四：垂径定理的应用0.8米，最1、（ 2009?青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 深处水深0.2米，则此输水管道的直径是多少？*02 （2006?荷泽）如图，底面半径为 5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm,则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为多少?3、（2008?黄冈）如图是 明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关 数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=20cm,BD=200cm，且AB, CD与水平地面都是垂直

10、的.根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧 形门的最高点离地面的高度是多少？ 臺15、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm,水深GF=2cm.若水面上升2cm （ EG=2cm）,则此时水面宽AB为多少？针对性练习1、（ 2004?南宁）如图，D、E分别是O O的半径 OA、OB上的点，CD丄OA, CE丄OB, CD=CE贝U A" 与CBA弧长的大小关系是a2、如图，已知AB是O O的直径，PA=PB / P=60° 则弧CD所对的圆心角等于度.3、（2009?哈尔滨）如图，在O O中，D、E分别为半径 OA、OB上的点，且AD=BE.点C为弧AB上

11、一点，连接CD、CE/ AOC=/ BOC.CO,求证：CD=CE4、（2011?重庆）如图，OO是 ABC的外接圆，/ OCB=40°，则/ A的度数等于（5、（ 2011?福建）如图，AB是O O的直径，C, D两点在O O上，若/ C=40°,则/ ABD的度数为（）C度,AE07、8、在 ABC中，/ 如图，P是直径A=150°, BC=6cm,则 ABC的外接圆的半径为 cm .P的弦，那么下列 PC与PD的长度中,符合题意的是（D6、（2005?镇江）如图，O O是等边三角形 ABC的外接圆，D、E是O O上两点，则/ D= / E= 度9、如图，在圆