圆锥曲线与方程复习资料

1、高中数学选修2 - 1第二章圆锥曲线与方程知识点:一、曲线的方程求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的直角坐标系; 设动点M X, y及其他的点； 找出满足限制条件的等式； 将点的坐标代入等式； 化简方程，并验证（查漏除杂）。二、椭圆1、 平面内与两个定点 F1 , F2的距离之和等于常数（大于 尸汗2| ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。iMFj |MF2 2a 2a 2c2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程2 221 a b 0a b2 2yX21 a b 0ab第一定义到两定点Fi、F2

2、的距离之和等于常数 2a ,即|MFi | |MF2 | 2a（ 2a |）第二定义到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即也匸 e （0 e 1）d范围1a,0、2 a,01 0, a 、2 0,a顶点1 0, b、2 0，b1b,0、2 b,0轴长长轴的长2a 短轴的长 2b对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八'、八、Fjc,0、F2 c,0Fj 0, c、F2 0,c焦距证| 2c (c2 a2 b2)离心率厅再（。e “准线方程2 a x c2 a y 一 c焦半径M (xo, yo)焦点三角形面积通径（焦点）弦长公式左焦半径:MFi右焦半径：jMF?a e

3、Xoa eX)MFi F2b2t形(过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:A(Xi,yi), B(X2,y2)，AB Ji k2下焦半径：MF上焦半径:F1MF2)a ey。MF2 a eyoHH I aXi xJik2X274x,x23、设是椭圆上任一点, 则四e。到Fi对应准线的距离为di，点 到F2对应准线的距离为d2，did2常考类型类型一：椭圆的基本量2i.指出椭圆9x4y236的焦点坐标和离心率.2x【变式i】椭圆252yi6i上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，贝y P到另一个焦点的距离=2x【变式2】椭圆一162y251的两个焦点分别为 Fi、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，贝y

4、ABF1的周长CABFi -22【变式3】已知椭圆的方程为 七 i，焦点在x轴上，则m的取值范围是（）。16 mA. 4< m < 4 且 m 工 0 B. 4 < m < 4 且 m 工 0 C. m > 4 或 m < 4 D. 0 <类型二：椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点 P到两焦点距离的和是10;（2）两焦点的坐标分别为0,4,0,-4，且椭圆经过点(5,0)。2x【变式11已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆一921有相同的焦点，并且4经过点（3, 2）,求

5、此椭圆的方程。3 .求经过点P （ 3, 0）、Q （0 , 2）的椭圆的标准方程。2 2【变式1】求与椭圆4x+9y =36有相同的焦距，且离心率为迓的椭圆的标准方程。5【变式21在椭圆的标准方程中Q仝，“=届，则椭圆的标准方程是（）D .以上都不2xA. 一362J 1352B. 362135【变式31长轴长等于20，离心率等于3，求椭圆的标准方程。5类型三：求椭圆的离心率4已知椭圆一条准线为y x 4，相应焦点为（1,-1）,长轴的一个顶点为原点0 , 求其离心率才的取值。()【变式11椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为D.不确定【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边

6、三角形，则此椭圆的离心率是(A-55.已知椭圆2x2a0)，以金，丘，亡为系数的关于X的方程无实根，求其离心率 咅的取值范围。类型四：椭圆定义的应用6若一个动点P( X,y)到两个定点 A ( 1,0)、A/(1,0)的距离的和为定值m ( m>0 ), 试求P点的轨迹方程。【变式1】下列说法中正确的是()A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C. 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D. 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是条线段【变式2】已知A (

7、0, 1 )、B (0 , 1)两点， ABC的周长为6,则 ABC的顶点C的轨迹方程是()B.才+丄=1>工±刃43+才=1("0)C.43类型五：坐标法的应用7 ABC的两个顶点坐标分别是B (0, 6 )和C (0, 6),另两边AB、AC的斜率的乘积是-4，求顶点A的轨迹方程。9【变式1】 ABC两顶点的坐标分别是 B (6, 0)和C (-6, 0),另两边AB、AC的斜率的积是-4，则顶点的轨迹方程是9J 2A. 8136B.十C.16D.课后练习x21椭圆一162y251的焦点坐标为(A) (0, ±3)(B) (±3, 0)(C)

8、(0, ±5)( D) (±4, 0)2X2 在方程1002y641中，下列a, b, c全部正确的一项是(A) a=100, b=64,c=36( B) a=10, b=6, c=8(C) a=10, b=8, c=6(D) a=100, c=64,b=363 .已知a=4,b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是X2(B) X2 142X 2, y 1 16(D) X2L 1164已知焦点坐标为(0,-4), (0, 4),且a=6的椭圆方程是2 2X y(A)36202(B)202y362(C)362y162(D)162乂 1362 2X y5.若椭圆100361上一点P到焦

9、点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是(A) 4( B) 194(C) 94(D)146 .已知F1, F2是定点,| F1 F2|=8,动点M满足|M F1I+IM F2|=8，则点M的轨迹是(A)椭圆 (B)直线(C)圆 (D)线段7 .当a+ b=10, c=2 U5时的椭圆的标准方程是&已知一个圆的圆心为坐标原点， 半径为2，从这个圆上任意一点 P向x轴作垂线段PP，则线段PP'的中点M的轨迹方程为9.经过点M(J3, 2), N( 2J3,1)的椭圆的标准方程是三、双曲线1、 平面内与两个定点 Fi，F2的距离之差的绝对值 等于常数(小于|F1F2| )的

10、点的轨迹称 为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。|MFi| |MF 2a 2a 2c2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程2 2x y1 a O, b 022yx2 1 a O, b 0ab到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即| MFi| IMF2 | 2a第一定义(0 2a IFF2 |)第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即匝 e (e 1)d范围顶点1a,0、2 a,01 O, a、2 0，a轴长对称性实轴的长2a虚轴的长 2b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点Fjc,0、F2 c,0F

11、1 O, c、F2 0,c焦距FiF2 2c (c2a2 b2)离心率cc2e ；孑再(e 1)准线方程2aXc2 a y 一 c渐近线方程by -XaaybX焦半径M（X0, y。）左焦：M在右支右焦：左焦：M在左支右焦：MF1 ex0 aMF2I eX) aMF1eX。 aMF2I eX。a左焦:MF1M在上支右焦:MF2左焦:MF1M在下支卄住右焦：MF2ey。 aey。 aey。aey。 a焦点三角形 面积S MF1F_ b cot? (F1MF 2)通径b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH 1 a3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。4、设 是双曲线上任一点，点 则e。到F对应

12、准线的距离为di，点 到f2对应准线的距离为d2 ,d1d2常考类型类型一：双曲线的定义及标准方程例1.如图2所示，F为双曲线2c：z921的左16焦点，双曲线C上的点Pi 与 P7 i i则RFA. 9P2FB. 16PaFC.P4F18P5FD.1,2,3关于y轴对称,F6F|的值是（）272y122,则T*的面积为A. 6/3练习:设P为双曲线X21上的一点B. 12x2例2.已知双曲线C与双曲线一-y1方程.F1、F2是该双曲线的两个焦点，若C. 123D. 24有公共焦点，且过点（32 , 2）.求双曲线C的22x练习：1.曲线10佥1(m2 26）与曲线54許-1(5 n 9)的

13、() nA.焦距相等B.焦点相同C 离心率相等D 以上都不对2x2.已知椭圆一23m2每 1和双曲线5n2 2x y2 J 1有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近2m 3n线方程（2）直线l过焦点且垂直于x轴，若直线I与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为33，求双曲线的方程4类型二：双曲线的几何性质22x y例3.已知双曲线m n题型1求离心率或离心率的范围1的一条渐近线方程为 y 4x，则该双曲线的离心率 e为3题型2与渐近线有关的问题2x例4.若双曲线a2 y b21(a0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （）A. J2b.u3cJ5D.2练习：焦点为（0，2 2

14、2L L 1A.1224题型3焦点三角形2点P是双曲线4则F1PF2的面积6），且与双曲线1上一点,2练习：设F1, F2是双曲线92x"22x24F1、2y16有相同的渐近线的双曲线方程是2_y_C.2421122L 112F2是双曲线焦点，若1的两个焦点，oF1PF2=12O，点P在双曲线上，且F1PF260，求 F1PF2 的面积。课后练习一、填空题21.椭圆92 2 2k2 1与双曲线T七1的焦点相同，则k=。22 双曲线乙93 .过点(-6 ,22L 1的渐近线为42 23)且和双曲线x-2y =2有相同的渐近线的双曲线方程为4 .过原点与双曲线2汪1交于两点的直线斜率的取

15、值范围是5、若双曲线8kx 2 ky28的一个焦点是(0, 3),则k的值是X26点P是双曲线一41上一点，F1、F2是双曲线焦点,3若FiP F2=120o，贝U F1PF2 的面二、选择题27.经过双曲线X2y21的右焦点F2作直线I交双曲线与A、B两点，若|AB|=4,则这样(D )1(的直线存在的条数为(C) 2 ；(A )4;( B) 3;&双曲线与其共轭双曲线有A .相同的焦点 B.相同的渐近线C.相等的实轴长D.相等的虚轴长9 .过点P(3,4)与双曲线2Xc : 一92y161只有一个交点的直线的条数为B. 3C.2D. 1三、解答题10.已知动圆与圆(1)求动圆圆心是

16、O (只需写出图形形状)2 2 2 2C1：(x+5) +y =49 和圆 C2： (x-5) +y =1 都外切，P的轨迹方程。(2)若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹 _ O若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是O若把圆C1的半径改为1,那么动圆P的轨迹是.四、抛物线1、 平面内与一个定点 F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为 抛物线的焦点，定直线1称为抛物线的准线.2、关于拋物线焦点弦的几个结论：2设AB为过抛物线y 2 px ( P 0)焦点的弦，A(X1,y1)、B(X2,y2)，直线AB的倾斜角为，则2X1X2 AB2P

17、.2；sin以AB为直径的圆与准线相切;3抛物线的几何性质:例题讲解图形J1丑-q.J>.T2 cy 2 px2 px2Cx 2 pyx22 py定义0,0焦半径M (Xo, yo)MFXoy0lMF通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:HH I 2p焦点弦长公式ABx x2参数P的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔1.抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）17A. 一1615B.16D. 02.顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3, 2）的抛物线的条数有常考类型类型一： 抛物线的定义2例1.已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点

18、Q （2, - 1）的距离与点P到抛物线焦点标准方程与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）顶点离心率对称轴范围隹占八'、八、距离之和的最小值为2练习1.已知抛物线y 2p x( p 0)的焦点为F，点P(X1, yjF2(X2,y2), P3(x3, y3)在抛物线上，且I RF I、IP2F I、I RF I成等差数列，则有A .X1X2X3B.y1y2y C. X, X3 2x2D.yiy32 y2练习2.已知点A(3,4),f是抛物线y28x的焦点,M是抛物线上的动点，当MAMF最小时,M点坐标是A. (0, 0)B. (3, 2尿)C.

19、(2, 4) D. (3,276)类型二： 抛物线的标准方程例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线X 2y 40上22x练习3.若抛物线y2px的焦点与双曲线一32y 1的右焦点重合，则P的值练习4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在X轴上;抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为能使这抛物线方程为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2, 1).2y =10x的条件是(要求填写合适条件的序号)类型三： 抛物线的几何性质例3.设A、B为抛物线y22px上的点，且AOB 90 (

20、0为原点),则直线AB必过的定点坐标为2练习5.若直线ax y 10经过抛物线y4x的焦点，则实数a练习6.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A若A、B在抛物线准线上的射影为 A,B1 ,则 A1FB1A. 45 B. 60 C. 90D.120课后练习 一、选择题21.如果抛物线y=ax的准线是直线x=-1 ,那么它的焦点坐标为A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0) D. (- 1,0)2 .圆心在抛物线2y =2 x 上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_ _ 1A. x + y - x-2 y =04B.2y +x-2 y+1=02 2C. x+ y -x

21、-2 y +1=02 1y-x-2 y+r03.抛物线yx2上一点到直线2x40的距离最短的点的坐标是A. (1 , 1)B.4. 一抛物线形拱桥，1 1(,)2 4当水面离桥顶C.(|，9)D. (2, 4)2m时，水面宽4m,若水面下降1m ,则水面宽为A .晶 m B.4.5m D . 9m5 .平面内过点A (-2 ,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是2A. y = 2x B .2y = 4x C.2cy = - 8xD.2y = - 16x6 抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴，抛物线上点-5 , m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是2A. y =-2 x2b. y =-4

22、C.2=2x2r、2D. y =-4 x 或 y =-36 x7 过抛物线y2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(xi, y 1),B(X2, y 2)两点，如果 xi+ X2=6，那么 |AB|=A. 8B. 10C. 6D. 4&把与抛物线y 2=4 x关于原点对称的曲线按向量a (2,3)平移，所得的曲线的方程是()A.(y3)24(x2)b. (y 3)24(x2)C.(y3)24(x 2)D. (y 3)24(x2)9 .过点M (2, 4)作与抛物线2y =8x只有一个公共点的直线l有A.B. 1条C. 2条10.过抛物线2y =ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于 P Q两点，若线段 PF与FQ的长分别是P、q,则丄1等于P qA. 2a1B. 一 C. 4a2a二、填空题11.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4,则焦点到AB的距离为212抛物线y =2x的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是13. P是抛物线2y=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定