不可约多项式ppt课件

1、因式分解与多项式系数所在数域有关因式分解与多项式系数所在数域有关如：如： 422422xxx 2222xxx 在有理数域上在有理数域上 2222xxxixi 问题的引入问题的引入在实数域上在实数域上在复数域上在复数域上设设 ，且，且 ，假设，假设( ) p xP x 1p x ( )p x不能表示成数域不能表示成数域 P上两个次数比上两个次数比 低的多项式的低的多项式的 ( )p x Def.乘积，那么称乘积，那么称 为数域为数域P上的不可约多项式上的不可约多项式.( )p xRemark 一个多项式能否不可约依赖于系数域一个多项式能否不可约依赖于系数域. 一次多项式总是不可约多项式一次多项式

2、总是不可约多项式. 一、不可约多项式一、不可约多项式 多项式多项式 不可约不可约 ( )( ( )1p xp x ( )p x的因式只需非零常数及其本身的非零常数倍的因式只需非零常数及其本身的非零常数倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 多项式多项式 不可约，对有不可约，对有( ) f xP x( )p x证：设证：设 那么那么 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x( )0d xa即即 或或( )1,d x

3、不可约不可约. ，假设，假设 ( )p x( ), ( ) f xg xP x ( )( ) ( ),p xf x g x那么那么 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x证：假设证：假设 结论成立结论成立 .( )( ),p xf x4Th假设假设 不整除不整除 ，那么，那么 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf xTh. 5( )( ).p xg x不可约，不可约， ( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx那么必有某个使得那么必有某个使得 ( ),if x( )( ).ip xf xCor.( )( ),p xP x 假设假设 ，

4、那么，那么 可可( ( )1f x( )f x独一地分解成数域独一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积上一些不可约多项式的乘积. 所谓独一性是说，假设有两个分解式所谓独一性是说，假设有两个分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxp xq x qxq x 1. Th.那么那么 ，且适当陈列因式的次序后，有，且适当陈列因式的次序后，有 st ( )( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常数是一些非零常数 (1,2, )ic is 二、因式分解及独一性定理二、因式分解及独一性定理证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳. ( )f x1(

5、 )1f x 时，结论成立时，结论成立下证的情形下证的情形. ( )f xn 设对次数低于设对次数低于n的多项式结论成立的多项式结论成立2 一次多项式都不可约一次多项式都不可约 假设假设 是不可约多项式是不可约多项式. ( )f x假设假设 不是不可约多项式，那么存在不是不可约多项式，那么存在 ( )f x12( ),( ),fxfx且且 使使 ( ),1,2if xni12( )( )( )f xfx fx 结论显然成立结论显然成立由归纳假设由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积皆可分解成不可约多项式的积. 12( ),( )fxfx再证独一性再证独一性 .12( )( )( )tq x q

6、xq x ( )f x可分解为一些不可约多项式的积可分解为一些不可约多项式的积. ( ),( )1,2, ;1,2, .ijp x qxisjt 都是不可约都是不可约设设 有两个分解式有两个分解式( )f x12( )( )( )( )sf xp x pxp x 多项式多项式.对对 作归纳法作归纳法 s假设假设 那么必有那么必有 1,s 1,st 11( )( )( )f xp xq x假设不可约多项式个数为假设不可约多项式个数为 时独一性已证时独一性已证. 1s 由由()112( )( )( )( )tp x q x qxq x无妨设无妨设 那么那么 1( )( ),jqxq x 11( )

7、( )p x q x1111( )( ),0q xc p xc 1( )( ).jp x qx使得使得 ( ),jqx (1)两边消去两边消去1( ),q x1212( )( )( )( )stpxpxcqxq x 由归纳假设有由归纳假设有 11,st 即得即得.st ( )f x总可表成总可表成 1212( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x 对对其中为其中为 的首项系数，的首项系数， 为互不一样的，为互不一样的，c( )f x( )ip x 首项系数为首项系数为1的不可约多项式，的不可约多项式，.irZ 的规范分解式的规范分解式.称

8、之为称之为( )f x2. 规范分解式：规范分解式：Remark 假设知两个多项式假设知两个多项式 的规范分解式的规范分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x那么可直接写出那么可直接写出就是那些同时在就是那些同时在 的规范的规范( ),( )f xg x ( ),( )f xg x分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数方幂指数等于它在中所带的方幂指数( ),( )f xg x中较小的一个中较小的一个( )( ),1,2,iif x g xrlis E. g. 假设的规范分解式分别为假设的规范分解式分别为( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl 那么有那么有 1212( ), ( )( )( )( ),ssf x g xpx pxpx min,1,2,iiir lis 1212( ), ( )( )( )( ),suuusf x g xpx pxpx max,1,2,iiiur lis 虽然因式分解定理在实际有其根本重要性，虽然因式分解定理在实际有其根本重要性，但并未给出一