傅里叶变换的基本性质

1、傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。 在实际信号分析中， 经常需因此有必要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。线性傅里叶变换是一种线性运算。若其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例 3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。由式 (3-55) 得二、对称性证明 因为将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将 t 用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式 (3-56) 成为可见， 傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与

2、信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如例 3-7 若信号的傅里叶变换为试求。解 将中的换成 t ，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式 (3-54) 可知为根据对称性再将中的换成 t ，则得为抽样函数,其波形和频谱如图 3-20 所示。三、折叠性四、尺度变换性 观看动画证明因a0,由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩 （或时间尺度扩展 ） a 倍,而则表示沿频率轴扩展 （或频率尺 度压缩 ） a 倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比, 信号持续时间压缩的倍数恰好 等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。例 3-8

3、已知, 求频谱函数。解 前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函两种信号的波形及频谱函数如图 3-21 所示。五、时移性此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。 它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。例 3-9 求的频谱函数。解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性证明证毕频移性说明若信号乘以， 相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中 的每条谱线都必须平移， 亦即整个频谱相应地搬移了位置。频谱搬移技术在通信系统得 到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频

4、谱搬移的基础上完成的。频 谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号或，即七、时域微分性证明 因为两边对 t 求导数，得所以同理，可推出例 3-10 求的频谱函数。解: 因为由时域微分性例 3-11 图 3-22 所示信号为三角形函数求其频谱函数。解: 将微分两次后，得到图 3-22(c) 所示函数，其表达式为由微分性所以八、频域微分性例 3-12 求的频谱函数。解: 因为根据频域微分性九、时域积分性例 3-13 根据和积分性求的频谱函数。解: 因为根据时域积分性例 3-14 求图 3-23 所示信号的频谱函数。解: 对求两次微分后，得由时域积分性十、频域积分性例 3-15 已知，求。解: 因为根

5、据频域积分性一、时域卷积定理证明例 3-16 图 3-24(a) 所示的三角形函数可看做为两个如图 3 24(b) 所示门函数卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数。解： 因所以例 3-17 一个信号的希伯特变换是和的卷积，即解： 因为则对称性由时域卷积定理十二、频域卷积定理例 3-18 利用频域卷积定理求的傅里叶变换。解： 因为由对称性所以根据频域卷积定理十三、帕塞瓦尔定理可推广若为实函数，则若, 为实函数，则例 3-19 求。解： 因由帕塞瓦尔定理可得十四、奇偶性若，则(1) 当为实函数时，则若为实偶函数，即，则若为实奇函数，即，则当为虚函数，即时，则傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性2