特征方程解数列递推关系

1、用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2= aAn+1+ bAn2特征方程为 X =aX+b解得两根X1 X2(1)若 XI 工 X2n n则 Ai=pX1 +qX2若 X1=X2=Xn则 Ai=(pn+q)X(其中 p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)(3)若为虚数根,则为周期数列类型二递推公式为Ai+1= aAn bCAn daxbCXd解得两根X1特征方程为X=An 1X2aAn bX1 _ cAn dXi(1)若X1K X2则计算A 一一An 1 X 2aAn bAn x 2X2CAn d接着做代换Bn=JAlAn X21

2、即成等比数列(2)若Xi=X2=X则计算An = AV=k+丄 X aAn b xAn Xx.CAn d接着做代换Bn=An X(3)若为虚数根，则为周期数列即成等差数列2类型三递推公式为An+1= aAn bcAn d特征方程为X =解得两根XI X2。然后参照类型二的方法进行整理CX d类型四 k阶常系数齐次线性递归式An+k=C1An+k-1+C2An+k-2+CkA n特征方程为Xk= C1Xk-1+C2Xk-2+ +Ck, , Annn(1)若 X1 工X2则 A=k1X1+k2X2+ kkXk 若所有特征根X1,X2,Xs.其中Xi是特征方程的 ti次重根,有t 1+t 2+ts=

3、k则 An=Q1( n)X1n+Q2( n)x2+Qs( n)Xs其中Qi( n)=B1 +B2 n + Bti n ( BE，Bi为待定系数)特征方程的推导及应用类型一、递推公式为an 2 Pan , qan (其中p， q均为非零常数)。先把原递推公式转化为an 2Xian 1X2(an 1Xian)，其中Xi,X2满足X X P，显然Xi,X2是方程X2XiX2qpx q0的两个非零根。1) 如果 a2 Xiai 0，则 an 2Xian 10 , an成等比，很容易求通项公式。2) 如果 a2 xiai0,则an 2Xiani成等比。公比为X2 ,所以 an 1Xian2“1)X2“1

4、，转化成:an 1n 1X2竺42Xiai)，X2 X2(I )又如果xiX2X，则黑汀等差，公差为X2(a2 xiai)，所以X21)(a2 Xia,)，即：ania2(n 1)(a21an X2(n 2)(a2 Xiai)x2niX2可以整理成通式：an (A Bn )xnli)如果XiX2，则令bn 1 ，XiX2A，(a2Xia,)B,就有bn 1B，利用待定系数法可以求出bn的通项公式bnaiX2(iXi亠与1X2X2X, x2ai Xia 2 n 1X2XiX2可以整理成通式annnAxi Bx2XiX2所以 an aiX2(i X2)(Xi)ni (a2 Xiai)X2x2n 2

5、，化简整理得:x2x, x2aai(i X2)x n 1anxiXiX2小结特征根法：对于由递推公式an 2 Pan 1 qan， a1, a?给出的数列an，方程x2 px q 0 ,为特征方程。若 X1,X2是特征方程的两个根，当X1 X2时，数列an的通项为anAx；1 Bx； 1，其中 A, B由 a1,a2 决定(即把 a1 ,a2,X1,X21,2，代入anAx： 1 Bx： 1，得到关于A B的方程组）；当X1X2时，数列an的通项为an(A Bn)x； 1，其中 A,B由印 ,a2决定(即把 a1,a2,x1,x2和 n 1,2 ,代入an（A Bn）x2 1，得到关于A、B的

6、方程组）。简例应用（特征根法）：例1：数列an : 3an 25a n 12an 0(n0, nN)，% a, a2b解：特征方程是:3x25xX11,X223anBx2 11。又由 a1a, a2b，于是例2:设P、B2b33b3(a2ab)故an23b 2a 3(a b)n 1q为实数,a、2x -px+q=O的两个实数根，数列x n满足X1 = P, X2 = p- q,X n = P Xn-1-qXn-2( n=3,4,5 )求数列Xn的通项公式。2解：显然Xn=pXn-1-qx n-2( n=3,4,5 )的特征根方程就是 X - px+q=0，而a、B是方程X2-Px+q=O的两个

7、实数根，所以可以直接假设:当a =8时，设Xn(A Bn) n 1，因为 X1=p,X2=p2-q，所以(A 2B)解得Xn 22Xn丄(p2时，设Xn A解得2n 1+_P_B p2 q pP)n n2n 12B ，因为 X1=P,X2=p-q ,所以类型二、递推公式为an 1 Pan qran h解法：如果数列an满足:已知a1，且对于n N，都有an 1h均为常数，且ph qr,r0, ai且仅有一根x0时,如果a1xo则 anXo ；如果a1 x。则一anXopanqranhXpxqrxh1曰等差（其中 P、q、r、,当特征方程有1L-），那么，可作特征方程r数列。当特征方程有两个相异

8、的根 x1、x2时，则an X1 an X2是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）例1：已知数列an满足：对于N,an 1an 42an,且a13,求an的通项公式.3解：数列an的特征方程为X4,变形得2x22x 32x 40,其根为11,2.故特征方程有两个相异的根,则有Cna11a12(p1 r)n 12r弋),n N. Cn5(-)n1,n5N.2CnCn1r 1 n 1 5)1X n 15|(尹11-,nN.42 ( 5)n,nN.例2:已知数列an满足：对于n N,都有an(1)a15,求 an；a13,求 an；a16,求 an；当ai取哪些值时，无穷数列an不存在?13x 2

9、5c解：作特征方程x变形得x210xx 3特征方程有两个相同的特征根5.(1) a15,ai对于nN,都有an13an 2525an0,5；- a13,a1-bn(na11)771(n 1) 13口，令b80，得5.故数列an从第5项开始都不存在,n N时,5n 17(3) a16,5,a1anbn.bn令bn0,则nbna1nN,5n43n71,nn. 对于bn(n1)70.N.,n 18 ,nN.（4）、显然当a13时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知,a15时an是存在的，当a15时，有bna1r(n 1)P ra15 即,n N.令bn当 a5n 13“ 口a1 ,n

10、N 且 n 2.n 15n 13 （其中n N且2）时，数列an从第n项开始便不存在。n 10,则得于是知:当a1在集合 3或 九:门N,且n 2上取值时，无穷数列an都不存在。n 1例 3：数列an满足 a11 且8an 1an 16an 12an 5 0(n 1).记 h an求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.解：由已知，得an 12an 58a n16,其特征方程为x2x 5解之得，x116 8xX2an6(an16 8a nan512(an 勺_4_8an16an 1anbn1254132nananan12541a1 254a1?an24a1b12(b b23(na2b21)an1 得 anbn21,例4:各项均为正数的数列anbn2n)5n1)ana1 a, b,b,且对满足q的正整数m,n, p, q都有a n ama p aq(1an )(1am)(1 ap)(1