特殊平行四边形：证明题

1、基础篇特殊平行四边形之证明题题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC中，AB > 折，使点A落在边BC上，记为A .A.C.AC， D、E分别是AB、AC上的点， ADE沿线段DE翻 若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是()AA是BC边上的中线AA是 ABC的角平分线DE是 ABC的中位线B.AA是BC边上的高D.已知：如图，在 YABCD中，AE是BC边上的高，将 ABE沿BC方向平移，使点e与点C重2.合，得 GFC . (1)求证：BE DG ;(2)若 B 60°当AB与BC满足什么数量关系时，四边形 ABFG是菱形？证明你的结论.3、将平行四边形纸片 ABCD

2、按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处, 折痕为EF .(1) 求证： ABE AD F(2) 连接CF,判断四边形 AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.4.如图，CD .( 1)ABC中，AC的垂直平分线 MN交AB于点D，交AC于点0，CE / AB交MN于E，连结AE、 求证：AD = CE;( 2)填空：四边形 ADCE的形状是5如图，在 ABC中, ABAC D是BC的中点，连结 AD在AD的延长线上取一点 E,连结BE CEABEC是菱形？并说明理由.(1)求证： ABE ACE6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把 ACD沿CA方向平移得到 AC D .

3、(1) 证明 AAD CCB ;(2) 若 ACB 30°，试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形 ABC D 说明理由.7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AB 5, AC 6 .点BC的延长线于点E.(1)求 BDE的周长；是菱形，并请A A(2)点P为线段BC上的点，连接 PO并延长交AD于点Q 求证：BPQ ./ /DAC 交8如图，在 ABC中，/ A(1 )点D是 ABC勺(2)求证：四边形 dec为菱形.B 第19/ B的平分线交于点 D DE AC交BC于点E, DF" BC交AC于点F. _心；9、如图，已知：在四边形ABFC中,ACB

4、=90 , BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1)试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形； 当 A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论. (特别提醒：表示角最好用数字)10、如图，矩形 ABCD中，0是AC与BD的交点，过0点的直线EF与AB, CD的延长线分别 交于 E，F . (1)求证： BOEDOF ；(2)当EF与AC满足什么关系时，以 A, E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.C型二：正方形的证明题1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG.(1)求证：AE=CG;( 2)观察图形，猜想 AE与CG

5、之间的位置关系，并证明你的猜想2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边FG与BC 交于点H (如图)试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜 想.(2)4、如图12，B、C E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG DE. (1)观察猜想BG与 DE之间的大小关系，并证明你的结论.(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在,E请说明理由.5.如图，四边形 ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E，BF丄AG于点F.(1) 求证：DE BF =

6、 EF .(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.DE、BF、EF 之间(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时 的数量关系(不需要证明).图在正方形 ABCD中, G是CD上一点，延长 BC到7、已知：如图，(1)求证： BCG DCE(2 )将 DCE绕点D顺时针旋转90 °得到 DAE，判断四边形E,使CE= CG连接BG并延长交DE于F.E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由.9.如图：已知在 垂足分别为E，(1)求证： ABC中，AB AC，D为BC边的中点，过点D作DE丄AB, DF丄AC，

7、 F . BED 尢 CFD ;(2)若 A 90°求证：四边形DFAE是正方形.题型五：矩形的证明题1.如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF=BD，连结 BF。求证：BD = CD;如果AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。(1)(2)2.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，AB / DE，AF / 四边形AEFD是平行四边形.(1) AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2) 当 ABDC，E、F两点在边BC上，且DC时，求证：Yabcd是矩形.3.如图，四边形 求证：(1)ZABC

8、D是矩形，卩阮和 QCD都是等边三角形，且点PBA= / PCQ=30° ;( 2) PA=PQ.P在矩形上方，点 Q在矩形内.试判断AB与4.如图， ABC 中，AB=AC，AD、AE 分别是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分线，be丄AE.( 1)求证：DA丄AE;( 2) DE是否相等？并证明你的结论.O乍直线MM BC设M交/ BC的角平分线于点E,交AEC是矩形？并证明你的结论.5、如图，在 ABC中，点C是A(边上的一个动点，过点 / BCA勺外角平分线于点F.(1)求证：E(=FC ( 2)当点C运动到何处时，四边形6、如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是

9、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的 延长线于F，且AF DC，连接CF .(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB AC，试猜测四边形 ADCF的形状，并证明你的结论.题型六：综合证明题2.如图所示，在 Rt ABC中，/ ABC 90 .将Rt ABC绕点C顺时针方向旋转 60得到 DEC，点E在AC上，再将Rt ABC沿着AB所在直线翻转180得到 ABF.连接AD.(1) 求证：四边形AFCD是菱形；(2) 连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？3.如图， ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN / BC ,设MN交 BC

10、A的 平分线于点E，交 BCA的外角平分线于点 F .(1) 探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2) 当点0在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3) 当点0运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？5、如图15,平行四边形ABCD中，ABAC，AB 1，BC J5 .对角线 AC，BD 相交于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC, AD 于点 E，F .(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形;(2)(3)时AC绕点0顺时针旋转的度数.试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等

11、；在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此D提咼篇选讲四边形证明经典题1.在口 ABCD 中，AC、E、G、F、H 四点，试判断四边形当 EF丄GH时，四边形EGFH的形状是 在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形EGFH 在（3）的条件下，若 AC丄BD,边于(1)(2)(3)(4)如图, 如图, 如图, 如图,BD交于点0,过点0作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条 连结 EG、GF、FH、HE.EGFH的形状，并说明理由；试判断四边形BHF C图HBF C图的形状是;EGFH的形状，并说明理由.（第1题图）2. 已知：如图，在正方形

12、（1）求证：BE = DF;（2）连接AC交EF于点0延长0C至点M使0M= 0A连接 是什么特殊四边形？并证明你的结论.ABC中，点E、F分别在BC和CD±,AE =AF.EM FM 判断四边形 AEMF3.如图， ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合)，连结AD ,作BE AD ,垂足为E ,连结CE ,过点E作EF CE，交BD 于F .(2)(1)求证：BF FD ;A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由;A在什么范围内变化时，线段1DE上存在点G，满足条件DG - DA，并说明理4由. 试探索四边形EGFH的形状，并说

13、明理由. 当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明. 若 中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.(第25题图5.如图所示，在 ABC中，分别以 AB AC BC为边在BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等边 BCF(1) 求证：四边形 DAEFi平行四边形；(2) 探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明 ) 当ABC满足条件时, 当ABC满足条件时, 当ABC满足条件时,存在.四边形四边形以DDAEF是矩形；DAEF是菱形；A E、F为顶点的四边形不E(第29题图)6.如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 丄EB于G, A

14、G交BD于点F,贝U 0E= OF,对上述命题，若点 丄EB，交EB的延长线于点G , AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不变，则结 论"0E= OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。0, E是AC上一点，过A作AG E在AC的延长线上，AG问题一图17、在四边形AE FCABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且=BE BFGC = AH DG HD=k ( k > 0)，阅读下列材料,然后回答下面的问题:FC = GC BF DGAE = AHBE HD连结AC,则EF与GH是否一定平行，答：EFGH是平行四边形;BD只需

15、满足BD只需满足如上图，连结BD EH / BD , FG / BD 当k值为时, 在的情形下，对角线 在的情形下，对角线四边形AC和AC和条件时, 条件时,EFGH为矩形;EFGH为菱形;G第2题图ABCD的边 AB、BC上的点，且 EF / AC，在 DA的延长线上8.如图，E、F分别是正方形取一点G,使AG = AD , EG与DF相交于点 H。求证：AH = AD 。9、如图，等腰梯形ABCD中，AB / CD ,对角线AC、P、Q分别是0D、OA、BC的中点。(1) 求证： PQS是等边三角形；(2)若 AB = 8, CD = 6，求 S PQS 的值。(3)右 S PQS S AOD = 4 5，求 CD - AB 的值。第4题图10.将一把三角尺放在边长为 1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点 P在对角线AC上滑 行，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。(1) 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得 到的结论；(2) 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y ,求y