欧拉积分及其应用

1、欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具， 利用它我们可以构 造出处处连续而处处不可微的函数， 还可以构造出能填满正方形的连续曲线 （参 见常庚哲、史济怀著数学分析教程第三册第 17章§ 17.8 ） 含参量积分是构造新函数的另一重要工具， 欧拉积分就是在应用中经常出现的含 参量积分表示的函数。它虽身为含参量积分的一种特例， 被教科书编用于加深对 含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。但本身也是许多积分的抽象概括， 能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分包括:伽马（Gamm）函数：r （s）=s 1 x .cx e dx , s>0.贝塔（Beta）

2、函数：B（p, q）=10Xp1(1 x)q 1dx，p>0, q>0(2)F面我们分别讨论这两个函数的性质:、B函数Euler第一积分1、定义域:1B(P，q)= 0xp 1(1 x)q 1dxp1(1x)q 1dx + 1 x p1(1 x)q1dx= 11 +1221I1 = 02xp1(1x)q 1 dx1112xp 1dx =0dx其收敛须p>0对 l2= 1xp 1(12x)q1dx12 =11(12x)q1dx,令.1-x=t102tq1dx=2召dx其收敛须.q>0.0 t' q2、连续性B(p, q)定义域为 p>0,q>0.因为对

3、p。>0，q。>0 有 xp 1(1 x)q 1 < xp0 匕 x)q0 1 p> p。 ，q > q。而1x0W qv"，上一致收敛，因而推得 B(p，q)在p>0,q>0内连续。3、对称性 B(p，q)=B(p， q) 作变换x=1-y, 得1B(p，q)= oXp 七 x)q 1dx =4、递推公式p0 1(1 x)q0 1dx收敛，故由魏尔斯特拉斯M判别法知B(p ,q)在p。W pv" ,q。0(1 y) p1yq1dy= B(q，p)B(p,q 1q)=B(p，q-1)(p>0,q>1) (1)P q 1B

4、(p,q)=B(p-1，q)(p>1,q>0).(2) p q 1B(p,q)= (P : 11)： 1 2)B(P-1，q-1)(P1"1)B(p , q)=B(p+1 , q)+ B(p , q+1)(p>-1,q>-1).(4)下面只证明(1); 可由对称性及公式(1)推出；(3 )、 可由公式(1).、(2. 推得；当 P>0,q>1 时，有 B(p,q)=1 p 1 /X q 1 I 1X (1 X) dx = 0P01(1 x)q1dxpp 川 q 1=x (1x) |1|0Pp(1x)q 2dx=q 1p1x p10Lxp1(1x)(

5、1x)q2dx=q 1P0xp1(1x*1xp10(1 x)q1dx=q 1pB(p，q-1)-久B(p，q)P移项并整理得(1)5、B(p，q)的其他形式a,令 x= cos2t 则 B(p，q)=2 02sin2q 1 tcos2p 1tdt11特别的当 p=q=1, B(p，q) =B(丄，222)=0b.令x=1当 x:0 71 有 t :+0B(p,q)=tq 1t P 1r t P 1(?dt=0 F17dt = 0FVdt + 1tp1dt(1 t)pq考察tq(1 t)p q'dt,令 t=1,y则有tp1(1 t)p q dtdt.匚dt=1 (1 t)pq 0(1

6、t)pq屮1tq 1 B(p，q) = 0厂产 dt二、r函数Euler第二积分1、定义域r (s)=Xs 1e XdX = Xs 1e XdX+ Xs 1e XdX = 11 + 120 0 1其中1I1 = 0 Xs 1e Xdx ,当s > 1时是正常积分；当Ovsv1时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得)12=4 Xs 1e Xdx,当s>0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西判别法推得) 所以，r函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.2、连续性在任何闭区间a，b(a>0) 上,当 OvxW 1 时有 Xs 1e对 h s1 x由于Q Xa 1e

7、 XdX收敛，从而I1在a , b上一致收敛;对于12，当 K xv+x 时，有 XXs 1e xdx 收敛,从而12在a，b上也一致收敛，于是r(S)在s>0上连续3、可微性0 (Xs 1e x)dx= 0 Xs 1e xln xdx=(xs 1 ln x)e Xdx (利用狄利克雷判别法)它在任何闭区间a，b(a>0)上一致收敛.(s)在a，b上可导.由a，b的任意性，r (s)在s>0上可导，且 r ' (s)= 0 xs 1e x In xdx s>0.依照上面的方法，还可推得r (s)(s)= 0 xs1ex(lnx)ndx.s>0.4、递推公式

8、 r (s+1)=s r (s)证：分部积分法A ss x ,AA s1,s0xe dx= xe |0+s0x e dx= Ae设A-+x,就得到r (s)的递推公式：r (s+1)=s r (s)设nvsw n+1，即卩Ovs nW 1，应用递推公式r (s-1)= .=s(s-1)(s-2)(s-n)s>0上存在任意阶导数：A +sA ,s 1 x .x e dx0n 次可得到 r (s+1)=s r (s)=s(s-1) r (s-n)因(1) = e xdx =10若 s 为正整数 n+1，则 r (n+2)=(n+1)n .2 r (1)=(n+1) !从上可以看出：(2) .

9、 r函数是阶乘的推广(x)!(2).如果已知(S)在0<s< 1上的值，那么在其他范围内的函数值可由它计 算出来，即可做出一个r函数值表三、r函数与B函数之间的关系n 2B (m,1)m n 2 m 1-B (m,n-1)=1当m n为正整数时，反复应用B函数的递推公式可得: 1n 12 0 u2P冷u du，从而又由于B (m,1)=1 m 1 1 ox dx所以 B (m,n)=11 (m 1)!_(n 1)!(m 1)!m 1 m (m 1)! (m n 1)!即B (m，n)=皿如(n m)p、q也有相同的关系:一般地，对于任何正实数B (p,q)=(P) (q)(p q)

10、证：对于r函数，令x=u2,则dx 2udu，于是,xP 1 x .(P)0 x e dx2:y2q1edy/ / A2p 1x2.2q1y2.,R2 p1x2.(P) (q) 4 0 x p e dx 0 y q e y dy=|jm 4 0 x P e dx 令Dr 0, R 0, R，由二重积分化为累次积分计算公式有2p 1 2q 1 xDre(" y2)d = x2Pjlx Ry2q0 0丿(P)(q)lRm4Dx2p1y2q1e(x2 y2)dR2p 1=4 X yD2q 1e & y2)d .(4)这里D为平面上第一象限部分。下面讨论（4）式右边的反常二重积分。记

11、 Dr( x, y) | x2 y2 r2, x0,y 02 2于是有(P)(q) 4 x2p 1y2q1ey )dD对上式右边积分应用极坐标变换，则可得r(P) (q) lim 4 02d 0r2(pq)2(cos )2p 1(sin )2qr1e r2rdr= lim202(cos )2P 1(sin )2q1d20rr2(p q)Hedrr=2 (cos )2p 1(sin )2q 1d ?r (p+q)再由B函数其他形式(a)就得到(P)(q) B(P,q) r (p+q)四、在计算积分之中的应用1、积分值计算：1 I例 1、 Vx x2dx011 一解：原式=x2 (10 1x)2d

12、x331 - 1 - 1 x2 (1 x)2 dx 0(!，!)2 2(|)1 (1)2(3) = 2参考文献：【1】、【2】、3】、华东师范大学数学系， 数学分析 M ， （上，下册 ）北京：高等教育出版社 2007 李铁木 编著分析提纲与命题证明 M ，（第二册）北京：宇航出版社， 1986 费定辉，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五） M ，济南：山东科 学技术出版社， 1999【4】 裴礼文 . 数学分析中的典型问题与方法 M . 北京: 高等教育出版社 , 1993.【5】r . M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程M.北京：高等教育出版 社,1986.Solving definite integral calculation by using Euler integralWang Qing -GuoAbstract : In this paper, aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems ,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first ,then these problems are solve