有趣的36度的余弦值

1、有趣的COS36。说起cos36o,还真是有缘，第一次应该是在咼中上二角函数时在 习题中发现COS36。的值竟然可以用根式表示，学完三角函数的我感觉 以现在的知识应该可以用三角函数公式把它解出来，结果不断地想,天，二天，三天，终于有一天我用cos36Jsin 54。做出来。后来我再想想，我记得初中数学老师曾教过我用尺规做图的方法做出正五 边形，而正五边形又与COS36。相关，因此，这一次我又用这种画图的 方法解出来COS36。，虽然严格意义上不算一种方法，但在快速得出COS36。的值上还是很有帮助。再后来，就是上大学时，在问林磊老师高代问题时，提到了 COS36。，林磊老师当时就提了一些我所不

2、知道的方法，比如作黄金三角形，利用多项式的分解等，当然我后面在写这 个问题时，只能暂时想到四种方法。方法一：三角公式法构造恒等式COS36 Jsi n54两边都化成关于Sin 18。的多项式，即整理，得in 18%in18-l1si丫Sinsin18o+3=0解之，得sin18 =字（不合根舍去）因此cos36 Jl-2si n218J 一1方法二：联立方程组法从上面结果可以看出，cos36o的值和Sin18O的值的积和差有很大的关系，都是分数，因此可以想到用联立方程组来做。cos36osin18o=cos36ocos72o sin72Ocos72Osin144。2sin 36O4sin 36

3、o1 cos36O-si n18o =si n54o-si n18o =2cos36Osi n18o= 21令 X =cos36o，有 x -4x由这个就可以得出cos36o= 血方法三：作黄金三角形如下图所示，在三角形 ABC中，NCAB =36ABC =72。， BD为ZABC的角平分线。设 AB = AC =1, BC =x(x 0 )，贝卩ABBCBC1CDCD因此CD由于BCCDABAD解之，得因此COS72 J 上C2AC由(*可得2V5 +1COS36J12cos 72 =构造函数f(x)=x5-1，然后方程f(x)=0的根为2k兀2k兀Xk =cos+isin(k = 0,1,

4、2,3,4,)55由于xk=1 且 Xk +Xk = 2cos5因此f(x )在实数域上分解为f(X )=(X -1 Jtx2 -2xcos720+1 収2 -2xcos1440+1)把f(X )在实数域上分解时，我们还可以用待定系数法，即设又因为f(X )=(X -1 jx2 + ax +1 仪2 + bx +1)f(X)=(X-1 Jx4 +x3 +x2 +x+1 )比较(*和(* ),可以得到Ja +b =1(ab = 1假设a A b，则a 启,b=y2 2再比较(*和(* ),可得cos72= 1因此2J 5 +1COS36 J1 - 2cos2 72 J4方法五：图形法在中学时，老

5、师曾教过我一种用直尺和圆规作正五边形的方法。作法如下：如右图所示，在圆0中，作两边互相垂直的直径AB和CD，然后，作A0的中点E，再以E为圆心，EC为半径画弧，交B0于点F ,然后以C为圆心，CF为半径画弧，交弧BC于点H。这样，C,H两点就是正五边形的相邻的两个顶点，再分别截取其他3个点G,M,N，就得到了正五边形CHNMG。设圆O为单位圆，即OA=1，从作图过程中可以知道 C 2，CH =CF =2卜 + p/5 1、_(10-2752 而N CHO54。因此 cos54J茹二CHJl0-2腐4从而COS36 J Jl -cos2 5475+14这种方法看上去似乎很简单，只要作一下图就可以了，其实不然, 这种方法的依据是什么呢？还是前人的作图方法， 但这方法以什么为 依据呢？在我个人看来，应该是COS360 =如1。因此