生活中的优化问题举例

1、1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等问题，这些问题等问题，这些问题通常称为通常称为优化问题优化问题，通过前面的学习，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。一些生活中的优化问题。例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向

2、张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？x图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？ 128:,xdmdmx解 设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160 xs x当时，；你还有其他解法你还有其他解法吗？吗？128( )(4)(2) 128s

3、xxx51228,0 xxx2512 ( )2s xx求导数,得2512( )20s xx令：1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是宽为： 16,0.xs x当时，因此，因此，x=16是函数是函数s(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最时，能使四周空白面积最小。小。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得512512( )282 28s xxxxx2 32872512,16(0)xxxsx当且仅当2即时 取最小值8128此时y=16816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面

4、积最小问题问题2:2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ? 你是否注意过你是否注意过, ,市场上等量的小包装的物品一市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些般比大包装的要贵些? ?你想从数学上知道它的你想从数学上知道它的道理吗道理吗? ? 是不是饮料瓶越大是不是饮料瓶越大, ,饮料公司的利润越大饮料公司的利润越大? ?规格（规格（l）21.250.6价格（元）价格（元）5.14.52.5例例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所

5、示，则的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 例例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润

6、最大？利润最大？(）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：324( )0.20.83yf rrrpp32= 0.8 (-)3rr)60( r解：由于瓶子的半径为解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是，所以每瓶饮料的利润是当半径当半径r时，时，f (r)0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (

7、r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p pryo)3(8 . 0)(23rrrfp231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？ 由上述例子，我们不难发现，解决优

8、化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。练习练习1：在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱子容积最大？最大容积是多少？60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 v(x)=

9、x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且v(40)=16000.02360)(2 xxxv由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.练习练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它如何确定它的高与底半径的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半

10、径为r.则表面积为则表面积为 s(r)=2rh+2r2.又又v=r2h(定值定值),.2rvhp则2222)(rrvrrsppp.222rrvp.042)(2rrvrsp由.23pvr 解得3222ppvrvh从而即即h=2r.可以判断可以判断s(r)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时, 所用材料最省所用材料最省.xy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形abcd,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设b(x

11、,0)(0 x2), 则则 a(x, 4x-x2).从而从而|ab|= 4x-x2,|bc|=2(2-x).故矩形故矩形abcd的面积的面积为为:s(x)=|ab|bc|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxs令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxs),2 , 0(1 x所以当所以当 时时,.9332)(3322max xsx因此当点因此当点b为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是) 0 ,2322( .9332问题问题3、磁盘的最大存储量问题、磁盘的最大存储量问题(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2) 你知道磁盘的结构吗？(3)如何使

12、一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？rr例3：现有一张半径为r的磁盘，它的存储区是半径介于r与r的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存 储量越大？(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与r之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,mrr.2nrp .22rrrmnrnrmrrrfpp（1）它是一个关于r的二次函数，从函

13、数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算 xf , 0rf ,2rrmnrfp令 0rf解得2rr , 02; 02rfrrrfrr时，当时，当因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2rr .22mnrp导数的应用（2）例1：方程根的问题求证：方程 只有一个根。102xsin x12110201002f( x)x-sinx,x(,)f ( x)cos xxxf xxsinxx. f( )在（，）上是单调函数，而当时，（ )=0方程有唯一的根证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(