双曲线几何性质课件

1、oYX标准方 程范 围对称性顶点焦 点对称轴离心率准 线关于X,Y轴,原点对称(a,0),(0,b)(c,0)A1A2 ; B1B2ace cax2|x|a,|y|b12222byaxF1F2A1A2B2B1复习 椭圆的图像与性质cax2cax2上述性质其研究方法各是什么？双曲线的标准方程形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、 （c，0）) 0, 0( 12222babyax1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1F2F222cba复复 习习 YXF1F2A1A2B1

2、B212222byax焦点在x轴上的双曲线图像 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性的简单几何性质质) 0, 0( 12222babyax1、范围、范围axaxaxax, 12222即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授课堂新授 3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0

3、 ,()0 ,(21aAaA、顶点是如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线等轴双曲线（3）)0(22mmyxM(x,y)4、渐近线、渐近线1A2A1B2BN(x,y)Q:的位置关系它与xaby :的位置的变化趋势它与xaby 的下方在xaby 慢慢靠近慢慢靠近xyoxaby xaby ab)0(22xaxaby分的方程为双曲线在第一象限

4、内部xabybabyax的渐近线为双曲线)0,0(12222（1）的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyx（2）xy 利用渐近线可以较准确的利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图画出双曲线的草图（3）Yxabxaxabaxaby222)(1222222)(axxaxxaxxab证明证明: :双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为这一部分的方程可写为这一部分的方程可写为12222byaxxaby设设M( (x, ,y) )是它上面的点，是它上面的点，N( (x, ,Y) )是直线是直线 上与上与M有相同横坐标的点，则有相同横坐标的点，则axaxaby22xaby xabY22axxab22ax

5、xabyYMN先取双曲线在第一象限内的部分进行证明先取双曲线在第一象限内的部分进行证明. .NMQ如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程方法一方法一 (几何法几何法) 矩形对角线所在直线矩形对角线所在直线方法二方法二把双曲线标准方程中等号右边的把双曲线标准方程中等号右边的1改为改为0,就得就得到了双曲线的渐近线方程到了双曲线的渐近线方程反过来反过来,能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢?这样的这样的双曲线是否是双曲线是否是唯一唯一的的?0byax22221xyab-=?探求探求:以以 为渐近线的双曲线

6、有哪些为渐近线的双曲线有哪些?034yx?双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为 22221xyab-=xaby观察它们形式上的联系观察它们形式上的联系xaby已知渐近线方程已知渐近线方程,不能确定不能确定a,b的值的值,只能确定只能确定a,b的关系的关系如果两条渐近线方程为如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为那么双曲线的方程为当当 0时时,当当 0时时,当当 =0时时,0byax 2222byax,这里这里是待定系数是待定系数共轭双曲线共轭双曲线：以已知双曲线的：以已知双曲线的实轴为虚轴实轴为虚轴，虚轴为实轴虚轴为实轴，这样，这样得到的双曲线称为原双曲线的得到的双曲线称为原双曲线的

7、共轭共轭双曲线。通过分析曲线的方双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在双曲线焦点在x轴上轴上双曲线焦点在双曲线焦点在y轴上轴上即为双曲线的渐近线方程即为双曲线的渐近线方程1）性质：）性质：共用共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？）如何确定双曲线的共轭双曲线？将将1变为变为-1根据以上四项性质根据以上四项性质, ,能较准确地画出双曲线的图形吗能较准确地画出双曲线的图形吗? ?练习练习: :画出双曲线画出双

8、曲线 的草图的草图22149xy-=双曲线的开口大小有没双曲线的开口大小有没有限制有限制?向远处伸展有向远处伸展有没有约束范围没有约束范围?22194yx=-32xa0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴eace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2( 5 )的双曲线是等轴双曲线离心率2eA1A2B1B2abc222abcx0y几

9、何意义 双曲线标准方程：YX12222byax0byax双曲线性质：1、范围： xa或x-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=acXYF1F2OB1B2A2A112222bxay焦点在y轴上的双曲线图像 双曲线标准方程：YX12222bxay0byax双曲线性质：1、范围：ya或y-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o

10、如何记忆双曲线的渐进线方程？小小 结结xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象 xyo12 byax222（ a b 0）12222 byax( a 0 b0) 222 ba(a 0 b0) c222 ba(a b0) c椭椭 圆圆双曲线双曲线方程方程a b c关系关系图象图象yXF10F2MXY0F1F2 p小小 结结渐近线渐近

11、线离心率离心率顶点顶点对称性对称性范围范围 准线准线|x| a,|y|b|x| a，y R对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b(-a,0) (a,0)实轴：实轴：2a虚轴：虚轴：2be =ac( 0e 1 )ace=(e1)无无 y = abxcax2cax2例例1 :求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可

12、得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 45 acexy34例题讲解例题讲解 1 1、填表、填表标 准 方程32822 yx81922yx422yx1254922yx2a2b范 围顶 点焦 点离 心 率渐 进 线|x|0 ,240 , 6223exy424618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)2e22, 0 xy1014|y|5(0,5)74, 0 574exy752824例例2 求中心在原点求中心在

13、原点,对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴,经过点经过点P(1,3)且离心率且离心率为为 的双曲线方程的双曲线方程21.已知双曲线已知双曲线 的实轴的一个端点为的实轴的一个端点为A1,虚轴虚轴的一个端点为的一个端点为B1,且且 则则b等于等于_222116xyb-=115AB =2.双曲线的离心率为双曲线的离心率为2,则它的一个顶点把焦点之间的线则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长段分成长,短两段的比是短两段的比是_3:13.已知双曲线已知双曲线 的离心率的离心率 则则m的取值范围是的取值范围是_2214xym+=2 , 1e(-12,0)4.双曲线与椭圆双曲线与椭圆 有相同的焦点有相同的焦点,一条渐

14、近线为一条渐近线为y=x,求求双曲线的方程双曲线的方程.2211664xy+=2224yx-=3练习练习5.双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为e1和和e2，则，则e1、e2应满足的关系应满足的关系_ 6.双曲线的离心率为双曲线的离心率为2,则两渐近线的夹角为则两渐近线的夹角为_601112221ee例例3 已知双曲线的渐近线方程已知双曲线的渐近线方程 为为 ，实轴长为，实轴长为12，求它的标准方程，求它的标准方程.23yx 注：注： 称为与双曲线称为与双曲线 共渐近线的双曲线系方程共渐近线的双曲线系方程（ 是参数）是参数） 2222byax12222 byax小结： 本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们熟练掌握。作业 113 ，1例例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF2F1证明:(1)设已知双曲线的