【教育资料】第一章1.2.1第1课时学习精品

1、教育资源§1.2排列与组合1.2.1 排歹U第1课时排列与排列数公式【学习目标】1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中 1名同学参加上午的活动，另 1名同学参加下午的活动.思考让你安排这项活动需要分几步？答案 分两步.第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学.梳理一般地，从n个不同元素中取出 m(mwn)个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.知识点二排列数及排列数公式思考 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位

2、数？答案 4X3X2= 24(个).梳理排列数定义从n个小同兀素中取出 m(mw n)个兀素的所有/、向排列的个数叫做从n个不同兀素中取出 m个兀素的排列数排列数表示法Am排列数公式乘积式Am= n(n 1)(n 2)(n m+ 1)阶乘式mn!A n =(n m)!性质An= m, 0! = 1备注n, mC N , m< n1. a, b, c与b, a, c是同一个排列.(x )2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(V )3 .在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(X )4 .从4个不同元素中任取 3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.(X )类型一

3、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信.考点排列的概念题点排列的判断解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列

4、问题.(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题， (3)(4)不是排列问题.反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题.(1)会场有50个座位，要求选出 3个座位有多少种方法？若选出 3个座位安排三位客人，又 有多少种方法？(2)从集合M = 1,2,，9中，任取两个元素作为 a, b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程今+石=1?可以得到多少个焦点在 x轴上的双曲线方程x2-上=1?a ba b(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这 5个点最多可确定多少条直线？可确定

5、多少条射线？考点排列的概念题点排列的判断解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题. 22若方程与+ y?= 1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有 a>b, a, b的大小关系一定； a b在双曲线x2 y2-= 1中，不管a>b还是a<b,方程4 七=1均表示焦点在x轴上的双曲线， a ba b且是不同的双曲线，故是排列问题.(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.类型二排列的列举问题例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数

6、，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a, b, c, d中任取3个元素的所有排列.考点排列的概念题点列举所有排列解(1)由题意作“树状图”，如下.故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.(2)由题意作“树状图”，如下.故所有的排列为 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad,cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.反思与感悟利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(

7、1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.跟踪训练2写出A, B, C, D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.考点排列的概念题点列举所有排列解由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是 BACD, BADC, BCAD , BDAC , CABD , CADB , CBAD , CDAB , DABC ,DACB, DBAC, DCAB.类型三排列数

8、公式及应用例 3 (1)用排列数表不(55 n)(56 n) (69 n)(nC N 且，n<55)；2A5+ 7A4(2)计算 a8a5 ；求证：A/ 1AMmAT!考点排列数公式题点利用排列数公式计算(1)解 因为55- n,56-n,，69n中的最大数为 69 n,且共有69 n(55 n) + 1 = 15(个)元素，所以(55 n)(56 n)(69 n) = A65 n(2)解2A5+ 7A4a8A52X8X7X6X5X4+7X8X7X 6X5 =8X7X 6X5X4X3X2X1 9X8X 7X6X58X7X6X 5X(8+ 7 )=*= 1.8X7X 6X5X049)(3)

9、证明方法一因为Am+1Am(n+ 1 Jn!= 一(n+ 1 m J(n m Jn! n+1=一 1(nmJ /+1 m ,n m= ,(n m J n + 1 m一一 n- a m 1=m -= mA n ,(n+ 1 m J!所以 Am+1 - Am = mAm 1.方法二 A+1表示从n+1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A，个.含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外 n个元素中取出 m-1个元素排在剩下的 m-1个位置上， 有Am-1种排法.故 Am+ i = mAm-1 +Am,所以 mAm 1 = Am 1-Am.反思与感悟排列数公式的形式及选

10、择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的 排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有 关的论证时，一般用阶乘式.跟踪训练3不等式A8<6A8 2的解集为（）A. 2,8 B. 2,6 C. （7,12） D. 8考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式答案 D28!8!解析 由 A8<6A8-,得1-<6X-,化简得 x219x+84<0,解得7Vx<12,x< 8,又1所以2WxW8,x-2>0,由及xC N*,得x=8.1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数

11、做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这 些问题中，有几种运算可以看作排列问题（）A. 1 B. 3 C. 2 D. 4考点排列的概念题点排列的判断答案 C解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（）A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙，丙乙、丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙考点排列的概念题点列举所有排列答案 C3 . (x3)(x4)(x5) (x12)(x 13), xC N*, x>13 可表示为

12、()10_11-10_11A. Ax-3 B. Ax-3 C. Ax13 D. Ax-13考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B解析 从(x3), (x4),到(x13)共(x3)(x13)+1 = 11(个)数，所以根据排列数公式知(x 3)(x-4)(x- 5)(x 12)(x- 13)= A-，3.4 .从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为()A. 5 B. 10 C. 15 D. 20考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 D5 .解方程 A2x+1 = 140A3.考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式-2x+ 1 >4,x>3,

13、 解根据题意，原方程等价于*xC N ,L (2x+ 1 )2x (2x 1 J2x-2 尸 140xx 1 Jx- 2 )"x> 3,即 xC N*,l(2x+1 R2x 1 尸 35(x- 2 )整理得 4x235x+ 69=0(x>3, xC N*),解得 x= 3ix=23?N*,舍去)1 .判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.2 .关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式

14、 Am= n(n 1)(n 2)(nm+1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用日要注意它的特点，从 n起连续写出m个数的乘积即可.m n!,(2)排列数的第二个公式 Am=用于与排列数有关的证明、解万程、解不等式等，在(n m J具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件 "n, mC N*, mwn”的运用.一、选择题1 . Am2= 9X10X11X12,则 m 等于()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B2 .已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；从甲、乙、丙三

15、名同学中选出两人参加一项活动；从a, b, c, d中选出3个字母；从1,2,3,4,5这五个数字中取出 2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考点排列的概念题点排列的判断答案 B解析 由排列的定义知 是排列问题.3 .与A1oA7不相等的是()A. A10 B. 81A8 C. 10A9 D, A10考点排列数公式题点利用排列数公式证明答案 B解析 AloA7=10X9X8X 7! = A90=10A9 = A10, 81A8= 9A9 w A：0,故选 B.4 .甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（）A. 6 B.

16、 4 C. 8 D. 10考点排列的概念题点列举所有排列答案 B解析列树状图如下： 丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共 4种.5 .从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有（）A. 6 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 16 个 考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 C解析不同结果有A2=4X 3= 12（个）.6 .下列各式中与排列数A,相等的是（）n!A. （n m + 1mnAn 1C" n m+ 1考点排列数公式题点利用排列数公式证明B. n(n1)(n2)(n m)1 m-1D. AnAn 1答案 Dm

17、 n!1ml (n-1 ¥ n!解析 A n =，而 A nA n 二 1 = n X=(n m J(n m )1(n m )!1 八 m_ 1 m A nA n -1 = An.7 .四张卡片上分别标有数字“2” “0” “1” “1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（）A. 6 B. 9 C. 12 D. 24考点排列的概念题点列举所有排列答案 B解析这四位数列举为如下:1 012,1 021,1 102,1 120,1 201 , 1 210,2 011,2 101,2 110,共 9 个.、填空题8 .从a, b, c, d, e五个元素中每次取出三个元素，可组成

18、个以b为首的不同的排 列，它们分别是.考点排列的概念题点列举所有排列答案 12 bac, bad, bae, bca, bcd, bce, bda, bdc, bde, bea, bec, bed解析画出树状图如下：可知共 12 个,它们分别是 bac, bad, bae, bca, bcd, bce, bda, bdc, bde, bea, bec, bed.9 .若集合P = x|x=Am, mCN *,则集合P中共有 个元素.考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 3解析 由题意知，m=1,2,3,4,由A4= A4,故集合P中共有3个元素.10.满足不等式An>12的n的最小值

19、为 .A n考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式答案 10a7(n-7 y(n-5 J /日解析不=>12 ,得(n5)(n6)>12,An n!(n- 7 )(n 5 J解得n>9或n<2（舍去）.，最小正整数n的值为10.11 . 2019北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为 .考点排列的应用教育资源教育资源题点 无限制条件的排列问题答案 60解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有 5X4X3=60(种).12 .由1,4,5, x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之 和为288,贝U x=.考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案2解析 当xw0时，有A4= 24(个)四位数，每个四位数的数字之和为 1 + 4+5 + x,故 24(1 +4+5+x)= 288,解得 x= 2;当x=0时，每个四位数的数字之和为1+4+5= 10,而288不能被10整除，即x= 0不符合题意，综上可