【教育资料】第一章1.1.3学习精品

1、教育资源1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球【学习目标】1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.知识点一 圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征定义圆柱、'矩形的一边、'矩形、圆锥；分别看作以直角三角形的一直角边?所在的直线为旋转轴，将 彳直角三角形 圆台J三直角梯形中垂直于底边的腰 J、直角梯形 J分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体一这类几何体叫旋转体.(2)相关概念高：在轴上的这条边(或它的长度).底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面.母线：绕轴旋转的边.(3)图形表示知识点二

2、 球1 .定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,球面围成的几何体叫做球.2 .相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心：球的半径:连接球心和球面上一点的线段. (2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段.球的大圆：球面被经过球心的乎面截得的圆.(4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆.(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,把这个弧长叫做两点的球面距离.3 .球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面 部分.知识点三旋转体1 .定义：由一个平面图形

3、绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体.2 .轴：这条直线叫做旋转体的轴.知识点四 组合体思考 组合体是由简单几何体堆砌 （或叠加）而成的吗？答案 不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等.梳理 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.1 .圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（V ）2 .夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.（X ）3 .半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.（X ）类型一 旋转体的结构特征例1下列命题正确的是 .（填序号）以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆

4、锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案解析以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面； 正确.反思与感悟 （1）判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成.明确旋转轴是哪条直线.（2）简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想

5、.跟踪训练1 下列命题：圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；球的半径是球面上任意一点与球心的连线段.其中正确的个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 C解析 错误，截面可能是一个三角形；错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；正确.故选C.类型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知 AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以 AB, CD, AD为轴 旋转，试说明所得几何体的结构特征.解（1）以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图（1）所示.（2）以CD边为轴旋转所得旋

6、转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图（2）所示.（3）以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图（3）所示.反思与感悟（1）平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.（2）必要时作模型，培养动手能力.跟踪训练2如图（1）、（2）所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几 何体组成的？解 图（1）、图（2）旋转后的图形如图所示分别是图、图.其中图是由一个圆柱 O1O2和两个圆台。2。3,。3。4组成的；图是由一个圆锥。5。4, 一个圆柱。3。4及一个圆台。1。3中挖去圆锥。2。1组成

7、的.类型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3 一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4兀cm2和25兀cm2,求：（1）圆台的高；（2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解（1）圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD（如图所示）.由已知可得 O1A=2 cm, OB = 5 cm.又由题意知，腰长为 12 cm,所以高AM =吊122（52/=3715（cm）.（2）如图所示，延长 BA, OOi, CD交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由 ASAOisA SBO,可得二12= 2,解得 1 = 20 cm. 15即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

8、反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、 台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3如图，在底面半径为 2,母线长为4的圆锥中内接一个高为 43的圆柱，求圆柱 的底面半径.解 设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,则由三角形相似，r 1即 1 -5= 2，解得= 1.即圆柱的底面半径为 1.命题角度2球的截面的有关计算例4 在球内有相距 9 cm的两个平行截面面积分别为49兀cm2和400兀cm2,求此球的半径.解 若两截面位于球心的同侧，如图（1）所示的

9、是经过球心 O的大圆截面，C, Ci分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm,截面圆的半径分别为 r cm,1 cm.由 <2= 49 ti,彳导1= 7（1 = 一 7 舍去），由 <2= 400 71,彳导 r=20（r=20 舍去）.在 RtOB1C1 中，OC1 = /RT32 = yjR49,在 RtOBC 中，OC = qR2r2 = 52400.由题意可知 OC1OC = 9,即r249 、/r2400=9,解此方程，取正值得 R= 25.若球心在两截面之间，如图 （2）所示，OCi =249, OC = yj设 400.由题意可知 OCi+OC = 9,即 Jr

10、2-49 +Jr2-400 =9.整理，得 勺$ 400 =- 15,此方程无解，这说明第二种情况不存在.综上所述，此球的半径为 25 cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5,两个平行截面的周长分别为6兀和8兀”，则两平行截面间的距离是.答案 1或7解析 画出球的截面图，如图所示.两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：两个平行截面在球心的两侧，两个平行截面在球心的同侧.对于，m= 52- 32 =4, n= 5242 = 3,两平行截面间的距离是 m + n = 7;对于，两平行截面间的距离是 mn = 1.反思与感悟 设球的截面圆上一点 A,球心为O,截面圆心为Oi,则A

11、OiO是以Oi为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.跟踪训练4 设地球半径为 R,在北纬45。圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于 乎4tR求A, B两地间的球面距离.解 如图所示，A, B是北纬45°圈上的两点，AO'为它的半径，。为地球的球心， . OO '，AO ' , OO '，BO './ OAO ' = / OBO ' =45°,2AO =BO = OA cos 45 =2R.设/ AO ' B的度数为%帛什“兀“a兀$2_ 72 _则

12、ac。AO = don ° o R= a 欣，, "= 90 . 180180 24在4AOB中，AO = BO=AB=R,则4AOB为正三角形,，/ AOB = 60°.A, B两地间的球面距离为60-Rc =9R. 18031 .下列几何体是台体的是（）考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案 D解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.2 .下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是（）答案 B解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一

13、圆锥，显然 B正确.3 .下面几何体的截面一定是圆面的是（）A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.4 .若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为<3,则这个圆锥的母线长为 .考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为4ABC的边长，且S*bc = ¥aB；，3=/3AB2,，AB=2.故圆锥的母线长为 2.5 .湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm,深为8 cm的空穴，则球的半径为 cm.答案 13

14、解析设球的半径为R cm,由题意知，截面圆的半径 r= 12 cm,球心距d=（R 8）cm,由 R2 = r2+d2,得 r2=144+（R 8）2,即 208 16R=0,解得 R= 13 cm.1 .圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2 .处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3 .处理组合体问题常采用分割思想.4 .重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1 .下列几何体中不是旋转体的是 （）答案 D2 .下列说法正确的是（）A.到定点的距离等于定长的点的集合是球B.球面上不同的三点可能在同一条直线上C.用一个平面截球，其截面是一个

15、圆D .球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面考点球的结构特征题点球的概念的应用答案 D解析 对于A ,球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故 A错；对于B,球面上不同的三点一定不共线，故 B错；对于C,用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故 C错，故选D.3. 一个圆柱的母线长为 5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为 （）A. 10 B. 20 C. 40 D. 15答案 B4. 一个圆锥的母线长为 20 cm,母线与轴的夹角为 30°,则圆锥的高为（）A. 105 cm B. 2073 cm C.

16、 20 cm D. 10 cm答案 A解析 如图所示，在 RtABO 中，AB =20 cm, / A= 30°,所以 AO = AB cos 30 = 203 =10#(cm).5.如果圆台两底面的半径分别是7和1 ,则与两底面平行且等距离的截面面积是(A. 24 无B. 16兀C. 8兀D. 4兀答案 B_7+1解析截面圆的半径为一2=4,面积为2= 16兀.教育资源6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A .该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D .该几何体有9个面，其中一个面是四边形，

17、其余均为三角形答案 D解析 其中ABCD不是面，该几何体有 8个面.7 .用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（）B. 2兀A. 22-4C. 一或一 答案 C解析 如图所示，设底面半径为 r,若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则 24=8,所以r=4；同理，若失!形的宽 4为卷成圆柱的底面周长，则24=4,所以r=j,故选C.8 .如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）A. 一个球体B. 一个球体中间挖去一个圆柱C. 一个圆柱D. 一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故

18、选B.二、填空题9 .正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是 .答案两个圆锥 解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个 底面相同的圆锥.10 .若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是 8,则该圆锥的高是 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为 r,则圆锥的高h= "=2,由题意可知 22r h=r、/42r2 = 8,r2=8,，h=2版.11 .若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的高为 .考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，因为4兀=42,所以母线长为1=

19、2,又半圆的弧长为 2国圆锥的底面的周长为 24=2兀，所以底面圆半径为 r = 1,所以该 圆锥的高为 卜=/-r2 = 业212 = 小.三、解答题12 . A, B, C是球面上三点，已知弦 (连接球面上两点的线段 )AB=18 cm, BC=24 cm, AC =30 cm,平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径.解如图所示，因为 AB2+ BC2= AC2,所以4ABC是直角三角形.所以4ABC的外接圆圆心 Oi是AC的中点.过A, B, C三点的平面截球 。得圆Oi的半径为r= 15 cm.在 RtOO1C 中，R2=R2+r2.所以 R2 = R+152,所以 R2= 300,4所以R= 10也(cm).即球的半径为10.3 cm.13 .圆台侧面的母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30。，一个底面的半径是另一个底面半径的 2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.解 设圆台上底面半径为 r,则下底面半径为 2r,圆台上底面面积为 S1,下底面面积为 应，两底面面积之和为 S.如图所示，ZASO=30°,在 RtASO'