对数函数及其运算课时教案

1、教师姓名学生姓名教材版本学科名称数学年级m* 乒a上课时间课题名称对数函数的概念及其运算教学目标理解对数函数的概念，掌握对数函数的运算和对数式与指数式的互化教学重点掌握对数函数的运算和对数式与指数式的互化教学过程备注教学过程第一课时一、复习引入：假设20XX年我国国民生产总值为 a亿元，如果每年平均增长 8%那么经过多少年国民生产 总值是20XX年的2倍？x1 8% =2x=?也是已知底数和哥的值，求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果 a a 0,a 1的b次哥等于N,就是ab N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN b, a叫做对数的底数，N叫做真数.

2、a b N log a N b例如：4216log 416 2;10210010gl0 1002;11242210g4 2 ；10 20.0110g10 0.012.b中的N可以取哪些值？N > 0 )10ga1 ?10ga a ?110ga1 0 同样易知： 10ga a 1则有 a10gaNN .2探究：1。是不是所有的实数都有对数？log a N 负数与零没有对数（二.在指数式中2 .根据对数的定义以及对数与指数的关系， 10ga1 0, 10ga a 1；对任意 a 0且a 1, 都有a0对数恒等式,N的常用对数10g10 N如果把ab N中的b写成10ga N ,常用对数：我们

3、通常将以 10为底的对数叫做常用对数.为了简便简记作1gN :例如：log105 简记作 lg5 ; log103.5 简记作 lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以 e为底的对数叫自然对数，为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3 loge10简记作 ln10 .(6)底数的取值范围(0,1)(1,);真数的取值范围(0,)三、讲解范例：例1.将下列指数式写成对数式:(1) 54 625(2) 2(3) 3a2764(4)1 ()m 5.73 3解：(1) log5625=4;(2)log 2 =-6 ;64(3)

4、log3 27=a;(4) log 1 5.73 m .例2.将下列对数式写成指数式:(1) log 1 162log 2 1287;(3)lg0.012;(4) ln 10 2.303.解：(1) (1) 42例3.求下列各式中的1627=128;(3)_ 2_ _10 =0.01 ；(4)2.303e =10.(1)lOg 64 xx的值：2，、3；10gx8 6(3)lg1002(4) ln e例 4.计算： log927, 10g4381, 10g， log 3r 625 .5解法一：设 x 10g9 27贝U9x27,32x33,设10g481则。3x381,x3434,16令log

5、 2 3 23 =log令唠旗625, 3Z57625,4-x5354,解法二:3 10g 9 27 log 9 33 log 9 92 10g43 8110g4式4 3)1616331; log； 625 1og3- (V54) log 2 3 23 =1og 2 3 255四、练习：1.把下列指数式写成对数式(1) 23 = 8;(2) 25 =32；(3 )21=r:1(4) 27 33解：(1) 10g2 8 = 3(2)10g 2 32= 5(4) 1110g 27 332.把下列对数式写成指数式 log3 9 = 2(2) log5 12 5 = 310g22解：(1) 32 =

6、9(2) 53 = 1 2 54_ 1=4(4)(3) 下列各式的值 10g5251 10g 2161g100(4) 1g 0.01 1g 100001g0.0001解：(1) 10g525= 10g5 52 = 2 (2)10g2 -16=-4 (3)1g(4) 1g 0.01 =- 21g 10000= 4(6)4.求下列各式的值10g15 15 10g 0.41 10g981(4) 10g 2.5 6.25解:(1) 10g1515=1(2)10g0.4 1= o(4)10g 2.5 6.25 = 2(5)10g 7 343= 3(6)、复习引入:1 .对数的定义 10ga2 .指数式与

7、对数式的互化ab N 10g a N b(a第二课时其中a0且 a1)3 .重要公式:负数与零没有对数;血1(0,1) (1,0, 10ga a“一 1 10g3=813 4=，81100= 21g 0.0001 =- 4 10g 7 343 10g 3 24310g981= 210g3243= 5)与 N (0,1.对数恒等式a10gaNNm n m n /a a a (m,n R)4.指数运算法则(am)namn(m,nR) (ab)n an bn(n R)二、新授内容：1 .积、商、哥的对数运算法则：如果 a > 0, a 1, M > 0, N > 0 有:10ga(

8、MN)log aM10gaN (1)Mloga _10gaM 10gaN (2)NlogaM n n1ogaM(n R) (3)证明：设logaM=p, logaN = q.由对数的定义可以得：M=ap , N = aq . MN= apaq = apq . logaMN = p+q,即证得 loga MN= loga M + log a N.设 lOgaM = p, log a N=q.由对数的定义可以得 M=ap, N= aqM apN aqap qloga即证得 log a M log a M log a N . N设logaM=P 由对数定义可以得 M=ap, M n = anp .

9、. loga M n =np, 即证得 loga M n =n loga M .说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用哥的运算性 质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式.简易语言表达：枳的对数=对数的和”有时逆向运用公式：如10g 10 5 10g 10 2 10g1010 1 .真数的取值范围必须是 （0,）：10g 2 ( 3)( 5)10g 2 (3) 10g 2 ( 5)是不成立的.log 10( 10)2 21ogi0( 10)是不成立的.对公式容易错误记忆，要特别注意：loga(MN) loga M loga N , 10g a (M

10、N) 10g a M 10ga N .2 .对数换底公式：loga N 3gmN ( a>0, a 1 ,m>0,m 1, N>0). log ma证明：设 loga N = x,则 ax = N.两边取以m为底的对数：log m ax log m N xlog m a log m N1ogm N , 一 1ogm N从而得：x loga N .10g ma10g m33 .两个常用的推论： logab logba 1, logab 1ogbc 1ogca 1. log m bn -log a b (a, b>0 且均不为 1). a m4 .讲授范例：例1.用loga

11、 x , loga y, loga z表示下列各式：xy (1)血;zx y(2) 10ga 3，'Zxy斛：(1)10g a 一=10ga (xy) -10g a z= 10ga X+ 10ga y 10ga Z z2厂(2)10g a * 士丫 =10ga ( x2 Jy) 10g a vZ3z2O1=10ga X + 10ga y 10ga . Z =2 10g a X+ - 10g a y21.3 10g a Z .(1) 10g5 25,(2) 10g0.41,(3) log2(47 25),(4) lg5 100解：(1)log5 25= log5 52 =2(2) log

12、0.41二0.(3) log 2 ( 47 >25) = log 2 47 +10g 2 25= 10g 2 22 7 +510g2 2= 2 7+5=19.(4) 1g5 100 = 11og10211g10例2.计算例3.计算:(lg5)2 lg2 1g50;(2)lg20 10gI。25;(3) 1g14 21g 7 1g7说明：此例题可讲练结合lg18.解：(1) (lg 5)2 lg2 1g50= (lg5)2 lg 2 (lg 5 1)=(lg5)2 lg2 lg5 lg2=lg 5(lg 5 lg2) lg2= lg5 lg2=1;(2) 1g20 10g100 25= l

13、g 20 1g5 = 1g100=2；7o2(3)1g14-21g 3+1g7-1g18=1g(27)-2(1g7-1g3)+1g7-1g( 3 X2)=1g2+1g7-21g7+21g3+1g7-21g3-1g2=0 .评述：此例题体现对数运算性质的综合运用, 简形式，同时注意分子、分母的联系应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最.(2)题要避免错用对数运算性质.例4.已知1g2 0.301 , 1g3 0.477 ,求 lg 45例5计算: 51 10g0.23Z 10g 271610g 3 4解:原式=4 5 * 10g 0.2 3551 10g535 151310g2716 10g 33 24例 6 已知 log2 3 a ,log3 7 b,用 a, b 表示 log4256.1. 一 一 .斛：因为 log 2 3 = a，则一log 3 2 , 又 log37 = b, alog 42 56log 356 log 3 7 3 log 3 2 ab 3log