人教B版高中数学选修章末综合检测

1、让学生学会学习高中数学 第2章章末综合检测 新人教B版选修1-2（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1.在 ABC43, sin Asin C>cos Acos C,则 ABb定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析：选 D.由 sin Asin C>cos Acos C,可得 cos（ A+ Q<0 ,即 cos B>0,所以 B为 锐角，但并不能判断 A, C,故选D.2 .如果两个数的和为正数，则这两个数（）A. 一个是正数，一个是负数B.两个都是正数C.至

2、少有一个是正数D.两个都是负数解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：（1） 一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；（2） 一个是正数，一个是零；（3）两个数都是正数.可综合 为“至少有一个是正数”.3 .已知 a, bC R,若 aw b,且 a+b=2,则（）A.B.C.a D.-2 , . 2 d . a b 1<ab<-22 I 2 a +b ab<1<2a2 + b2ab<-<1 2f+b2-2<ab<12解析：选 B. . b=2a,ab = a(2 - a) = - (a - 2a)=-(a-1)2+ 1<

3、1,a2 + b2 a2+222 a 4a+422-=2= a -2a + 2= (a-1) +1>1,故选 B.4.在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形的中心角为9、半径为r时，扇形周长最小，这时 九r的值分别是（）A. 1,mB. 2, 4/SC. 2, 3/SD. 2,小解析：选D.由S=2 8 r2可得0 =至，又因为扇形周长 P= 2r + 0 r = 2（ r + -） >4x/S,2rr所以当P最小时，r=S,解得=点，止匕时9 =2.5.观察式子：1+22<2，1 +2+ 32<3, ),1111 ,、A 1+22+32+n2<27Pr(n>

4、;2).1,1,1 71 +尹下+产,则可归纳出一般式子为B.C.D.1+: + %-+ -12<2n- (n>2)2 3nn1+J + 3+ + 122<2n1( (n>2)3 3nn.1112n, 一、1+22+32+-+n2<27T7(n>2)解析：选c.由合情推理可归纳出,111 2n-11+了+1+2V_n-( n>2).故选 C.6 .有以下结论：(1)已知p3+q3=2,求证p+q<2,用反证法证明时，可假设p+q>2;(2)已知a, bCR,|a|+ |b|<1,求证方程x2+ax+ b=0的两根的绝对值都小于1,用反

5、证法证明时可假设方程有一根 X1的绝对值大于或等于1,即假设| X1| > 1.下列说法中 正确的是()A. (1)与(2)的假设都错误B. (1)与(2)的假设都正确C. (1)的假设正确；(2)的假设错误D. (1)的假设错误；(2)的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全.在 (1)中应假设p+q>2.故(1)的 假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选 D.7 .若a, b, cCR,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A. a2+b2+c2>2B. (a+ b+c)2>3D. a+ b+ c< 3解析：选 B. ; ab+bc

6、+ca = 1,:a2+ b2+ c2> ab+ bc+ ca = 1,( a+ b+ c) =a+b+c + 2ab+ 2bc+ 2ca> 1+2( a+ b+ c) = 3.8 .对于 a, bC(0, +°°), a + b>2Vab,(大前提)x + X>2-Jx - X，(小前提)一.1 ，一所以x+->2,(结论) x以上推理过程中的错误为()A.大前提B.小前提C.结论D.无错误解析：选B.大前提中a, bC(0, +°°),而小前提中xCR,故小前提出错，应改为 x C (0 , + 8).9 .如图所示的是

7、某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计 算顺着箭头方向，从 A到H不同的旅游路线的条数是（）A. 15B. 16C. 17D. 18解析：选C.3+L-fr这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过， 哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试.要到 H点，需从F, E, G走过来，那F, E, G各点又可由哪些点走过来呢，这样一步一步地倒推，最后 归结到A然后再反推过去得到如下的计算法：A至B, C, D的路数记在B, C, D圆圈内，B, C, D分别到F, E, G的路数亦记在F, E, G圆圈内，最后F, E, G各个路

8、数之 和，即得至H的总路数，如图所示.a+ b. b10 .右a>0, b>0,则p=（ab）-2与q= ab的大小关系是（）A. p>qB. p< qC. p>qD. pvq解析：选 A.p=aab9=q 22若 a>b>0,则a>1, a b>0, . p> 1；bq若 0vavb,则 0Vsv 1, abv 0, . p> 1；， b ， q ，若 a= b,则？= 1, p>q.q11 .已知 f (x+y) = f(x) +f(y),且 f(1) =2,则 f(1) +f(2) + f(n)不能等于)A.B.f(

9、1) +2f(1) + nf(1)n n+ 1f 丁C. n(n + 1)D. n(n + 1)f(1)解析：选 D.由已知 f(x+y) = f(x) +f (y)及 f(1) =2,得 f(2) =f(1 +1) =f(1) +f (1) = 2f(1) =4, f (3) =f(2 + 1) =f (2) +f(1) =3f(1) =6,，依此类推，f(n) =f(n1 +1) = f (n1) + f(1) = nf (1) =2n,所以 f(1) +f(2) +3+f(n)=2+4+6 + +2n = n 2+ 2n2=n(n+1).故C正确，显然 A, B也正确，只有 D不可能成立

10、.12 .从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级台阶，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是()A. f(n) = f(n- 1) + f(n-2)( n>3)B. f(n) = 2f(n 1)( n>2)C. f(n) = 2f(n-1) 1(n>2)D. f(n) = f(n- 1)f(n 2)( n>3)解析：选 A.当 n= 1 时，f (1) = 1;当 n=2 时，f(2) =2；当 n=3 时，f(3) =3；当 n =4时，f(4) =5,由上面可推知选 A(猜想).二、填空题(本大题共4小题.把正确答案填在题中横线上 )

11、一 1 一 . . .1 .13 .在ABC, D为BC的中点，则AA2( ABA。，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：解析： ABC43 BC边上的中点类比为四面体中一个面的重心.1 答案：在四面体 A BC前，G为BCD勺重心，则AG= -(ABAOAD314.写出用三段论证明f ( x) =x3+sin x(x C R)为奇函数的步骤是 .解析：按照三段论的要求写出即可.答案：满足f(x)=f(x)的函数是奇函数，(大前提)f ( x) = ( x) 3+sin( x) = x3 sin x= (x3+sin x) = f (x),(小前提)所以f (x) =x3+sin x是奇

12、函数.(结论)1 ，一 15 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称，则f(1)+ f(2) +f(3) +f(4) +f(5) =.解析：因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0) =0, f(x) = f(x),又因为f(x)的 1 ,图象关于直线x=2对称，所以f(x) = f(1 x),所以f(1 x) =f(x) = f(x),设t =x,则 f(1 +t ) = f(t).所以 f(2 + t) = f1 + (1 + t) = f(1 + t) = f(t)= f(t),即 f(2+t)=f(t),所以 f(x)的周期为 2.所以 f(1) =f(

13、3) =f(5) , f(2)= f(4).又因为 f (1) =f(1 1) =f (0) =0, f (2) =f (1 -2) =f( -1) =- f(1) =0,所以 f(1) +f(2) +f(3) +f(4) +f(5) =0.答案：016 .将正 ABO割成n2(n>2, nC N)个全等的小正三角形(图，图分别给出了 n = 2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC勺三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A, B, C处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2) =2, f(

14、3)=，f (n) =.n crt c图图解析：当n=3时，如下图所示，各顶点的数用小写字母来表示，即由条件知a+ b +c= 1, x1 + x2=a+ b, y1 + y2=b+c, Z1 + z2=c+ a.:X1 + X2+ yi + y2 + zi + Z2= 2(a+b + c) =2.2 g= xi + y2 = X2+zi = yi + Z2,-6g=xi + X2+yi + y2+zi + Z2=2( a+b+c) = 2, i即g=13 f (3) = a + b+ c+ Xi + X2+ yi + y2 + zi + Z2 + g = i + 2+ =-.33进一步可求得

15、 f(4) =5.由 f(i) = i = 3，f(2) =!=f(i) +|, f(3) =q = f (2)33333f(4) =i5=f(3) +5,可得 f(n) = f(n-i) +n. 333所以 f (n) = f ( n- i) +n+ i= f(n2) +n+ i nn+ inni33+3+3+3+f(i)3333n+i3 2i=-+ +-33 33i. 一=-(n+ i)( n+ 2).6 i0 i答案：9 7(n + i)(n+2) 36三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17 .已知a是整数，a2是偶数，求证：a是偶数.证明：(反证法)

16、假设a不是偶数，即a是奇数，则设a=2n+i(nZ). 22 - a = 4n +4n+ i.4(n2+n)是偶数,-,-4 n2+ 4n+ i 是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，所以假设错误，即a 一定是偶数.18 .用三段论证明：直角三角形两锐角之和是90° .证明：任意三角形的内角和为i80° .大前提直角三角形是三角形.小前提直角三角形的三内角之和为i80° .结论设直角三角形的两个内角分别为/A, /B,则有/ A+ / B+ 90° =i80° .等量减等量差相等.大前提(/A+ / B+ 90° )90° =i8

17、0° 90° .小前提19 + Z B= 90° .结论20 .观察下表1,2,3 ,4,5,6,7 ,8,9,10,11,12,13,14,15问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2011是第几行的第几个数？解：(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第 n+1行的第一个数为2、所以第n 行的最后一个数为2n1.(2)由(1)知第n-1行的最后一个数为2n11,第n行的第一个数为2n一，第n行的 最后一个数为2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等 差数列求和公式得，=22n-3 +22 n

18、 2,22n-1 2n一十 2n1Si=2(3)因为210=1024,2 11 = 2048,又第11行最后一个数为211 1=2047,所以2011是在 第11行中，由等差数列的通项公式得，2011= 1024 + (n1) 1,所以n=988,所以2011是第11行的第988个数.20.如图所示，在四棱锥 P-ABCDh,四边形ABCD；正方形，P点在平面ABCDJ的射影为A,且PA= AB= 2, E为PD的中点.求证：(1) PB/平面 AEC(2)平面PCDL平面PAD证明：(1)如图所示，连结 BD交AC于点O连结EO：O为BD中点，E为PD中点，. EO/ PB V EO?平面

19、AEC PB?平面 AEC : PB/ 平面 AEC(2) ; P点在平面ABC昉的射影为 A p PAL平面ABCDCU平面ABCD : PA! CD.在正方形 ABC碑 CDL AD且PAP AD= A . CDL平面PAD又CD?平面PCD;平面PCD_平面PAD21.设函数 f (x) = |lg x| ,若 0V a<b,且 f (a) >f (b).证明：0<ab<1.证明：法一：由已知f(x) =|lg x|lg x x > 1-lg x 0<x< 1,0<a<b, f(a)>f(b).：a、b不能同时在区间1 , +°°)上， 又由于0vavb,故必有aC(0,1).若 bC (0,1),显然有 0vab<1；若 bC (1 ,