一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

1、v1.0可编辑可修改一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级姓名1.利用判别式例1. (2000年黑龙江中考题)当m是什么整数时，关于 x的一元二次方程mx2 4x 4 0与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数。解：:方程mx2 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m< 1又.方程 x24 mx 4 m 24 m 50有整数根：A 16 m2 4(4 m2 4 m 5)0 得m .4.一 5综上所述，w me 14：x可取的整数值是-1,0, 1当m=-1时，方程为一x 2 -4x+4=0没有整数解，舍去。而 m?5 0; m=1例2. (1996年四川竞赛题

2、)已知方程 x2 mx m 1 0有两个不相等 的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1 , x 2，则m=- (x 1+x 2 )为负整数.:4m2 4 m 4一定是完全平方数设m24m 4 k 2 ( k为正整数)( m 2) 2 k 28即：(m 2 k)(m 2 k) 8m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同.m2k4 或m2k2m2k2m2 k4解彳t m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。当m= 5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2, x 2 =32 .利用求根公式例 3.( 2000 年全国联赛设关于 x 的二次方程(k2 6k 8)x2

3、 (2k26k 4)x k24的两根都是整数，求满足条件2 5/7的所有实数k的值。解:g (2 k2 6 k 4)2224( k 4)( k6 k 8)4( k6) 26k 42( k2( k2_6T8)6)2由求根公式得x 2k x 即 x11 jx2k 44x2两式相减，得24x11x2x1 (x23)由于x 1x 2是整数，故可求得x12, X2xi2, x22 或x11, x2分别代入，易得k= , 6,33。3 .利用方程根的定义例4.当b为何值时，方程x2 bx 22xb(b1) 0有相同的整数根并且求出它们的整数根解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b，2时

4、,x=1+b,代入第一个方程，得(1b)2b(1 b)解彳导b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根 ：b=1,相同的整数根是24 .利用因式分解例5. （2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（a i）x2 2x a 1根都是整数，那么符合条件的整数a有 个.解：当a=1时,x=1当a，1时，原方程左边因式分解，得（x-1）（a-1）x+（a+1）=0即得 Xi1 Xo1x11 , x211 a x 是整数 1-a= + 1, +2,：a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.方程例6.（1994 年福州竞赛题）当 m是什么整数时，关于x的2x （m 1）x m 1 0的两根都是整数

5、解：设方程的两整数根分别是 x1，x2 ,由韦达定理得x1x2m 13 x1 x2 m 1川由 消去m ,可得x1x2x2 x12(x11)(x2则有x11x21解得：x1x 21)311或x13 x22 或x14 x231( 3)111302由此x x 8或0,分别代入，得m 7或m 1 5.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数 a,使得方程xx3bx2 c(xx3)( xx4)ax 4a 0仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x1 , x2，且X1X2由根与系数的关系得xix2a 0|xi x24a 0川由得a x2 a将代入得4axix2xia4ax1x2x1

6、a22 4x18显然x 1，4,故x1可取5, 6, 7, 8。从而易得a=25, 18, 16。6 .构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程(x a)(x 8) 10有两个整数根，求a的值.解：原方程变为 (x 8)2(8a)( x 8)10设y=x-8 ,则得新方程为y2(8 a) y 1 0设它的两根为y 1 , y 2 ,则y1y2 a 8, y1y21,二x是整数，：y 1, y 2也是整数，则y1 , y 2只能分别为1, -1或-1 , 1即 y 1+y 2 =0; a=8°7 .构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数 a,b,c,使得关于x的方程

7、2.一一 2一一一一 2x3ax2b0,x3bx2c0,x3cx 2a 0所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为x1, x2, x3, x4, x5, x6 ,则有2x3 ax2 b(xx1 )( xx2)v1.0可编辑可修改2x3 cx2 a(xX5)( xX6)令x=1,并将三式相加，注意到 xi >1 (i=1 , 2,6),有3(a b c)(1xi)(1x2)(1 x3)(1x4)(1 x5)(1x6 )0000但 a > 1, b> 1, 01,又有 3- (a+b+c) < 0,:3- (a+b+c) =0故 a=b=c=18 .分析等式例10

8、.(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x2(J3 1)x J3n 6 0有一个整数根，则 n=.解：设已知方程的整数根为a,则a2(、. 31)a、3n 60整理得 a2 a 6'/3( a n)因为a为整数，所以a2 a 6为整数J3( a n )也一定是整数，要使 73( a n)为整数,必有a n由此得a2 a 6 0,即n2n 6 0解彳1 n=3或-2 (舍去)：n=3。9 .反客为主例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程2ax 2(2a 1)x 4(a 3)0至少有一个整数根.解：由原方程知x，2,不妨将方程整理成关于的一元一次方程(x24 x 4)

9、a 2 x 12得 2x 121 (因为是正整数)a11(x 2) 2贝u得(x 4)( x 2)0因此，x 只能取-4, -3, -1 , 0, 1,2。分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1, 3, 6, 10。10.利用配方法例 12.(第三届祖冲之杯竞赛题)已知方程(a2 1)x2 2(5a 1)x 24 0有两个不等的负整数根，则整数a的值是.解：原方程可变为222a 2x210 ax x22 x 240即 a2 x2 10 ax 25 x2 2x 1 22ax 5 (x1)(ax 5) (x 1)得：6x1 , x2a 14当 a-1=-1 ,-2,-3,a 1-6 ,即a=0, -1,-2, -5时，x为负整数。 1a=0 时.x - > 0：a=-5 时,x 广2 =-13 a w -1 a=-2 °11.利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x2 1999x a0有两个质数根，则常数a=.解：设方程的两个质数根为 x1, x2( x 1<x2)由根与系数的关系得 x1+x 2 =1999.显然 x 1=2,x 2 =1997，于是 a=2X 1997=3994.2例14.不解万程，证明万程x 1997x 1997 0无整数根