四点共圆基本性质及证明

1、四点共圆时间：2021.02.09创作人：欧阳历如果同一平而内的四个点在同一个圆上，则称这四个点 共圆，一般简称为西点共圆四点共圆有三个性质：（D共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角 相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行 证明。定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角 形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相 等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相 等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对 角

2、互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即 可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一 个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那 么 AB x EX2+BC x AD=AC x BD 例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点 间两两距离为整数。解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对 于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且 这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。nJ, n=2 很轻松。当n二3时，一个边长为整数的勾股三角形即可： 比如说边长为3, 4, 5的三角形。我们发现

3、这样的三个点 共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3 成立，我们来证明n+1。假设直径为r （整数）。找一个不 跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾 股三角形ABC （边长a<b<c）o把原来的圆扩大到原来的c 倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc 边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1 个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有 点的距离都是一个有理数。（考虑P,这个点Q和直径两端 的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为 Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增

4、加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母 为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归 纳法成立，故有这个命题。反证法证明现就若平而上四点连成四边形的对角互补。那么这个四 点共圆'证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，ZA+ZC=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆（A, B, C, D四点共 圆）证明：用反证法过A, B, D作圆0,假设C不在圆0上，点C在圆外或 圆内，若点C在圆外，设BC交圆0于C'，连结DC；根据圆内 接四边形的性质得ZA+ZDCB=180° ,V ZA+ZC=180° A ZDCfeZ

5、C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地 可证C不可能在圆内。C在圆0上，也即A, B, C, D四点共圆。证明方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点 也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共 圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三 角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等（同弧所对的 圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。几何描述：四边形ABCD中，ZBAC二ZBDC,则ABCD四点 共圆。证明：过ABC作一个圆，明显D定在圆上。若不在圆 上，可设射线BD与圆的交点为D',那么 ZBD'C二ZBAC二ZBDC,与外角定

6、理矛盾。方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或 能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这 四点共圆。证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明 它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点 共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两 连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个 端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成 的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（割线定理的逆 定理）上述两个定理统称为圆幕定理的逆定理，即ABCD四个 点，分别连接AB和CD,它们（或它们的延长线）交点为 P,若 PAxPBPCxPD,贝ij

7、ABCD 四点共圆。证明：连接 AC,BD, VPAxPBPCxPDPA/PC 二 PD/PBZAPC二ZBPD.-.aapcadpb当P在AB,CD上时，由相似得ZA二ZD,且A和D在BC 同侧。根据方法2可知ABCD四点共圆。当P在AB,CD的延长线上时，由相似得ZPAOZD,根据 方法3可知ABCD四点共圆。方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确 定它们共圆.即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定 这四点共圆.方法6四边形ABCD中，若有ABxCD+ADxBC二ACxBD,即两对边乘 积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。该方法可以由 托勒密定理逆定理得到。托勒密定理逆定

8、理：对于任意一个凸四边形ABCD,总有 ABxCD+ADxBC结CxBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。如图，在四边形内作APBs/M）CB （只需要作ZPAB=ZCDB, ZPBA二ZCBD 即可）由相似得ZABP二ZDBC，ZBAP二ZBDC ZABP+ ZPBD-ZDBC+ ZPBD即 ZABDZPBC又由相似得 AB: BD二PB: CB=AP: CDAABxCI>BDxAP, AABDAPBC AD:BD=PC:BC,即 ADxBC二BDxPC两个等式相加，得 ABxCD+ADxBC二BDx(PA+PC)茅DxAC,等 号成立的充要条件是APC三点共线而 APC 共线意味着

9、ZBAP二ZBAC,而ZBAP二ZBDC,ZBAC二ZBDC根据方法2, ABCD四点共圆方法7若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形 外接圆上。设有一ABC, P是平面内与ABC不同的点，过P作三边 垂线，垂足分别为L,M,N,若L,M,N共线，则P在4*6(：的 外接圆上。如图，PM丄AC,PN丄AB,PL丄BC,且L,N,M在一条线上。连接 PB,PC, V ZPLB+ZPNB=90c+90°=180oPLBN四点共圆 ZPLN二ZPBN,即 ZPLM=ZPBA同理，ZPLM二ZPCM,即 ZPLM=ZPCA=ZPBA根据方法2, P在AABC外接圆上判定与性质圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等 于它的内对角。【如图A：四点共圆的图片】8CD为西总形 ABCG的财龟咬EF为債佛切戎图A：四点共圆的图片四边形ABCD内接于圆0,延长AB和DC交至E,过点E 作圆0的切线EF, AC、BD交于P,则有：（1）ZA+ZCw ZB+ZX （即图中ZDAB+ZDCXr, ZABC+ZADC"（2）ZDBC二ZDAC （同弧所对的圆周角相等）。（3）ZADE=ZCBE （外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）（4）AABP-ADCP （两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）（5）APxCP二BPxDP （相交弦