九年级数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析

1、九年级数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析一、圆的综合1 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于 G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求证：FE是。的切线；(3)若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) 5.【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示：2 BC是直径，./BEG90；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：3 BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FE

2、I OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，FH=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3. OE/ AC,AFC(G AFOE,CG FC CG 2J",即'' + “6CG= .点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.2.如图，AB为。的直径，点E在。上，过点E的切线与AB的延长线交于点 D,连接BE,过点。作BE的平行线，交。于点F,交切线于点 C,连接

3、AC(1)求证：AC是。的切线；(2)连接EF,当/D=。时，四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCg OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明：.CD与。相切于点E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB, OEB OBE ,COE COA,y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SAS ,

4、CAO CEO 90 ,又 AB为。O的直径， .AC为。O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE为等边三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir3.如图，AB是半圆。的直径，C是窟的中点，D是，密的中点，AC与BD相交于点E.d。左(1)求证：BD平分/ABC；(2)求证：BE=2AD;(3)求DE的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3) 五 12BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如

5、下：设 OH为1,DH= J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是彩的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长BC与AD相交十点F,证明BCEACF,BE=AF=2AD匚A0B(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下：设 OH 为 1,贝U BC 为 2, OB=OD=J2 ,DE DHDH=,2 1,=BE BC则 BC为 2, OB=OD=& ,【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦 AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角 的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可

6、得DE= V2 iBE24.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(xi,yi),点N的坐标为(x2,y2),且x轴，y轴，则称xiW2, yiW2,以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于 该菱形为边的坐标菱形(1)已知点A (2, 0) , B (0, 2J3),则以AB为边的 坐标菱形”的最小内角(2)若点C (1, 2),点D在直线y=5上，以CD为边的 坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；(3)。的半径为 J2,点P的坐标为(3, m).若在。上存，在一点Q,使得以QP为 边的 坐标菱形”为正方形，求 m的取值范围.加5 -4 -3 -12 3 4 5 1-5 -4

7、4式2 3， I j图】【答案】(1) 60° (2) y=x+1 或 y= x+3; (3) iwmc 或-5<【解析】分析：(1)根据定义建立以 AB为边的 坐标菱形”, 角，从而得最小内角为 60°(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45。，得由勾股定理求边长AB=4,可得30度(4, 5)或(-2, 5),易得直线y=- x,如图4,同理可得结论.OB=2j3.在 RtAOB 中，由勾坐标菱形”的最小内角为60°.CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3;(3)分两种情况：y=x,如图3,根据等腰直角三角形先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行

8、于直线 ： 的性质分别求P'B=BD=1, PB=5,写出对应P的坐标； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线详解：(1)二.点 A (2, 0) , B (0, 2 73) , .-.OA=2,股定理得：AB= &q 可 2 =4，/ ABO=30 °.四边形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °. AB/ CD, Z DCB=180 - 60 =120 °, 以 AB 为边的故答案为：60°(2)如图2.以CD为边的坐标菱形”为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CH DE于E, .

9、D (4, 5)或(-2, 5),，直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3.一。0的半径为J2，且OQ'D是等腰直角三角形，OD=J2oQ'=2,，P'D=3-2=1.aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1,. P (0, 1),同理可得： 0A=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, 5) , 当1前W5时，以QP为边的 坐 标菱形”为正方形； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4.。0的半径为J2,且OQ'D是

10、等腰直角三角形，OD=J2OQ'=2,，BD=3-2=1. 4口口3是等腰直角三角形，P'B=BD=1, P' (0, -1),同理可得：0A=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, -5) , 当-5前W- 1时，以QP为边 的坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1前w 5或-5前w- 1.D1 坏E产产点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P, Q的坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论 的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.5.如图，4AB

11、C 内接于。O,弦 ADLBC 垂足为 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如图1,求证：AB= BC;（2）如图2,过点B作BMLCD垂足为 M, BM交。于E连接 AE、HM ,求证：AE/ HM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=2而,AD= 11,求线段AB的长.国）时卸）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10. 【解析】分析：（1）根据题意，设/CAD=q然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出 /BAC=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理

12、得出 /N=/DEN=/ BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH / AE；（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HQ然后结合勾股定理求出AG2-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设/CAD=a,贝（J / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a ° / BAC=Z ACBJ AB=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/

13、N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN，DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NH -NH=2>/5, 1- EC=475/ EAC=2

14、Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC=M EC,.AC=EC=4 5设 HD=x, AH=11-x, / ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,X2= 27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2一AHCH . ：r ：r又£7ZT tan2a,/BH=6 -ab=Vbm2AH2J62 8210BH DH点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直

15、角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键6.如图，已知平行四边形 OABC的三个顶点A、R C在以。为圆心的半圆上，过点 C作CD± AB,分另1J交AB、AO的延长线于点 D、E, AE交半圆。于点F,连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)若半圆O的半径为6,求AC的长.【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2） 4【解析】试题分析：（1）结论：DE是。的切线.首先证明 证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求 试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下: ABO, BCO都是

16、等边三角形，再AC即可解决问题.四边形OABC是平行四边形，AB II OC. / D=90 ；/ OCE=/ D=90 ；即 OCX DE,直线CE与半圆O相切.（2）由（1）可知：/COF=60, OC=OF.OCF是等边三角形，/ AOC=1209 1206一Ac的长为=4兀.1807.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆 点，连接DE.（1）求证：DE是。的切线；O,与斜边交于点 D, E为BC边上的中（2） -连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】见解析；（2）010【解析】分析：（1）要证DE是。

17、的切线，必须证 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90（2）要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD± AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=Z EBD. （ 2 分）又 OD=OB且/ EBD叱 DBO=90 , / EDB+/ ODB=90 :.DE是。O的切线.(2)解： / EDO=Z B=90°,若要四边形AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点,又 ; BD± AC,

18、 ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHI±AC于H,设 BC=2k,则 EH=?k, AE=V5k,点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点(即为半径)，再证垂直即可.8.已知：AB是。0直径，C是。0外一点，连接BC交。0于点D, BD=CD连接AD、AC.如图1,求证：/BAD=/ CAD(2)如图2,过点C作CH AB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHI± AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,t线段AL的长.

19、【答案】(1)见解析(2)见解析 12前5【解析】试题分析：(1)由直径所对的圆周角等于90°,得到/ADB=90°,再证明AB4 4ACD即可得到结论；(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到/GAB=/BEG.再证 KF瞌 BFg得到BF=KF=- BK.由 OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到结论.2(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM, / AGG/GCM=90°.再证 / GAF=/GCM = .通过证明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG.再证明 /BGC=/MCG=

20、 .设 BF=KF=a,可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得到 3a+2=4a,解出 a 的值，得到 AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK=AK=6,可以求出 AH的长.再由AH 21, tan GAF tan BADtan BAD tan BCF 一 ,利用公式 tan Z GAD=,得至U31 tan GAF tan BADZ GAD=45 :则AL=、/2AH,即可得到结论.试题解析：解：(1) .AB 为 OO 的直径，ZADB=90°, /. ZADC=90&#

21、176;. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD ACD,/ BAD=Z CAD. (2)连接 BE.BG=BG , . . / GAB=/BEG. .CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF.1 . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABF . BF=KF=/ BK. OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=. AC=CG, 点C在AG的垂直平分线上.1 OA=OG,点O

22、在AG的垂直平分线上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, Z AGC+Z GCM=90 .° .AFXCG,，/AGC+/ GAF =90/ GAF=/GCM =. AB 为。的直径，Z AGB= 90 ,°/AGB=/CMG=90 : 1,.AB=AC=CG,AAGBACMG, . BG=GM= AG.2在 RtAGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 ，BG/ CM,/ BGG=Z MCG=设 BF=KF=a, tan BGF tanBF 1GF1 一，GF=2a, tan GAF tan -GF 2AF2AF=4a

23、. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,.a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6.HKtan a =t anHAK=1 AK=>ym2(2m)2 =6,解得:m="5 . AH=2m=12遍.在 RBFC中,AH/ GAD=45；.1.HL=AH,BF 1 ，一一 ，一一 。 ，一 ，一tan BCF -./ BAD+/ABD=90 , / FBG/BCF=90 , . . / BCF=/BAD, FC 31 11/

24、 tan GAF tan BAD 5 3dtan BAD tan BCF - , . .tan Z GAD=1,31 tan GAF tan BAD > 1 1I 2 3al=V2ah=皿.59.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半先构造 辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A与点B的坐标分别是(1,0), (5, 0),点P是该直角坐标系内 的一个动点.(1)使/APB=30的点P有 个；(2)若点P在y轴正半轴上，且/APB=30,求满足条件的点 P的

25、坐标；(3)设sin/APB=m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范 围.【答案】(1)无数；(2)(0, 23、7)或(0,273")； (3)0< m<-.3【解析】试题分析：(1)已知点A、点B是定点，要使/APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆 上，且弧AB所对的圆心角为 60。即可，显然符合条件的点 P有无数个.(2)结合(1)中的分析可知：当点 P在y轴的正半轴上时，点 P是(1)中的圆与y轴的 交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标.(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中

26、，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB最大，只需构造过点 A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得 /APB最 大的点P,由此即可求出 m的范围.试题解析：解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点P1、P2.在优弧 AP1B 上任取一点 P,如图 1,则/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的点 P 22有无数个.故答案为：无数.(2)点P在y轴的正半轴上，过点 C作CGJ±AB,垂足为 G,如图1.点 A (1, 0)，点 B (5, 0) , OA=1,

27、OB=5, ，AB=4.点 C 为圆心，CG± AB, .-.AG=BG=1 AB=2, . OG=OA+AG=3.AC=BC=AB=4,CG= AC2 AG 2.ABC是等边三角形，=42 22=2j3, 点 C 的坐标为（3, 2J3）.过点C作CD，y轴，垂足为D,连接CP2,如图1 .二点C的坐标为（3, 2，3）, .CD=3, OD=273 .Pi、巳是。C与 y 轴的交点，Z AP1B=Z AP2B=30°. CP2=CA=4, CD=3, ，DP2=432' = ".点 C 为圆心，CD）± P1P2,PiD=P2D=V7 ,Pi

28、 （0, 273+77） , P2 （0, 2瓜-币）.（3）当过点A、B的。E与y轴相切于点P时，/APB最大.理由：可证： /APB=/AEH,当/APB最大时，/AEH最大.由sinZAEHk 得当 AEAE最小即PE最小时，/AEH最大.所以当圆与 y轴相切时，/APB最大./APB为锐角，.sin/APB随/ APB增大而增大，.连接EA,彳EHI±x轴，垂足为H,如图2. OE与y轴相切于点P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ；，四边形 OPEH是矩形，. . OP=EH,2PE=OH=3,EA=3. si

29、nZ APB=sinZAEH= , -m 的取值氾围是 0 m3点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有 定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.10.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90, AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90°连接AF,过A, E, F三点作圆，如图 2.若EC=4, ZCEF=15°,求遍的长.【答案】(1

30、) BE="FH"理由见解析(2)证明见解析遍=2兀【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SA§即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB, FH=EB从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45°,而/ ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接EO,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得 EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到 :定所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下：四边形 ABCD是正方形/

31、 B=90 ；1 . FHXBC / FHE=90 °又/ AEF=90/ AEB+/ HEF="90"且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF2 .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形对角线，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三

32、角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90°过E作EN± AC于点NRtA ENC 中，EC=4, / ECA=45。， . EN=NC=#RtA ENA 中，EN =.任又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 (等弧对等角)/ EAC=30 ° .AE= 一/RtA AFE 中，AE=472 = EF, -AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为 /AOE=90°定=2 兀- 490 °+ 36。° =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角

33、函数11.对于平面直角坐标系 xoy中的图形P, Q,给出如下定义： M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果 M, N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,Q间的 非常距离”，记作d (P,Q) .已知点A (4,0) , B (0,4),连接AB.(1) d (点 O, AB) = ;(2)。半径为r,若d (OO, AB) =0,求r的取值范围；(3)点 C( 3, -2),连接 AC, BC, OT 的圆心为 T (t, 0),半径为 2, d (OT, ABC),且0Vd <2,求t的取值范围.r 4； (3)2遍 2 t 底 2或 6<r<8.

34、。作AB的垂线，则垂线段即为所求;【答案】(1) 2/；(2) 272【解析】【分析】(1)如下图所示，由题意得：过点(2)如下图所示，当 d (。0, AB) =0时，过点。作OELAB,交AB于点E,则:OB=2, OE=2、,2,即可求解；(3)分。T在 ABC左侧、OT在4ABC右侧两种情况，求解即可.【详解】(1)过点。作ODLAB交AB于点D,根据非常距离”的定义可知,/上-、-AB42 42-d （点 O, AB） =OD=-=-=242 ；(2)如图,当 d (OO, AB) =0 时，过点 O 作 OE± AB则 OE=2五,OB=OA=4,O O与线段AB的 非常

35、距离”为0,2 五 r 4；(3)当OT在4ABC左侧时，如图，当。T与BC相切时，d=0,BC= 32 62 =3、. 5,过点C作CE! y轴，过点T作TF, BC则 TFH BEC,TF THBE BCTH即 2 =,6 3.5 TH= .5, . HO/ CE, .BHOABEC, .HO=2,此时 T(-j5-2, 0);当d=2时，如图，同理可得，此时T ( 2 J5 2 )； 0<d <2,2 芯 2 t 曲 2;当。T在4ABC右侧时，如图,当 p=0 时，t=6 ,当 p=2 时，t=8. .-0<d <2,，6<r<8；综上，2而 2 t

36、 恋 2或6<r<8.【点睛】非常距离”的定义与直线与圆的位本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握置关系和分类讨论思想的运用.12.如图，已知ABC, AB=J2，BC 3, /B=45,点D在边BC上，联结AD,以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边 AC交于点E,点F在圆A上，且 AF± AD.(1)设BD为x,点D、F之间的距离为V,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(2)如果E是Df的中点，求BD:CD的值；(3)联结CF,如果四边形 ADCF是梯形，求BD的长.【答案】(1) y= J4- 4x+ 2x / B=45 ； AB= V2，-1 BH A

37、H AB cosB .BD 为 x, DH(0 & x< 3); (2); (3) BD 的长是 1 或 1+5 . ,52【解析】【分析】(1)过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结 DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtADF中，利用锐角三角形函数的定义求得 DF的长度，易得函数关系式.(2)由勾股定理求得：AC=Jah 2 DH 2 .设DF与ae相交于点Q,通过解r匕dcq和DQ 1RtA AHC推知KX o -故设DQ=k, CQ=2k, AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ 2的长度，结合图

38、形求得线段 BD的长度，易得答案.(3)如果四边形 ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AF/ DC 当AD/ FC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】(1)过点A作AHBC,垂足为点H.在 RtA ADH 中，AHD 90，ad TaHDH J2 2x x2联结DF,点Dk F之间的距离y即为DF的长度.点 F在圆 A上，且 AF±AD,AD AF , ADF 45 .在 RtADF 中，DAF 90 , DF AD ，4 4x 2x2 .cos ADFy , 4 4x 2x20x3 ;口 uuir 工(2) .£ 是 DF的中点，AE DF , AE 平分

39、 DF.bc=3，- hc 3 1 2. ac Jah2Ho7设DF与AE相交于点Q,在RDCQ中,DQC90 , tan DCQDQCQ在 RtAHC 中， AHC 90 , tan ACHAHHCDCQDQACH , CQ设 DQ k,CQ 2k, AQ DQ k,3k 6 k 立，DC JDQ2 CQ2 5 . 33-4-4. BD BC DC , BD :CD -. 35(3)如果四边形ADCF是梯形则当 AF/ DC时，AFD FDC 45 .ADF 45 ,ADBC,即点D与点H重合. BD 1 .当AD/ FC时,ADF CFD 45 .B 45 , B CFD .B BAD A

40、DF FDC , BADABD s DFC .DF 拒AD，DC- AD2 BC BD .即AB AD . DF DCBC BD .,2-2x-x2 2 3 x,2-1.5整理得（负数舍去）.x x 1 0 ,解得 x 2综上所述，如果四边形 ADCF是梯形，BD的长是1或1+后2此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值 以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.13.如图，在 4ABC中，以AC为直径作。交BC于点D,交AB于点G,且D是BC中 点，DE，AB,垂足为E,交A

41、C的延长线于点 F.（1）求证：直线 EF是。的切线；（2）若CF=3, cosA=2,求出。的半径和BE的5长；（3）连接CG,在（2）的条件下，求 CG的值.EF【答案】（1）见解析；（2） 2, 9 （3） CG:EF= 4: 75【解析】试题分析：（1）连结OD.先证明OD是 ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD/AB,再由DE± AB,得出ODLEF,根据切线的判定即可得出直线EF是。的切线;(2)先由 OD/ AB,得出 /COD=/ A,再解RtDOF,根据余弦函数的定义得到,00 2 一cos/ FODj =匚,设。的半径为 R,解RtAEF,根据余弦函数的定义得到解方程r+5 =5 ,求出R。"，那么AB=2OD=7j-,AE 214cosA=7F=F，求出 AET,然后由 BE=AB- AE 即 Ar bJ可求解.试题解析：（1）证明：如图，连结 OD. . CD=DB, CO=OA .OD是 ABC的中位线， .OD/AB, AB=2OD, .DEXAB, DEXOD,即 OD± EF, 直线EF是。O的切线；(2)解：.OD/ AB,/ COD=Z A.在 RtA DOF 中， Z ODF=90 ,设。的半径为R,则，