中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练含答案解析(1)

1、中考数学（锐角三角函数提高练习题）压轴题训练含答案解析（1）一、锐角三角函数1 .某地是国家AAAA级旅游景区，以 奇山奇水奇石景，古ft古洞古部落 ”享誉巴渠，被誉 为 小九寨端坐在观音崖旁的一块奇石似一只啸天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的啸天犬”抽象成四边形 ABCD,想法测出了尾部 C看头顶B的仰角为40°,从前脚落地点 D看上 嘴尖A的仰角刚好60°, CB= 5m,CD=2.7m.景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的 距离是3m.于是，他们很快就算出了AB的长.你也算算？（结果精确到0.1

2、m.参考数据：sin40 0.64, cos400.77, tan40 0.84.72 1,41,73 1.73）【答案】AB的长约为0.6m.【解析】【分析】作BF CE于F,根据正弦的定义求出BF,利用余弦的定义求出 CF,利用正切的定义求出DE,结合图形计算即可.【详解】解：作BF CE于F,在 Rt BFC 中，BF=BC sin BCF 3.20,CF=BC cos BCF 3.85,在 Rt ADEE中，DE3,373 1.73,BH=BF- HF =0.20, AH=EF=CD DE- CF=0.58 由勾股定理得，ab JBH2 AH2 0.6(m)， 答：AB的长约为0.6m

3、.【点睛】考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键.2 .已知在平面直角坐标系中，点 A 3,0 ,B 3,0 ,C 3,8 ,以线段BC为直径作圆, 圆心为E ,直线AC交e E于点D ,连接OD .(1)求证：直线OD是eE的切线；(2)点F为x轴上任意一动点，连接 CF交e E于点G ,连接BG :1 ,， 一 一，当tan ACF 7时，求所有F点的坐标(直接写出)； BG求的最大值.CF【答案】(1)见解析；(2)F1个,0 , F2(5,0)；吧的最大值为1.31CF2【解析】【分析】(1)连接DE ,证明/EDO=90即可

4、；(2)分'F位于AB上”和F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；作GM BC于点M ,证明ANF1 ABC ,得当-,从而得解.CF 2【详解】(1)证明：连接DE ,则: BC为直径BDC 90BDA 90OA OB OD OB OAOBD ODBEB EDEBD EDBEBD OBD EDB ODB即： EBO EDO CB x 轴 EBO 90EDO 90 ,直线OD为e E的切线.(2)如图1,当F位于AB上时：ANF1 ABCANABNF1 AF1BC AC设 AN3x ,则 NFi4x, AF1 5x CNCAAN 103x. tanACFF1NCN4x 1

5、一，解得：x10 3x 71031. AF15x5031OF1 35031433143即 F1,0311如图2,当F位于BA的延长线上时:AMF2 ABC设 AM 3x,则 MF24x, AF2 5xCM CA AM 10 3xF2 M4x 1. tan ACF 一CM 10 3x 72解得：x 5AF2 5x 2OF2 3 2 5即 F2（5,0）如图，作GM BC于点M , BC是直径CGB CBF 90CBF CGB.BG MG MGCF BC 8 MG 半径 4BG MG 4 1CF 88 2BG 1的最大值为1.CF2【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形

6、；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问 题.3 .如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1 ,且在水平线上的射影 AF为1cm)?1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2,并已知tan 1 1.082,tan 2 0.412 .如果安装工人确定支架AB高为25cm,求支架CD的高（结果精确到解；过点H作m口于P，AE*眈交 3千F»在 R2 ADF 中, D

7、F = AFtn =1,4x1.082 = 1.5148（）, q在检 EAP 中,EF tan 0=1.4x0.412 = 0,576S（ff?）（ 2 分）二口因二口尸一后尸= 1.5148- 03762 = 0932（喀）（1 分）又可证四边形ABCS为平行四边形，故有CE = 25二酬（2分）二C7?二口正十重二93 8十25二11&8总119仁切（2分）答：支架CD的高妁为11%阳.口分）/【解析】过A作AF CD于F ,根据锐角三角函数的定义用。1、色表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有 EC=AB=25cm再再根据 DC=DE+ECS行解答即可.4

8、 .已知：如图，在 RtA ABC中，/ACB=90°,点M是斜边 AB的中点，MD/ BC,且MD=CM, DE，AB 于点 E,连结 AD、CD.（1）求证：MEDsBCA;（2）求证： AMDCMD；17.（3）设4MDE的面积为Si,四边形BCMD的面积为a,当S2=S时，求cos/ABC的5值.BD 5【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） cos/ABC=5.7【解析】【分析】（1）易证 /DME=/CBA /ACB=/MED=90 ,从而可证明 MEDs BCA;（2）由Z ACB=90，点M是斜边AB的中点，可知 MB=MC=AM ,从而可证明ZAMD=Z

9、CMD,从而可利用全等三角形的判定证明AMD0CMD;一SMD 21(3)易证 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以 二 ,所以SvacbAB 41 281ME，一一Samcb=-Saacb=28i ,从而可求出 Saebc=82 - Smcb - 81 = 8i ,由于 ,从而可2 5SVEBDEB知 ME 5 ,设 ME=5x, EB=2x,从而可求出 AB=14x, BC=7 ,最后根据锐角三角函数的EB 22定义即可求出答案.(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=90 ；.MEDsBCA；(2) / ACB=90，点M是斜边 AB的中点,MB

10、=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB- / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,AMD 与 ACMD 中，MD MDAMD CMD ,AM CM .AMDACMD (SAS ; (3) MD=CM,，AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由（1）可知： MEDsBCA,2SMD1SVacbAB4Saacb=4Si ,.CM是AACB的中线,C1Sa mcb= Saacb=2Si ,22_ Sa ebd=S2 Sa mcb

11、 Si= S1,5SSVEBDme eb 'Si-pMEEB，MEeb设 ME=5x, EB=2x, .MB=7x, .AB=2MB=14x,MD ME 1AB BC 2 ' .BC=10x,BC 10x5cos/ ABC= - -AB 14x 7【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键 5.如图，AB是。的直径，弦 CD±AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB 的延长线

12、于切点为 G,连接AG交CD于K.(1)求证：ke=ge(2)若KG=KD?GE试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3(3)在(2)的条件下，若sinE=5, AKpV5",求FG的长.【答案】（1）证明见解析；（2） AC/ EF,证明见解析；（3） FG= H .【解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及 CD，AB,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE（2） AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接 GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD与 EKG相似，又

13、利用同弧所对的圆周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到 AC/ EF;（3）如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG.图1.EG为切线， / KGE吆 OGA=90 ； .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ；又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KGE=/ AKH=/ GKE,KE=GE(2) AC/ EF,理由为连接 GD,如图2所示.KG KD. GE = KG ，又 Z KGE4 GKE AGKDAEGK, Z

14、E=Z AGD,又 Z C=Z AGD, Z E=Z C,-.AC/ EF；EG为切线,Z KGE吆 OGA=90 ,.CDXAB,Z AKH+Z OAG=90 ,又 OA=OG,Z OGA=Z OAG,Z KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH-1,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t,KE=G AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得 AH2+H/=AK2, 即（3t） 2+t2=（乖）2,解得 t=?.设。半径为 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=

15、Od,125 25即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r= 6 tJ . .EF为切线, .OGF为直角三角形，25 JCH 4在 RtA OGF 中，OG=r=-' , tan / OFG=tanZ CAH="三于,2sOGZ5_ 2tanZOFS 4 6.FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.6.问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互

16、补，那么四边形 EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.（二）问题解决：已知。的半径为2, AB, CD是。的直径.P是标上任意一点，过点 P分别作AB, CD 的垂线，垂足分别为 N, M .（1）若直径AB± CD,对于座上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形 PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB± CD,在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明 MN的长 为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角.当点P运动到'J正的中点Pi时（如图二），求 MN的长； 当点P （不与B、C重合）

17、从B运动到C的过程中（如图三），证明 MN的长为定值.（4）试问当直径 AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.c国一圉二【答案】(i)证明见解析，直径 OP=2;(2)证明见解析，MN的长为定值，该定值为 2;(3)MN=#.，证明见解析;(4) MN取得最大值2.试题分析：(1)如图一，易证 ZPMO+Z PNO=180 ,从而可得四边形 PMON内接于圆，直径 OP=2；(2)如图一，易证四边形 PMON是矩形，则有 MN=OP=2,问题得以解决;(3) 如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得ZCOn=Z BOPi=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得 /

18、MPiN=60°.根据角平分线的性质可得PiM=PiN,从而得到PiMN是等边三角形，则有 MN=PiM.然后在RtAPiMO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为0 0;连接NO并延长，交。0'于点Q,连接QM,如图三，根据圆周角定理可得ZQMN=90 , ZMQN=Z MPN=60 ,在RtA QMN中运用三角函数可得：MN=QN?sin / MQN ,从而可得 MN=OP?sin/ MQN ,由此即可解决问题；(4)由(3) 中已得结论 MN=OP?sin/MQN可知，当/ MQN=90时，MN最大，问题 得以解决.试题解析：(1)如图一，. PMXOC,

19、 PN± OB,ZPMO=Z PNO=90 ,° . . / PMO+/PNO=180 四边形 PMON 内接于圆，直径OP=2;国一(2)如图一，. ABXOC,即 / BOC=90 ,°/ BOC=Z PMO=Z PNO=90 四边形 PMON 是矩形,.MN=OP=2,MN的长为定值，该定值为 2;(3)如图二，图二 Pi 是在的中点，ZBQC=120°, Z COP=Z BOPi=60 °, Z MPiN=60°, / PiM ±OC, PiNXOB,PiM=PiN, .PiMN 是等边三角形，MN=PiM.- Pi

20、M=OPi?sinZ MOPi=2X sin60=, ,MN= 7J ； 设四边形PMON的外接圆为OO',连接NO并延长，交。O'于点Q,连接QM,如图三，图二则有 / QMN=g0 , / MQN=Z MPN=60 ,AfV.MN是定值.在 RtQMN 中，sinZ MQN=, . MN=QN?sin / MQN, .MN=OP?sin/MQN=2X sin60=2(4)由(3)得 MN=OP?sin/MQN=2sin/MQN.当直径AB与CD相交成90°角时，/MQN=i80 - 90 =90° , MN取得最大值 2.考点：圆的综合题.7.某条道路上

21、通行车辆限速 60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点 P到AB的距离 PH为50米（如图）.已知点 P在点A的北偏东45方向上，且在点 B的北偏西60 °方向 上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过 AB段的时间在多少秒以内，可认定为 超速？（参考数据：J3=i.7 J? = i.4 .【答案】车辆通过 AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速 【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解 直角三角形即可.详解：如图，由题意知 /CAB=75, /CAP=45, / PBD=60 ,/ PAH=/ CAB-/ CAP=

22、30 ,50 / PHA=Z PHB=90 ,° PH=50,AH= 33 =50 J3 ,tan PAH31. AC/ BD,/ ABD=180CAB=105/ PBH=Z ABD/ PBD=45 ,°贝U PH=BH=50, . AB=AH+BH=50j3+50,50.3 5050.一, 、一、一 .60千米/时=米/秒，时间t= 50=3+3J3 = 8.1（秒），33即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速.点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即 实际路程，并进行判断相关的量。8.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划

23、中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等 水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打 造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A, B两点之间的距离他沿着与直线 AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得/ACF=45,再向前走300 米到点D处，测得/BDF=60.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A, B两点之间的 距离（结果保留一位小数）【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtACM和三角函数tan BDF求出CM、DN,然后根据 MN MD DN AB即可求出A、B两点间

24、的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点E C n。N 产在 RtACM 中，ACF 45 ,.AM=CM=200 米，又.口二？。米，所以 MD CD CM 100米, 在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米BNDNo 115.6 米，tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B两点之间的距离约为 215.6米. 【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键9.如图，已知，在e O中，弦AB与弦CD相交于点E ,且Ac Bd .(1)求证：AB CD；(2)如图，若直径 FG经过点E,求证：EO平分 A

25、ED;(3)如图，在(2)的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M ,连接MGAB CD, MG平分 PMB , MG 2, FMG的面积为2,求eO的半径的长【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) e O的半径的长为 回.【解析】【分析】(1)利用相等的弧所对的弦相等进行证明；(2)连接AO、DO ,过点。作OJ AB于点J , OQ CD于点Q ,证明AOJDOQ得出OJ OQ ,根据角平分线的判定定理可得结论；(3)如图，延长GM交e O于点H ,连接HF ,求出FH 2,在HG上取点L ,使HL FH,延长FL交eO于点K ,连接KG ,求出FL 2J2，设HM n ,则有LK

26、 KG -n , FK FL LK 2也 变 n ,再证明 22-KG HF 、KFG EMG HMF ,从而得到tan KFG tan HMF , ，再代入 FK HMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为 J10 . 【详解】解：(1)证明：. Ac Bd， Ac Cb ?d Cb，?ab Cd,AB cd.(2)证明：如图，连接 AO、DO,过点O作OJ AB于点J , OQ CD于点Q ,1 _1 _ AJO DQO 90 , AJ -AB -CD DQ , 22又. AO DO ,AOJ DOQ ,. OJ OQ ,又 OJ AB, OQ CD ,. . EO

27、平分 AED .(3)解： CD AB, AED 90 ，1由（2）知， AEF AED 45 , 2如图，延长GM交e O于点H ,连接HF ,1 ,. FG 为直径， H 90 , S mfg - MG FH 2, 2 MG 2, FH 2,在HG上取点L ,使HL FH ,延长FL交e O于点K ,连接KG :HFL HLF 45 , KLG HLF 45 , FG 为直径， K 90 ,KGL 90 KLG 45 KLG , LK KG ,在 Rt FHL 中，fl2 FH2 HL2，FL 2行，设 HM n, HL MG 2, GL LM MG HL LM HM n ,2在 Rt L

28、GK 中，LG2 LK2 KG2, LK KG n,2-.2FK FL LK 2V2 n, 2 GMP GMB， : PMG HMF， 二 HMF GMB ,145 AEF - AED 45 , 2 MGFEMGMEF 45 , MGF KFG HLF KFGEMGHMF ,tan KFG tan HMF ，. 2 nKG HF2 n-FK hM '_r 222.2 nHG HM MG 6,在 Rt HFG 中，FG2 FH 2 HG2, FG 2/10 , FO 屈.即e O的半径的长为J10.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添 加

29、辅助线是解题的关键.10.在4ABC中，/B=45°, / C= 30°,点D是边BC上一点，连接 AD,将线段 AD绕点A 逆时针旋转90。，得到线段AE,连接DE.(1)如图，当点E落在边BA的延长线上时，ZEDC=度(直接填空)；.一 1(2)如图，当点E落在边AC上时，求证：BD= - EC；211【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题；(2)如图2中，作PAL AB交BC于 巳 连接PE.只要证明 BA44PAE (SAS ,提出BD=PE 再证明 EC=2PESRT;(3)如图 3,作 EH AC于 F,延长 FE交 BC于 H,作 AGXBC

30、T G, PA! AB 交 BC于 P, 连接 PE.设 PH= x,在 R9EPH中，可得 EP= V3x, EH= 2PH=2x,由此 FH= 2x+73T, CF= 2点*+3- 73,由 BA4 PAE,彳B BD= EP=石 x, AE= AD,在 RtABG 中，AG= GB= 2,在 RtA AGC中，AC= 2AG=4,故 aE? = AD2= AF2+EF2, 由勾股定理得 AF=1+J3,由此tan/EAF= 2-屈,根据对称性可得tan Z EAC=6-3 311【详解】3 / EDC= / B+Z BED, Z B= Z BED= 45 ;4 / EDO 90 ；故答案

31、为90;(2)如图2中，作PA，AB交BC于P,连接PE.5 / DAE= / BAP= 90 °,/ BAD= / PA匕6 / B= 45 °,./B=/ApB=45；.AB= AP,7 .AD= AE,8 .BADAPAE (SAS ,.BD=PE, /APE=/B = 45 °,/ EPD= / EPC= 90 °,Z C= 30 °,EC= 2PE= 2BD；(3)如图3,作EH AC于F,延长FE交BC于H,作AGBC于G, PAI AB交BC于P, 连接PE.图3设 PH= x,在 RtEPH 中，Z EPH= 90°,

32、 Z EHP= 60°,EP= 73x, EH= 2PH=2x, .FH= 2x+ 73 - 1 , CF= 33 FH= 2 V3x+3 - 33 ,.BADAPA,-.BD=EP= 73x, AE= AD,在 RtABG 中， AB= 2J2,.AG=GB= 2,在 RtA AGC 中,AC= 2AG= 4,AE2 = AD2= AF2+EF2,22+ (2 33 x) 2= ( 33 1) 2+ (4 233 x 3+ V3 ) 2,整理得：9x2 - 12x= 0,解得x= 4 (舍弃)或03 .PH=0,此时 E, P, H 共点,AF = 1+ /3 ,tan / EAF

33、= 亘-=- = 2 J3 .AF .3 1根据对称性可知当点 E在AC的上方时，同法可得 tan / EAC= 6-33 .11【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性 质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.11 .如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线 AB与放置地球仪的平面交于点D,所夹的角度约为 67°,半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E, DE=15cm , AD=14cm.(1)求半径 OA的长(结果精确到

34、 0.1cm,参考数据：sin67 ° =0,9£os67° =39, tan67 ° 2.36(2)求扇形BOC的面积(兀取3.14,结果精确到1cm)【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm ; (2)扇形BOC的面积约为822cm2 .【解析】【分析】在RtODE中，DE=15, /ODE=67,根据/ODE的余弦值，即可求得 OD长，减去 AD 即为OA.(2)用扇形面积公式即可求得【详解】在 RtODE 中，DE 15cm, ODE 67cos ODEDEDO '150.39OA OD AD 38.46 14 24.5 cm ,答：半

35、径OA的长约为24.5cm .(2) ODE 67 ,BOC 157 ,一S扇形BOC3602157 3.14 24.522360822 cm2答：扇形BOC的面积约为822cm2 .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中 余弦定义来解题是解题关键.12 . 3米/秒=65.88千米/小时60千米/小时.此车超过限制速度.4分13 .如图，在 RtABC中，/C= 90°, /A=30°, AB = 4,动点P从点A出发，沿 AB以每 秒2个单位长度的速度向终点 B运动.过点P作PD)± AC于点D(点P不与点A,

36、B重合), 作/DPQ= 60。，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段 DC的长： ；(2)当t =时，点Q与点C重合时；(3)当线段PQ的垂直平分线经过 4ABC一边中点时，求出t的值.II 3 51【答案】(1)八仃-"0；(2) 1; (3) t的值为5或不或1【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出 AD,即可得出结论；(2)利用AQ=AQ即可得出结论；(3)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.【详解】(1) AP= 21 , AB=4,/A=30°.AC= , AD=二. CD以、* -；(2) AQ=2AD

37、=2p当AQ=AC时，Q与C重合即 =. .t=1 ;(3) 如图，当PQ的垂直平分线过 AB的中点F时，111111/ PGF= 90 ； PG= jPQ= kAP= t, AF=JAB= 2. /A=/AQP= 30 °,，/FPG= 60； . . / PFG= 30 °, . . PF= 2PG= 2t,11.AP+PF= 2t + 2t = 2, .1.t = j 如图，当PQ的垂直平分线过 AC的中点N时，1II 1./QMN = 90 ： AN=AC=小，QM=jPQ= 5AP=t.在 RtA NMQ 中，.AN + NQ= AQ, 如图，当PQ的垂直平分线过

38、 BC的中点F时,.BF= BC= 1,11PE=亍PQ=t, / H= 30： / ABC= 60 ；在 RtA PEH 中,/ BFH= 30 = / H,BH= BF= 1.PH=2PE= 2t. AH=AP+ PH=AB+ BH, /.2t+2t=5, /.t =54.即当线段PQ的垂直平分线经过 ABC一边中点时，t的值为或a或彳【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线 的性质，正确作出图形是解本题的关键.14.在 RtABC中，/ACB=90°, AB= J7 , AC=2,过点 B作直线 m II AC,将 ABC绕点 C

39、顺时针旋转得到B'AA, B的对应点分别为 A', B',)射线CA, CB分别交直线 m于点P, Q.(1)如图1,当P与A重合时，求/ACA'的度数；(2)如图2,设A'国BC的交点为M,当M为A'的中点时，求线段 PQ的长；(3)在旋转过程中，当点 P, Q分别在CA', CB'的延长线上时，i3t探究四边形PA'B的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA' B'的最小面积；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 60°； (2) PQ= 7； (3)存在，S四边形 pabq=3- J32

40、【解析】【分析】(1)由旋转可得：AC=A'C=2,进而得到BC J3,依据/ABC=90°,可得BC cos/ A'CB -A'C,即可得到 Z A'CB=30 °, /ACA=60 ;2(2)根据M为A'B'的中点，即可得出 ZA=ZA'CM,进而得到PB Y3 BC3,依据2tan ZQ=tanZ A 叵,即可得到 BQ=BC 其 2,进而得出 PQ=PB+BQ -232(3)依据S四边形PABQ=SzPCQ- S A'CB'=SAPCQ J3 ,即可得到 S四边形PAB'Q最小，即 S/

41、PCQ最小，而 Sapcq IpQXBC2Y3PQ,利用几何法即可得到Sa pcq的最小值=3,即可得到结2【详解】(1)由旋转可得:AC=A'C=2. / ACB=90 ； ABBC/ACB=90； m / AC, . ./A'BC=90； . . cos/A'CB A'C,Z A'CB=30 °,2./ACA=60(2) M为A'B'的中点，ZA'CM=ZMA'C,由旋转可得:/ MA'C=Z A,，/A=/A'CM, .-.tanZPCB=tanZ A 叵,pb BC Z BQC=Z BCP=Z A, .tan Z BQC=tan Z A , . BQ=BC2, .1.PQ=PB+BQ(3) .S四边形 pab'q=S： pcq Saa,ce'= Sapcq J3 , S四边形 pab'q最小，即Sa pcqJ1小,1Sa pcq PQ>BC2PQ,2取PQ的中点G./ PCQ=90 ； c CG1一PQ,即PQ=2CG,当CG最小时，PQ最