六年级奥数考点：立体图形的体积问题

1、考点：立体图形的体积问题一、知识要点解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部 分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开 水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。【例题11 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米， 则体积增加90

2、立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积=长乂宽X高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽X高=40+ 2=20 （平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长X高=90+ 3=30 （平方厘米）；由 高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长X宽=96+ 4=24 （平方厘米）。而长方体的表面积=（长X宽+长X高+宽X高）X 2= （20+30+24）X2=148（平方厘米）。即40+2=20 （平方厘米）90+3=30 （平方厘米）96+4=24 （平方厘米）（30+20+24） X2=74X 2=148 （平方厘米）答：原长

3、方体的表面积是148平方厘米。练习4:1、（课后）一个长方体，如果长减少 2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米， 则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多 少平方厘米？（48+2+65 y+96 +4） X2 = 122 平方厘米2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？减少的表面积实质是高度分别为 2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个 合并起来，用120 + （2+3 ） =24厘米，求到正方体底面的周长，

4、正方体的棱长就是 24+4 = 6厘 米。圆长方体的体积是：6X6X （6+3+2 ） =396立方厘米3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？图 27-9长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长X （宽 +高），209 =11 X19,所以长 = 11,宽+高=19,或长=19,宽+高=11,根据题意，宽和高只能是17和2,长方体的体积就 是 11 X17X2 = 374【例题2】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘

5、米。如果将这两堆碎石都沉在大水 池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是 3X3X0.06+2 X2X0.04=0.7 （立方米）。把它沉到大水池 里，水面升高部分的体积也就是 0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。3X3X0.06+2 X2X0.04=0.7 （立方米）0.7+6 的平方=7/360 （米）=1 又 17/18 （厘米）答：大水池的水面升高了 1又17/18厘米。练习2:1、（课后）有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4米、3米、2米。把两堆

6、碎 石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4厘米和11厘米，如果将这两堆碎 石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？（32X0.04+2 2X0.11 ） -42 = 0.05 米=5 厘米2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢 板，应截取圆钢多长（精确到 0.1厘米）？2030 X20X5 +13.14 X （1）2=9.6 厘米3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方 体（不计损耗），求这个大正方体的体积。大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。54 4 = 9平

7、方厘米 9 = 3X3它的体积是3X3 X3 = 27平方厘米96 -6=16平方厘米16 = 4X4 它的体积是4X4X4 = 64立方厘米150+6 = 25 平方厘米25=5X5它的体积是5X5X5 = 125立方厘米27+64+125 =216 立方厘米【例题3】一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深 8厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排 开水的体积是8X8X 15=960 （立方厘米）。而现在瓶中水深是 8厘米，要淹没15厘米高的铁块，

8、水面就要上升15 8=7 （厘米），需要排开水的体积是（3.14 X 10X 10-8X8） X7=1750 （立方厘 米），可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14 X 10X 108X8=250 （平方厘米）。水的 形状变了，但体积还是 3.14 X10X 10X8=2512 （立方厘米）。水的高度是 2512+250=10.048 （厘 米）,上升 10.048 8=2.048 （厘米）3.14X10X 10X8+ （3.14X10X10 8X8） 8=2512+ 2508=10.0488=2.048 （厘米）答：水面上升了 2.048厘米。练习3:1、一

9、个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1厘米、高 5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（I1取3） ?铁块全部放入水中，排水的体积是3X12X5=15立方厘米，要使水面升高2厘米，铁块要排水（153 -3X12） X2 = 24立方厘米。可见，铁块不能全部放入水中。15X3+ （15-3X12） 3=一厘米42、（课后）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是 2平方厘 米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？杯中水的体积是：72 X2.5 = 180立方厘米放入铁块后的底面

10、积是 72 62=36平方厘米；水面的高：180 +36 = 5 厘米3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长 100厘米、底面边 长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？容器中水的体积：（602- 152） X50= 168750立方厘米；当铁棍提起后，仍浸在水中的部分长：（168750 -602X24） + （602-152） =24.4 厘米。露出水面的浸湿部分长： 50 24.4 =25.6 厘米【例题4】如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，

11、有几种包装方法？怎样打 包物体的表面积最小呢？图 284设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c,并且abc （入土 28-4）。比较“3X 4”和“2X6” 两种包法。图 28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bca,图28-6中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc,两个式子中都曲调相同的部分 4ab+8ac+24bc后，式与式的大小要看2ab与4ac的大小。（1）当b=2c时，2ab=ac,两种包法相同。（2）当b2c时，“2X6”的包法表面积最小练习4:1、(课后)如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件 大的包装物，有几种包装方法？怎样打

12、包，物体的表面积最小？20.56 + (1+1+3.14 ) =4 分米 3.14 X (4) 2X4 = 50.24 立方分米2、一个精美小礼品盒的形状是长 9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一 个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？长方体中：(1)高+宽=(365 -5) +2 = 180 厘米(2)高+ 长=(405 5) +2 = 200 厘米(3)长+宽=(485 5) +2 = 240 厘米(4) (2) (1)得：200 180 =20 厘米长：(240+30 ) +2=130 厘米高：200 130 =70 厘米宽：240 130 =110 厘米130 X110 X70= 1001000 立方厘米=1.001 立方米3、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9