中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案

1、中考数学一一圆的综合的综合压轴题专题复习附答案一、圆的综合1 .如图，在平面直角坐标系 xoy中，E (8,0) , F(0,6).(1)当 G(4, 8)时，则 Z FGE=(2)在图中的网格区域内找一点P,使/FPE=90且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形.要求：写出点P点坐标，画出过 P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画 法).【答案】(1)90；(2)作图见解析，P(7,7),PH是分割线.【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求出 4FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定4FEG是直角三角形，且 / FGE=90 .(2) 一方面，由于 /

2、FPE=90,从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而 OP是正方形的对角线，即点 P在/FOE的角平分线上，因此可得 P (7,7) , PH是分割线.试题解析：(1)连接FE,- E （8,0） , F（0，6）, G（4, 8）,根据勾股定理，得 FG=2, EG#5, FE=10.I（）a +（）z = io2,即同十 *市.FEG是直角三角形，且 Z FGE=90 . (2)作图如下:P (7, 7) , PH是分割线.考点：1.网格问题；2.勾股定理和逆定理；3 .作图(设计)

3、；4.圆周角定理.2.如图，AB为eO的直径，弦 CD/AB, E是AB延长线上一点，CDB1 DE是e O的切线吗？请说明理由;【答案】(1)结论：DE是e O的切线，理由见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE即可；(2)只要证明：AC BD, VCDBsVDBE即可解决问题.【详解】1解：结论：DE是e O的切线.Q CDB ADE ,ADC EDB,QCD/AB,CDA DAB ,Q OA OD , OAD ODA, ADO EDB,Q AB是直径，ADB 90o，ADB ODE 900，DE OD , DE是e O的切线.2 QCD/AB,ADC

4、 DAB , CDB DBE, n n AC BD，AC BD ,Q DCBDAB ,EDB DAB ,EDBDCB ,VCDBs VDBE ,CD DB BD BE BD2 CD BE , _ 2AC CD BE .【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型3.如图1,以边长为4的正方形纸片 ABCD的边AB为直径作OO,交对角线 AC于点E. (1)图1中，线段AE=;(2)如图2,在图1的基础上，以点 A为端点作Z DAM=30 ,交CD于点M ,沿AM将四 边形ABCM剪掉，使Rt

5、AADM绕点A逆时针旋转(如图 3),设旋转角为 a (00 a EQ ,且 BD= 2 J3 .过点D作DF / BC,交AB的延长线于点 F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若/BAC= 60。，DE=用,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2) 9J3-2兀.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到 ODLBC,根据平行线的性质得到 ODLDF,根据切线的 判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2，根据勾股定理求出 PE,证明AB&4AFD,根据相似三角形 的性质求出AE,根

6、据阴影部分的面积 =4BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,Bd = Cd ,7解得DF=12,ODXBC,1. BO/ DF, .ODSF, .DF为。O的切线；(2)连结 OB,连结 OD交BC于P,作BHXDFT H,F H D / BAO=60 ； AD 平分 / BAO,/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 , .OBD为等边三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=273 ,/ BDF=30 ,1. BO/ DF,/ DBP=30 ；1 L-在 RtDBP中，PD=- BD=V3 ,

7、 PB=V3PD=3,在 RtDEP 中，PD=5/3 DE=5/7, PE= ( 7)2 ( 3)2 =2, .OPXBO,BP=CP=3.OE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEO, .,.BDEAAOE, .AE： BE=OE DE,即 AE： 5=1：万，5:7AE=71. BE/ DF,.ABEAAFD,5 7.BE AE 5 TDF AD 即 DF125 在 RtBDH 中，BH=1BD=73, ，阴影部分的面积二 BDF的面积-弓形 BD的面积=4BDF的面积-(扇形 BOD的面积- BOD 的面积）=1 12 J3 60（2扃叵（273）2 =97

8、3-2-23604【点睛】 考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等 边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.9.在平面直角坐标系中，已知点 A (2, 0),点B (0, 2c，点O (0, 0) . 4AOB绕 着O顺时针旋转，得 AOB,点A、B旋转后的对应点为 A, B,记旋转角为图1图？(I )如图1, AB恰好经过点A时，求此时旋转角 ”的度数，并求出点 B的坐标；(n )如图2,若0V a90,设直线 AA和直线 BB交于点P,求证：AAUBB;(出)若02）,连接BC,以BC为边在第一象限内 作等边 BCD）,直

9、线DA交y轴于E点.（1）求证：OB8 4ABD（2）随着C点的变化，直线 AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变,请求出直 线AE的解析式.（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点 F,当C点运动到何处时，直线 EF/直线BO；这时 O F和直线BO的位置关系如何？请给予说明.【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：y T3x 2百;（3） C点运动到（4,0）处时，直线EF/直线BO;此时直线BO与。F相切，理由见解析【解析】 【分析】 (1)由等边三角形的性质可得到OB=AB, BC=BD, Z OBA=Z DBC,等号两边都加上/ABC,得到/OBC=/ AB

10、D,根据“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,由等边 ABCD,得至U / BAO=60 ,根据平角定义及对顶角相等得到 /OAE=60 在直角三角形 OAE中，由OA的长，根据tan60的定义求出OE的长，确定出 点E的坐标，设出直线 AE的方程，把点 A和E的坐标代入即可确定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到 A为OC中点，由A的坐标即可 求出C的坐标；相切理由是由 F为等边三角形 BC边的中点，根据 主线合一

11、 ”得到DF与BC 垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】(1)证明：4OAB和4BCD都为等边三角形， .OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=60 , / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB ABOBC ABD,BC BD.-.OBCAABD.(2)随着C点的变化，直线 AE的位置不变，-/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 ；又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 =OE, OA则OE=2君，点 E坐标为(0, -2

12、J3),设直线AE解析式为y=kx+b,把E和A的坐标代入得:0 2kb26 b 解得,直线AE的解析式为：y3x 2 3（3） C点运动到（4,0）处时，直线EF/直线BO；此时直线BO与。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,则EF与EA所在的直线重合， 点F为DE与BC的交点，又F为BC中点， .A 为 OC 中点，又 AO=2,贝U OC=4, 当C的坐标为（4, 0）时，EF/ OB, 这时直线BO与。F相切，理由如下：.BCD为等边三角形，F为BC中点，.-.DF BC,又 EF/ OB, FBI OB, 直线BO与。F相切，503【

13、点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关 系.熟练掌握相关性质定理是解题关键 .ABAB(1)(2)(3)AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 上运动（不与 A、B重合），过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知5, BC ： CA = 4 ： 3.求证：AC CD = PC BC ;当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.B【答案】（1）证明见解析；（2） CD=14Y2； （ 3）当PC为。直径时，APCD的最大面积3【解析】【分析

14、】(1)由圆周角定理可得 /PCD=/ ACB=90,可证ABJPCD,可得生 竺_,即可得CP CD证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求 PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?B(CT求CD的值；1 .一4(3)当点P在Ab上运动时，SVPCD PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得2 3一1 一4一2.2Svpcd PCPCPC ,当PC取大时， PCD的面积取大，而 PC为直径时取233大，故可求解.【详解】证明：(1),. AB为直径，/ ACB=90 PCX CD,/ PCD=90 / PCD=/ ACB,且 /

15、CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC： CA=4： 3, ZACB=90.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BEX PC于点E点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4八2-.-.CE=BE=2 BC=2 . 2 / CAB=Z CPBBCtanZ CAB=AC. PE=3CD=X4214 2CD=31(3)当点P在AB上运动时，Sapcd= - PCCD, 2由(1)可得：CD= 4 PC3502 2当PC为。直径时， PCD的最大面积=-x2=3【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定

16、和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.12.如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线 AC上，以OA的长为半径的。与AD、AC分 别交于点E、F,且/ ACB= / DCE(1)判断直线CE与。的位置关系，并说明理由；【答案】（1）直线CE与。O相切，理由见解析；（2）。的半径为 叵4【解析】【分析】（1）首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得/ DEC吆OEA=90 ,即OE EC即可证得直线 CE与。O的位置关系是相切；（2）首先易证得CDa4CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得 AC的长，然后设 OA为

17、x,即可得方程（局 X2 （提 x）2,解此方程即可求得 OO的半径.【详解】解：（1）直线CE与。O相切.理由：连接OE, 四边形ABCD是矩形，Z B= ZD= ZBAD=90 , BC/ AD, CD= AB, /DCEf/DEC= 90 , /ACB=/DAC,又 / DCE= / ACB, / DEG/ DAC= 90 , .OE= OA,/ OEA= / DAC, / DEG/ OEA= 90 ,/ OEC= 90 ；.-.OE EC, .OE为圆O半径， 直线CE与。O相切；（2） . /B=/D, /DCE=/ACB.CDECBA,.型幽DC DE 又 CD= AB=匹,BC=

18、 2,.DE=1根据勾股定理得EC= . 3 ,又ac Jab2 bc2而,设 OA为 X,则（）2 x2 （而 X）2,解得X立，4O O的半径为.4D【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知 识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注 意辅助线的作法.13.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点（2）连接 BC,若 BCF 30, BF 2,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2） 273【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=

19、DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/OCD,再证 ZCDO +/CDB=/OCD+/DCF=90, 可得 ODDF,结论成立.（2）由/OCF=90, /BCF=30,得/OCB=60,再证 A OC的等边三角形，得 /COB=60,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD.CF是。O的切线/ OCF=90 / OCD+Z DCF=90 直径ABL弦CD .CE=ED即OF为CD的垂直平分线.CF=DF/ CDF=Z DCF,.OC=OD,/ CDO=Z OC

20、D / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ODXDF .DF是。O的切线(2)解：连接OD / OCF=90, / BCF=30 / OCB=60 .OC=OBA OCB；等边三角形，/ COB=60 / CFO=30 . FO=2OC=2OB . FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60CE 3sin COE OC 2 .CF ,3.CD=2 CF 2,3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形 .解题关键点：熟记切线的判定 定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形 .14.对于平面内的OC和。C外一点

21、Q,给出如下定义：若过点 Q的直线与OC存在公共AQ BQ点，记为点A, B,设k cq ，则称点A (或点B)是。C的“肝目关依附点”，特另 2AQ. 2BQ地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ, k (或).CQ CQ已知在平面直角坐标系 xoy中，Q(-1,0), C(1,0), OC的半径为r.(1)如图1,当r J2时， 若Ai(0,1)是。C的“卧目关依附点”，求k的值.A 2(1 +J2, 0)是否为OC的“外目关依附点(2)若。C上存在“相关依附点”点M,当r=1 ,直线QM与。C相切时，求k的值.当k J3时，求r的取值范围.(3)若存在r的值使得直线yJ3x b与。C有公

22、共点，且公共点时 OC的13相关依附点”，直接写出b的取值范围.【答案】（1）拒.是；（2）k J3；r的取值范围是1w r 2 ； （3） 志 b 3席.【解析】 【分析】一 .一2AQ .（1）如图1中，连接AC、QAi.首先证明QAi是切线，根据k 不丁计算即可解决 CQ问题；根据定义求出k的值即可判断；（2） 如图，当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M在x轴上方（切点 M在 x轴下方时同理），连接 CM ,则QM CM ,根据定义计算即可；如图3中，若直线QM与e C不相切，设直线 QM与e C的另一个交点为 N （不妨设 QN QM ,点N , M在x轴下方时同理），作

23、CD QM于点D ,则MD ND,可得 MQ NQ （MN NQ） NQ 2ND 2NQ 2DQ , CQ = 2 ,推出k MQ NQ 2DQ DQ ,可得当 k 73时，DQ J3 ,此时 CD 002_DQ2 1 , CQ CQ假设e C经过点Q ,此时r = 2,因为点Q早e C外，推出r的取值范围是1, r 2 ;（3）如图4中，由（2）可知：当k J3时，1, r 2 .当r = 2时，e C经过点Q（ 1,0）或E（3,0）,当直线yV3x b经过点Q时，bJ3,当直线yJ3x b经过点E时，b 3J3,即可推出满足条件的 b的取值范围为 73 b 3万.【详解】（1）如图1中，

24、连接AC、QA1.图L由题意：OC OQ OA1 , 4QA1C是直角三角形，CA1Q 90 ,即CAi QA, QAi 是 eC 的切线，k 2QA1-空2 员QC 2Q A2（1 72,0）在eC上， k 2 乏1 及12,4是eC的“淅关依附2点”.故答案为：J2,是;（2） 如图2,当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M在x轴上方（切点 M在x轴下方时同理），连接 CM ,则QM CMQQ( 1,0), C(1,0), r 1,CQ 2, CM 1,MQ J3 ,此时2MQCQ如图3中，若直线QM与e C不相切，设直线QM与e C的另一个交点为 N （不妨设QN QM ,点N

25、 , M在x轴下方时同理），作 CDQM于点D ,则MDND,MQ NQ (MN NQ) NQ 2ND 2NQ 2DQ,QCQ 2,MQ NQ 2DQ22k 一 大7 DQ , 当 k J3时，DQ 73,此时 CD VCQDQ 1, CQ CQ假设e C经过点Q ,此时r = 2, Q点Q早e C外，r的取值范围是1, r 2.vA外即E3（3）如图4中，由（2）可知：当k J3时，1, r 2.当= 2时，e C经过点Q( 1,0)或E(3,0),当直线y J3x b经过点Q时，bJ3,当直线yJ3x b经过点E时，b 3/3 ,满足条件的b的取值范围为志 b 373 .【点睛】本题考查了

26、一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A (或点B)是eC的k相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题.15.如图，力B是大半圆门的直径，/已是小半圆M的直径，点。是大半圆上一点，PA与小 半圆M交于点q,过点C作。力10P于点环(1)求证：CD是小半圆M的切线；(2)若施=可，点P在。上运动(点P不与人/?两点重合)，设PD = x,CD2 = y. 求)与%之间的函数关系式，并写出自变量 卜的取值范围；当 =3时，求P*两点之间的距离.A M OB【答案】(1)见解析；(2)y=- + 4，0#汽 两点之间的距离为2Vm 或.【解析】【分析】(1)连接CQ CM,只需证到 CD,CM.由于CD,OP,只需证到 CM/ OP,只需证到 CM 是 AOP的中位线即可.(2) 易证ODA4CDP,从而得到CD2=