中考数学复习圆专题复习教案课程

1、中考数学专题复习六 几何(圆)【教学笔记】一、与圆有关的计算问题(重点)1、扇形面积的计算-1R 2 n R2扇形：扇形面积公式 S -360n :圆心角 R：扇形对应的圆的半径 l :扇形弧长S：扇形面积圆锥侧面展开图：(1)跟 S侧 5底=Rr r212(2)圆锥的体积：V 1 r2h32、弧长的计算：弧长公式l nN;1803、角度的计算二、圆的基本性质(重点)1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；(2)相等的圆周角所对的弧也相等。(3)半圆(直径)所对的圆周角是直角。

2、(4) 90°的圆周角所对的弦是直径。注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦并且平分这条弦所对的另一条弧(4)在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等三、圆与函数图象的综合以点B为圆则阴影部分一、与圆有关的计算问题【例 1】（2016?资阳）在 RtABC 中，/ACB=90°, AC=S,心，BC的长为半径作弧，交AB于点D,若

3、点D为AB的中点， 的面积是（A. 2B B . 4百-7171【解答】解：. D 为 AB 的中点，BC=BD=LAB,/ A=30 °, / B=602.丁 AC=2.巧,二 BC=AC?tan30 °=2陋？返=2，二 S 阴影3=SA ABC - S 扇形 CBD=-X2/3X2 -故选A.【例2】（2014?资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2 /AOB=120, CMS 的中点，连接AG BC,则图中阴影部分面积是（A.2/5C.冬-仃 D3好3CO2/3,故选A.B.C1C丁D.九解答：连接OCVZ AOB=120, C为弧 AB中点，/ AOCM BOC=

4、60，; OA=OC=OB=2 .AOC ABO霹等边三角形，AC=BC=OA=2 .AOC的边AC上的高是厚二BOCa BC上的高为行,兀一二阴影部分的面积是【例3】（2013?资阳）钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分，分针在钟面上 扫过的面积是（解 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,答：则分针在钟面上扫过的面积是:1S0TTX 12 1360%.故选：A.【例4】（2015成都）如图，正六边形 ABCDEF内接于。O,半径为4,则这个正六边形的边心距 OM和BC弧线的长分别为（）A. 2, * B- 2 V3，【课后练习】-2c. 73, _3.一 4D,

5、273, 31、（2015南充）如图，PA和PB是。的切线,点A和B的切点，AC是。的直径,则/ACB的大小是（A. 40°B. 60°2、（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60° ,此时点B旋转到点B',则图中阴影部分的面积是（A. 12%C. 6九D. 36几3、（2015内江.）如图，在。O的内接四边形 ABC理，AB是直径，/ BCD1200 ,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则/ ADP勺度数为（A. 40°C. 30°D. 45°CA解析： 连接 BD, . /DAB=180-/C=5

6、0° , AB 是直径，/ ADB：90° ,/ ABD：90°-/DAB=40, PD是切线，. / ADP=/B=40°.故选 A.4、（2015自贡）如图,AB是。的直径，弦CD± AB, / CDB= 30° , CD= 2< 3 ,则阴影部分的面积为A. 2兀B.71c. 一3D 23/ BOD= 60°解析：5、（2015凉山州）如图， ABC内接于。O, /OBC=40 ,则/ A的度数为（A. 80° B .100° C.110°D . 130°6、 （2015凉

7、山州）将圆心角为90° ,面积为4兀cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径A. 1cm B . 2cm C3cm D . 4cm7、A. 65°B. 130° C. 50° D. 100°8、 （2015眉山）如图，O。是 ABC的外接圆，/ ACO=450,则/ B的度数为（）A. 300 B. 350C. 400D 4509、 （2015巴中）如图，在。O中，弦AC/半径OB / BOC500 ,则/ OAB勺度数为（ ）A. 25°B . 50°C . 60° D. 30°10、

8、（2015攀枝花）如图，已知。O的一条直径AB与弓在C用交于点E,且AC=2, A曰p ,CE=1,则图中阴影部分的面积为（）A曾 B .噂 C .3 D .看11、 （2015甘孜州）如图，已知扇形 AOB勺半彳至为2,圆心角为90° ,连接AB则图中阴影部分的面积是（）A.冗一2 B .冗一4 C .4兀一2 D .4兀一412、 （2015.达州）已知正六边形 ABCDEF勺边心距为73cm,则正六边形的半径为cmi13、 （2015自贡）如图，已知 AB是。O的一条直径，延长 AB至C点，使AC=3BC CD与。O相切于D 点.若CD= 33 ,则劣弧AD的长为.14、 （2

9、015遂宁）在半径为5cm的。O中，45°的圆心角所对的弧长为 cm15、 （2015宜宾）如图，AB为。的直径，延长 AB至点D,使BOOB DC切。于点C,点B是Cf的中点，弦CF交AB于点E.若。的半径为2,则CF=.16、 （2015泸州）用一个圆心角为120° ,半,径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这 个圆锥的底面圆的半径是.17、 （2015眉山）已知。的内接正六边形周长为 12cm,则这个圆的半经是 cm.18、 （2015广安）如图，A. B. C三点在。O上，且/ AOB70° ,则/ C=度.19、24. （2015巴中）圆心角为60°

10、 ,半径为4cm的扇形的弧长为 cm20、 (2015甘孜州)如图，AB是。O的直径，弦CD垂直平分半径 OA则/ ABC勺大小为 度.二、圆的基本性质【例1】(2016?资阳)如图，在。中，点C是直径AB延长线上一点， 过点C作。的切线，切点为D,连结BD.(1)求证：/ A= / BDC;(2)若CM平分/ACD,且分别交 AD、BD于点 g N,当DM=1时，求 MN 的长.【解答】解：(1 )如图，连接OD,AB 为。的直径，/ADB=90°,即_/ A+ / ABD=90。，(又CD与。相切于点 D,CDB+/ ODB=90°,OD=OB / ABD=/ ODB,

11、. / A=/ BDC;1(2) V CM平分 / ACD,. / DCM=/ ACM,又/ A=/ BDC, . / A+/ ACM=/ BDC+Z DCM 即 / DMN" DNM : / ADB=90° ,DM=1,. DN=DM=1,. MN=/dm2+dMS.【例2】(2015?资阳)如图11,在ABC中，BC是以AB为直径的。O的切线，且。与AC相交于点D, E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2)连接 AE,若/ 0=45° ,求 sin Z CAE 的值.解答：解：(1)连接 OD BD, OD=OEI. . / ODBM OB

12、D才. AB是直径，./ ADB=90,，/CDB=90. E 为 BC的中点，. DE=BE EDB=EBDW 之二 B丁./ODB+ EDB=/ OBD+ EBD 即/ EDO= EBOBC 是以 AB 为直径的。O 的切线，AB± BC,，/ EBO=90,，/ ODE=90,二DE是。的切线;(2)作 EF，CD于 F,设 EF=x./C=45°, .CEF ABCS是等腰直角三角形，CF=EF=x.BE=CE=2X,AB=BC=2?x,在 R3ABE中，AE=,=x,sin / CAE变=遮. 他 10【例3】(2014?资阳)如图，AB是。O的直径，过点A作。O

13、的切线并在其上取一点C,连接OC交O O于点D, BD的延长线交AC于E,连接AD.(1)求证：4CDaACAD(2)若 AB=2 AC=2A2,求 AE的长.解答：(1)证明：V AB是。O的直径，/ ADB=90,. / B+/ BAD=90,. AC为。的切线，BA!AC,，/BAC=90,即/ BAD吆 DAE=90,. / B=/CADOB=ODB=/ ODB 而/ ODB= CDE = / B=/ CDE = / CAD= CDE而/ ECD= DCA CD曰 CAD(2)解：V AB=2OA=1在 RtAAOO, AC=2/2, .二 OC而西p=3,. CD=OC OD=3-

14、1=2,. CD%ACAD 迎,即2=1,CE=/2.CD CE 2【例4】(2013?资阳)在。O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 AC翻折交AB于点D,连结CD(1)如图1,若点D与圆心O重合，AC=2求。的半径r;(2)如图2,若点D与圆心O不重合，/ BAC=25,请直接写出/ DCA的度数.解答:(1)如图，过点 O作 OELAC于 E,则 AE=AC=X2=1,:翻折后点D与圆心O重合，OE=r, 在 RtAAOE ,AOuAS+OE,即 r2=12+(r) 2,解得旧型;3(2)连接 BC,AB是直径，./ACB=90,./ BAC=25,./ B=90°-/

15、 BAC=90-25°=65°,根据翻折的性质，惑所对的圆周角等于云所对的圆周角,，/ DCAh B- / A=65° 25 =40°.【课后练习】1、（2015达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD BC分别切。O于A、B两点，CD切。O于点E,连接ODOC下列结论：/ DOC90° ,ABBGCD SMOD : S 相OCAD2: AO2 , OD OCDEEC OD2 DE正确的有（A. 2 个 B解析：如图，连接OE,.AD与圆O相切，DC与圆相切，BC与圆O相切,，ZDAO= /DEO= /OBC=90,.DA=DE,CE=CB ,

16、AD /BC。. CD=DE+EC=AD+BC结论正确。CD ,O 5E在 RtADO 和 Rt 任DO中，OD=OD , DA=DE ,，RtADO 帘t在DO (HL)，ZAOD= /EOD。同理RtCEORtCBO,，ZEOC=/BOC。又/AOD+ZDOE+ /EOC+ /COB=180，2 (ZDOE+ /EOC) =180,即 QOC=90结论正确。d ZDOC= /DEO=90又/EDO= /ODC ,.EDO sgDCODDE,DC ODod2=dc?de 。结论正确。i1 _AB CD=CD OA结论错误。由OD不一定等于OC,结论错误。，正确的选项有。故选 Ao2、（201

17、5遂宁）如图，在半径为5cm的OO中，弦AB=6cm, OCL AB于点C,则O（=A. 3cm B . 4cm C . 5cmD . 6cm1 J【解析】连接 OA, AB=6cm, OCX AB 于点 C, . AC=?AB=2 x 6=3cm。0 的半径为 5cm , O 故选B.3、 （2015广元）如图，已知A. CE=DEB. AE=OE4、 （2015广元）如性点C是Ad的中点，弦 长线于点G连接AD 出卜列结论：/ BAC*UA - Al 4 b - J =4cm,O 0的直径ABLCD于点E.则下列结论一定错误的是 （C. ?C BdD. OCE ODEL在。0中，AB是直径

18、，点D是。O点,Ca AB于点E,过点D的切线交EC的延 分别交CR BC于点P、Q连接AC给片/ABCGP=GD点P是ACQt勺外 /心.其中止确结论是一（只需填写序号）.5、 （2015成都）如图，在 RtABC中，/ABC=90° , AC的垂直平分线分别与 交十点 D, E, F,且BF=BC.。是4BEF的外接圆，/ EBF的平分线交 EF 于点G,交十点 H,连接BD> FH. （ 1）求证： AB® EBF; （2）试判 断BD与。的位置关系，并说明理由；（3）若 AB=1,求 HG?HB 的值.6、 （2015遂宁）如图，AB为。O的直径，直线 CD切

19、。于点 D, AMLC讦点 M BN!CD N. （1）求证：/ADB/ABD （3）若 AM=18, sin/ABB3,求线段 BN的长.55解答：（1）证明：连接 OD ?.直线CD切。0于点D,AB为。0 的直径，./ ADB=90 ,. / 1+/ 2=/2+/ 3=90° ,EOAC, BC及AB的延长线相 ，三 求证：aD=am?abCDO=90 , ?./1=/ 3, ?,. OB=OD?，/3=/4,./(2 )证明：:AMLCD,.ADMb AABD ?AM AU.AIT圾?.-，AD2=AMAB(3)解：I. sinZ ABD=8，？，sin/ 1 = 5, ?

20、/AADC=ABD ?./AMD=ADB=90 ,/1=/4 ,qqj -J 即iM= 5 , ?.-. AD=6, ?. AB=10, ?，BD='搦 疝=8, ? BNXCD, ?，/BND=90； ?. . / DBN+/ BDN=Z 1+Z BDN=90 ,° ?. . / DBN=/ 1, ?. . sin/NBD上，？，D32N= , ?. BN=7、 （2015宜宾）如图，CE是。的直径，BD切。O于点D, DE/ BQ CE的延长线交 BD于点A （1）求证：直线 BC是。的切线；（2）若AE=2, tan / DEO” ,求AO的长.8、 （2015泸州）如

21、图，ABCft接于。Q AB=AC B时。O的弦，且AB/ CD过点 A作。O的切线AE与DC的延长线交于点 E, AD与BC交于点F. （1）求证：四边形ABCE1平行四边形；（2）若AE=6, C=5,求OF的长.解答：（1）证明：.AE与。相切于点 A, ?./ EAC=/ ABC ?. AB=AC /ABChACB ?，/EAC之ACB ?-AE/ BC, ?1. AB/ CD ?.四边形 ABCE平行四边形；CD与点N, M ?.AE是。的切线，？（2）解：如图，连接 AO交BC于点H,双向延长OF分另1J交AB由切害U线定理得， AE2=EC?DE?.AE=q CD=5, ?62=

22、CE （CE+5 ,解得：CE=4 （已舍去负数），？由圆的对称性，知四边形ABD%等腰梯形，且 AB=AC=BD=CE=4?又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC, MN直平分AB, DC ?11设 OF=x, OH=Y FH=z, ?AB=4, BC=6, CD=5 ?，BF=2bC FH=3 z,IDF=CF= BC+FH=3+z ?DF DM BF BN易得 OF中 DMIABFN, ?，。口H, °F OE,9、 （2015绵阳）如图，O是ABC勺内心，BO的延长线.和4ABC的外接圆相交于点 D,连接DC DA OA OC四边形OADg平行四边形.（1）求证： BO望

23、4CDA （2）若AB=2,求阴影部分的面积.【解析】（1）证明：. O是 ABC的内心，/ 2=73, /5=/6, /1 = /2, ，/1=/3,由 AD/ CO,AD=CO /4=/5, ，/4=/6, . BOC ACDA （AAS由（1）得，BC=ACZ 3=Z4=Z6, . . / ABC4 ACB，AB=AC.ABC是等边三角形，O是 ABC的内心也是外心，OA=OB=OC1 £设E为BD与AC的交点，BE垂直平分 AC.在RtOCE中，CE=2 AC=' AB=1,/ OCE=30q工QOA=OB=OC= . .-/ AOC=120q10、 （2015 广元

24、）如图，AB是。O的弦，D为半径OA的中点.过 D作CD± OA交弦AB于点E,交O O于点F,且CE=CB. （1）求证：BC是。的切线；（2）连接AF、BF,求/ABF的度数；（3）如果CD=15,BE=10, sinA= .求O O 的半径.13解：（1）证明：连接 OB-OB=OA, CE=CB ,. "= /OBA , ZCEB= ZABC又.CD，OA.ZA+ ZAED= ZA+ /CEB=90 °，OBA+ ZABC=90.OB，BC.BC是。O的切线.连接 OF,AF,BF,?DA=DO , CD LOA, ?二. RAF是等边三角形，？. zAQ

25、F=60.ABF= 2ZAQF=30工(3)过点 C 作 CGLBE于点 G,由 CE=CB, . .EG=BE=5EGX RtADEtCGE,，sin/ECG=sin ZA=亘 ?. CE=sinZECG =13. CG= VCE2- EG2=12 , ?又 CD=15 , CE=13 , ?. DE=2 , ?AD DEDE由 Rt"DEcRt3GE 得CG=GE, . AD= CEcG=J8.OQ的半径为2AD=11、（2015广安）如图，PB为。的切线，B为切点，过B作QP的垂线BA垂足为D. (1)C,交。于点A,连接PA AQ并延长AC交O。于点E,与PB的延长线交于点求

26、证：PA是。的切线；（2）若QC 2UC 2 ,且QB4,求PA的长和tanD的值.AC 3解：(1)证明：连接 QB ,贝U QA=QB , . QPXAB, ? . AC=BC , ? QP是AB的垂直平分线，？ PA=PB , ?在 APAQ 和 APBC 中，？PA = PBPQ = PQQA = QB ,. . PAQPBQ ( SSS ) ? / PBQ= / PAQ , PB=PA , ?2+QC2=213 , ?. AE=2QA=413 , QB=QA=213 , 在 RtAAPQ 中，？ ACXQP , ? AC2=QC?PC , ?解得：PC=9 , ?： QP=PC+QC

27、=13 , ?在 RtAPQ 中，由勾股定理得： AP=QP2-QA2=313 , ? ： PB=PA= 丁 PB 为。的切线，B 为切点，？ ： / PBQ=90：/PAQ=90°, ?即PA，QA, ?： PA 是。的切线；？(2)连接 BE, QCAC=23 ,且 QC=4 ,： AC=6 , ?：AB=12 , ?在 Rt A ACQ 中，？由勾股定理得： AQ=AC13 ,AC=BC , QA=QE , ?QC=12BE , QC/BE,： BE=2QC=8 , BE / QP , ? ： DBE DPQ , ? . . BDPD = BEQP , ?12、 （2015巴中

28、）如图，AB是。的直径，ODL弓衣BC于点F,交。O于点E,连结CE AE CD若/AE(=/ODC (1)求证：直线CD为。的切线;(2)若AB=5, BC=4,求线段CD的长.解：| (1)证明：连接OC/ CEA= CBA / AEC= ODC / CBA= ODC又/ CFD= BFO / DCB= BOF -. CO=BO，/ OCF= B, / B+/BOF=90 , / OCF+DCB=90 ,直线 CD为。0 的切线;(2)解：连接 AC, AB 是。的直径，/ACB=90,/ DCO=/ACB,又. /=/ B,AOCDAACB,CO CD 2,5 CD10 Z ACB=90

29、 ,° AB=5, BC=4,，AC=3,，*匚=既，即 3=4,解得；dC=3 .三、圆与函数图象的综合【例1】（2015?资阳）如图4,AD、BC是。的两条互相垂直的直径， 点P从点O出发，沿。一 C-D- O 的路线匀速运动， 设/APB=y （单位：度），那么y与点P运动的时间x （单位：秒）的关系图是 （ ） 解答：（1）当点P沿Of C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°,当点P在点C 的位置时，. OA=OC，y=45°, . y 由 90°逐渐减小到 45°（2）当点P沿C”D运动时，根据圆周角定理，可得y耳0°e

30、=45°（3）当点P沿D-O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°,当点P在点0的位置时，丫=90°,.丫由45°逐渐增加到90°.故选：B.【例2】（2013年四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O, A点坐标为（4,0）, B点坐标为（一 1,0）,以AB的中点P为圆心，AB为直径作。P交y轴的正半轴于点 C.（1）求经过A, B, C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC对应的函数解析式；试说明直线 MC与。P的位置关系，并证明你的结论.解：(1);A (4, 0) , B ( 1,

31、0),，AB=5,半径是 PC=PB=PA=- ?0 /.OP=£-1 = ? 221在acpo中，由勾股定理得：二二q / o.C (0,2)。设经过A、B、C三点抛物线解析式是y-a(x-4)(x+l)?I1113把 C (0,2)代入得：2 = aiQ_J)(O.l)?, /.a 彳？。.¥ 丁克-4»i 工 _li _ _?x-n2 ?经过A、B、C三点抛物线解析式是 尸-NxC?,一-1/3丫 ”一 3 25, . . ¥ 二-/"' 工一弓? ?, .M,j？。22212)88 J设直线MC寸应函数表达式是y=kx+b,32

32、5：33 25、，日 -k + b = =三把C(0, 2) , M2代入得：28 ?,解得 ? ?8 7i_b-2ib-2. 3直线MC寸应函数表达式是 v = -2?。(3) MC与。P的位置关系是相切。证明如下：设直线 MC交x轴于D,388S当 y=0 时，X2=0?, .?, OD=?。.(一§?, 0)。,一 a <sY 100 400在CO冲，由勾股定理得：ChC*卜可二方？，.CD?+pC2?=PD?2?。./PCD：90?0?, ip PC!DCPC为半径，. Mg O P的位置关系是相切。【课后作业】一、选择题(每小题3分，共24分)1.如图，已知A, B,

33、 C在。上，下列选项中与/ AOBt目等的是()4 /BA. 2 / CZB+ / CC. 4 / A2.如图，已知AB是 ABC外接圆的直径，/ A= 35° ,则/ B的度数是（）A. 35°B. 45 °C. 55°D.65°3.如图，AB是。的直径，弦 CDL AB,垂足为 M,下列结论不成立的是（）A. C阵 DMB . CB= DBC. / ACD= / ADCD . OMk MD4.如图，已知。的半径为13,弦AB长为24,则点。到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 3第1题图第2题图第3题图第4题图5 .已知。O的半径

34、为6,圆心到直线l的距离为8,则直线l与。O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定6 .圆锥底面圆的半径为 3cm,其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD . 12cm7.如图，RtAABO, / AC由90° , AO4, BO6,以斜边AB上的一点。为圆心所作 的半圆分别与AC BC相切于点D E,则AD的长为（）A. 2.5B.1.6C. 1.5D.18.如图，直线y x J3与x轴、y分别相交与 A B两点，圆心P的坐标为（1, 0）,圆P与y轴 3相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点

35、P'的个数是（）A. 2B. 3C. 4D.5第7题图第8题图二、填空题：（每小题3分，共24分）9 .如图，AB为。的直径，CD为OO的弦，/ACD 25°,则/ BAD的度数为.10 .如图，在 ABC中/A= 25° ,以点C为圆心，BC为半径的圆交 AB于点D,交AC于点E,则说的度数 为 .11 .如图，ABC的一边AB是。O的直径，请你添加一个条件，使BC是。O的切线，你所添加的条件为.第9题图 第10题图 第11题图12 .如果圆锥的底面周长是20兀，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120。，则圆锥的母线长是.13 .如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么

36、此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为.14 .如图，AB为。的直径，CDLAB,若AB= 10,CD=8,则圆心。到弦CD的距离为 .15 .如图，0 A OB、OC两两外切，它们的半径都是 a,顺次连接三个圆心得到 ABC,则图中阴影部分 的面积之和是.16 .如图，直线l与半径为4的。相切于点A, P是。上的一个动点（不与点 A重 合），过点P作PBL l ,垂足为B,连接PA 设PW x, PB= v,则（x y）的最大 值是.第14题图第15题图第16题图三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）：17 .（本题4分）如图，圆弧形桥拱的跨度 AB 12米，拱高CD 4米，试求拱桥的半径.18 .（本题4分）如图，已知 AB是。的直径，CD是弦，且