公差带分析基础上理论公差叠加分析

1、公差带分析基础上的理论公差叠加分析E.E.林和H.-C.张德克萨斯理工大学工业工程学系 拉伯克 德州 美国摘要 在本文中，在一维，二维，三维空间中，尺寸公差叠加和形位公差叠加都是从理论上进行分析的。在这项研究中的公差分析是建立在公差带分析的基础上。制造误差分为两种基本类型：定位误差和加工误差。本文对公差叠加的一般公式进行了探讨。最后对一个三维几何公差叠层的仿真例子予以说明。关键词：尺寸；公式化；几何；公差叠加；公差带1.介绍1.1本文研究目的本文的目的是如下：1.公差叠加分析常被用于一维方向上的尺寸公差，由此产生的最终公差始终是组件公差的总和1。相对于几何公差，尺寸公差的分析和控制都比较完善2

2、。而几何公差叠加通常被忽略或被组件公差叠加所取代。在本文中，尺寸公差和几何公差在一维，二维，三维空间中的情况都将被考虑。2.数值表示是尺寸和公差的特性3。HB Voelcker预测在未来十年中在几何形位公差领域的最重要进展之一将会是“一个或多个几何形位公差的公式化的方法将产生，一个生成的公式化将比目前的方法更普遍但应包含当前特殊情况下的尺寸链的描述。这种公式化方法应该是在工科院校中传授，因为它会基于对基本的数学原理的小部分的运用4。 本文对于生成的几何形位公差的公式化方法做出贡献。1.2公差叠加与误差叠加公差是允许尺寸的变动量，它是最大极限尺寸和最小极限尺寸之差5。误差（的变化）是一个特征（几

3、何元素，表面或线）偏离其基本尺寸或形状6，因此公差是用于（标定，表达）对处理加工中的误差进行控制。而叠加误差用于处理虚拟变量，在本文中，公差叠加的分析是基于误差的叠加分析，公差叠加和误差叠加的数学公式与公差变量和误差变量相吻合。1.3公差独立性原则在误差和公差分析中，同时考虑尺寸公差和形位公差是复杂的。国际标准委员会ISO / TC10/SC5“技术图纸，尺寸和公差” 和ISO/TC3“极限与配合” 在ISO8015表示，独立原则是基本公差原则。它的含义如下：“图样上给定的尺寸公差与形位公差相互独立，除非有特别关系被指定如最大实体要求，最小实体要求或包容要求。”本研究遵循公差独立原则。1.4公

4、差带蔡斯等人，考虑到在机械装配公差分析中的几何特征变化7，将公差带视为特征变化的限制。在这项研究中的公差分析建立在公差带分析的基础上，henzold讨论了各种公差带，这些公差带可归纳为典型的类型，如图 1所示。 图1.典型公差带.(a)一维，(b)二维，(c)三维公差带图2.公差带的投影关系公差带的大小通常是特征尺寸的10-3到10-5，在下面的数据中，为了说明，公差带被放大。t表示公差值。有三种典型的公差带： 1.一维公差带2.二维公差带3.三维公差带类型1，类型2和3的尺寸公差带参考几何公差带。在直角坐标系，三维公差带可以投射到二维公差带，二维公差带可以投射到到一维公差带，如图2所示。大多

5、数的公差带都是三维的，然而公差链和公差分析通常都是在二维或一维的环境中进行的。1.5制造误差的分类K. Whybrew 和 G. A. Britton为以下加工中的八个项目归纳出二十七个加工误差源4：机床、刀具、夹具、工件、冷却液、操作者、环境条件、过程变量上述误差源的各个方面在精密制造过程中都值得具体研究，这些误差可以分为两大类：一类是随机的、不可预测和无法控制的，另一类是固有的、随时间变化或者能被控制的。固有误差是代数相加，随机误差是算术相加，一个由此产生的误差可以由下列公式（1）计算： （1）其中：:合成误差i(i=1,2,3m): 固有误差分量的权重。i(i=1,2,3m): 固有误差

6、分量。i(i=1,2,3m): 随机误差分量的权重。i(i=1,2,3m): 随机误差分量。i的值取决于随机误差分量的分布状况和由此产生的误差的几何关系。还有许多工作需要建立公式的权重和误差分量。然而，在这项研究中探索具体的定位误差和加工误差来源是不必要的。在这项研究中，所有类型的误差源进行分类根据自己的定位功能和在线部分的加工功能的几何位置的影响。因此，有两种类型误差，是直接关系到零件精度：1.定位误差：实际基准特征对理想基准特征在位置上允许的变动量。定位和夹紧工件后已设置误差保持不变，除非工件从夹具中移除。因此，在每一个设置之内定位误差都是确定。2.加工误差：实际加工特征对理想加工特征在位

7、置上允许的变化量。加工误差是随机误差。定位误差和加工误差都是系统误差和随机误差的结果2.尺寸公差叠加如图1所示，尺寸的公差带是严格一维的，因此生成的的尺寸公差叠加是相对简单的。假设在一个空间中，由此产生的尺寸与元件尺寸的关系如下： （2）其中：d: 合成尺寸xi(i=1,2,3.l):组件在X坐标上的尺寸yi(i=1,2,3.l):组件在X坐标上的尺寸zi(i=1,2,3.l):组件在X坐标上的尺寸从理论上说，在最坏的情况下： （3）其中：d:合成尺寸的变化量xi，yj，zk：组件尺寸的变化量在数理统计的情况下： （4）在下面的文本，只有最坏的情况下被处理，统计情况和最坏情况可以用来得出在定性

8、分析中的类似结论。例如：在一个平面上的三个孔的三维关系如图3所示。为简化分析水平尺寸被省略。 图3.一个平面上的三个孔的尺寸关系加工步骤和加工要求：第一步，将平面A作为加工基准面钻孔1，孔1到平面A的垂直尺寸是a。第二步，将平面A和孔1作为基准钻孔2，孔2到平面A的垂直尺寸是b。孔1与孔2的连线与水平线之间的角度为。第三步，将平面A作为基准钻孔3，孔3到平面A的垂直尺寸是b'。由此产生的尺寸为尺寸C和C'。对于尺寸C'，它的尺寸链如图4所示：c'= b'-a （5）图4. C'的尺寸链在最坏的情况下： （6）C'的尺寸链是一维的，它也是尺

9、寸链通常的状况。在一维的状况下，可变的公差叠加量独立于组件的尺寸值。，对于尺寸C，有一个如图5所示的尺寸链。 （7）图5.C的尺寸链在最坏的情况下： （8） C的尺寸链是二维的，从公式(6)可以看出，二维公差叠加不仅独立于组件的尺寸公差而且还独立于组件的基本尺寸。尺寸公差叠加分析通常用公差图来表示。对于回转体零件来说，每个工件的单一图表都足以控制沿工件轴的公差，所以没有可能发生径向的公差叠加。对于棱柱形零件，为了控制公差叠加每个工件至少要给出两个尺寸和三个图表。这些图表在一般情况下是不独立的，因为一些表面的公差可能出现在多个图表中。图表通过共同的表面联系在一起8。3.形位公差叠加3.1一维形位

10、公差叠加分析一维形位公差叠加分析应用于组件公差类型相同与基本尺寸不影响公差叠加的情况。作为一个例子；图表6给出了一个有五个相同平行槽的零件.平面A、B、C、D、E分别被设置为加工平面B、C、D、E、F的基准平面，如图6所示。图6.一维形位公差叠加分析以下是用于公差叠加分析的表示法： 定位平面相对于理想垂直面的平行度，也称为定位误差 加工平面相对于理想垂直面的平行度，也称为加工误差 平面M与平面N的平行度在图6中平行度公差叠加可以简述如下： （9） （10） （11） （12） （13）显然，在一维情况下，由此产生的公差始终是等于组件公差的总和。编号几何公差的情况的种类是有限的。一维几何公差叠加

11、的一些典型案例的公差带分布图如图7所示。图6情况属于图7中的(a)情况。图7.一维公差叠加的公差带分布图在图6中的零件的加工方法是将平面A作为加工的基准面并且以同样的基准加工平面A、B、C、D、E、F。这中加工方法在数控机床中很常见。在这种情况下，调刀基准、设计基准和定位基准是同一平面-A,因此没有误差叠加。误差关系如下： （14）3.2二维几何公差叠加分析图8显示出了平面B的公差带的二维视图。图8.零件面B的二维公差叠带图9.平面B平移的影响从图8可以看到，公差带表示出了零件的两个可能的最大变动量：大小为的水平的平行移动和大小为的转角。假设平面B被作为加工基准面来加工平面D和平面C并且平面B

12、的误差带等于它的公差带。平面D的误差通常认为与平面B的平移变化量相等（如图9所示）： （15）平面B的平移对平面C的误差没有影响，平面B的误差对平面C的影响通过转角来体现，如图10所示。图10.面B转动的影响从图10可知： （16） （17） 然而，有两个问题：1.在这里是否是最大的旋转角度？2.如果L3L3'公式14是否仍然正确？对于第一个问题答案是否定的。一个实际的特征可能大于或者小于转角此外，在实际的定位和夹紧过程中，其他定位平面和夹紧面都可能影响旋转角度。然于，对于理论分析，可以充分表示旋转角度的平均值。 对于第二个问题，如果L3L3'，公式14应该改为： （18）也就

13、是说，它也受到旋转角度的影响。由于受到除主基准平面9以外的其他定位平面和夹紧面的限制9，对于在同一坐标系方向上的两平面来说，平移是起主导作用的而不是旋转。因此，当L3L3'，公式（14）仍是大致正确的。3.3三维几何公差叠加分析对于三维几何公差分析，刚体的运动学分析是很有帮助的。刚体的基本变换包括平移和旋转。在数学上，这种变换用矩阵的形式表示。在三维直角坐标系中T.的任何点P被它的其次坐标x, y, z, 1定义。将这个点转变成在直角坐标系10中坐标为x, y, z, 1的新点p'， P'=P T （19） 其中T是4× 4矩阵通过在XYZ轴上的点a, b,

14、c来转变点，用Tt来表示表示转换矩阵。 （20）在其次坐标系中，以绕X轴的旋转的角度、绕Y轴的旋转的角度、绕Z轴的旋转的角度形成的4×4变换矩阵（名为“旋转矩阵）可分别记为TX、TY、TZ，如下所示： （21）在设置计划阶段我们通常选择水平面或圆柱面（无论是凸圆柱面或凹圆柱面）设为定位平面。水平面的公差带通常如图1中的（C1）或（C2）。圆柱面的公差带通常如图1中（C3）或（C4）。图1（C1）的变换矩阵是： （22）图1（C2）的变换矩阵是： （23） 图1（C3）和（C4）的变换矩阵是： （24）在三维公差分析中，公差带的空间位置关系确定要使用的矩阵。由式（20）和（21）和图2

15、所示的公差带图的投影关系可知，三维公差叠加可以分解为一系列的基于坐标关系的二维公差叠加分析。4.范例 在图11所示的零件中，假设所以面的加工优先顺序为：D B C E F A图11.零件的三维公差叠加分析平面B，C，E，F和A的基准平面分别为D，B，C，E和F。图11中每一步假设的加工公差都被指定，记为：tMN：将平面N作为加工基准的平面M的公差在图11中指定的所有公差都为组件公差，假设给定的值（单位：mm）为：t_DD t_BD t_CB t_EC t_FE t_AF L1 L2 L30.01 0.01 0.02 0.03 0.03 0.02 500 300 400图12给出了零件的几何公差

16、链。假设用点画线所表示的结果公差将要测量。组件的公差用带箭头的直线来表示。图12.零件的公差图本文中的公差叠加的公式被编程，这个例子的运行结果是：输出：t_DD t_BD t_CB t_EC t_FE t_AF L1 L2 L30.01 0.01 0.03 0.03 0.02 500 300 400单位：mm输出：导出公差 统计情况 最坏情况 t_CD 0.0450 0.0320 t_ED 0.0900 0.0522 t_FD 0.1200 0.0602 t_AD 0.1100 0.0634单位：mm由此可以看出t_CD < t_ED < t_FD < t_AD组件公差呈现出

17、递增的趋势。然而，从最坏情况下的输出可以看到，有一个例外，即t_FD > t_AD。这一唯一的例外是因为几何公差叠加受到相关特征的基本尺寸的影响（如3.2节总所讨论的），因此由此产生的公差不是组件公差的直接相加。5结论与讨论本文对一维、二维、三维中的尺寸公差和形位公差都进行了理论上的分析。在这项研究中的公差分析是建立在公差带分析的基础上的。符合公差独立性原则，对尺寸公差和形位公差分别进行了讨论。制造误差分为两种基本类型：定位误差和加工误差。标注公差的特征的基本尺寸视为与一维公差叠加无关。本文表面在二维和三维中的公差叠加不仅独立于组件的公差而且独立于组件特征的基本尺寸。在本文的公差叠加分析

18、中只考虑到一个主基准平面。在实际的定位和夹紧中，事实上也应考虑辅助基准面和第三基准面，这种情况将更加复杂，需要进一步的研究。然而，主要基准面仍然起着主导作用，本文的分析方法可作为在以后的研究中设置规划和夹具规划的一般公差分析的基础。参考文献1. O. R. Wade, “Tolerance control”, Tool and Manufacturing Engin- eers Handbook: A Reference Book for Manufacturing Engineers, Managers, and Technicians, 4th edn, vol. 1, Machining

19、, Dearborn, Michigan, Society of Manufacturing Engineers, 1983.2. Øyvind Bjørke, Computer-Aided Tolerancing, 2nd edn, ASME Press, New York, 1989.3. ASME, Mathematical Denition of Dimensioning and Tolerancing Principles, ANSI Y14.5.1 M-94, American Society of Mechanical Engineers, 1994.4. H.-C. Zhang, Advanced Tolerancing Techniques, Wiley series in engineering design and automation, Wiley, New York, 1997.5. ASME Y14.5M, Dimensioning and Tolerancing (Revision of ANSI Y14.5M-1982 (R1988), American Society of Mechanical Engin- eers, 1994.6. G. Henzold, Handbook of Geometrical To