华数思维导引六年级第四讲不定方程与整数分拆

1、4第.怂给。第8讲不定方程与整数分拆【内容概述】求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方式，与此相关或涉及整数分拆的数论问题.补充说明：关于不定方程的解法，本讲要紧利用同余的性质来求解，关于同余性质读者可参考思维导引详解五年级第15讲余数问题.解不定方程的4个步骤：判定是不是有解：化简方程：求特解：求通解.本讲讲解顺序：=包括一、二、3题二=二包括4、5题二=包括六、7题，其中步骤中加入百鸡问题.复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程.整数分拆问题：1一、1二、13、14、15.1 .在两位数中，能被其列位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解

2、】设那个两位数为元，那么数字和为那个数能够表达为Oa+bt有(10+Z?)+(a+/?)=4即10。+。+砧，亦即注意到4和都是0到9的整数，且。不能为0,因此。只能为一、二、3或4,相应地b的取值为二、4、六、8.综上分析，知足题目条件的两位数共有4个，它们是1二、24、36和48.(g)四级数：*1993年全国小学数学奥林匹克初赛民族卷第2题2 .设A和B都是自然数，而且知足2+0=匚，那么A+B等于多少？11333【分析与解】将等式两边通分，有3A+11B=17,显然有B=l,A=2时满足，现在A+B=2+l=3.励®级数：*北京市第三届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第6覆3.甲

3、级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共多少支？【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔)，支.有7x+3y=50,那个不定方程的解法有多种，在那个地址咱们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方式：将系数与常数对3取模(系数7,3中，3最小)：得x=2(mod3),因此x能够取2,现在y取12：x还能够取2+3=5,现在y取5：x=2x=5即、，对应x+y为14、10y=2y=5所以张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共14支或10支.跳励级数/*警-14.有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有假设干张.问这些纸币的总面值是不是能够恰好是100元？

4、【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币别离有a张、b张、C张和d张，列方程如下：a+b+c+d=60(1)*1a+10+1OOc+1000"=10000(2)(2)(1)得9+99c+99%/=9940注意到式左侧是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元.级数：*第笛置"度金杯”少年数学邀请赛,决赛口试第885 .将一根长为374厘米的合金铝管截成假设干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计.问：剩余部份的管子最少是多少厘米？【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，因此截成假设干根这两种型号的短管，截去的总长

5、度必是12的倍数，但374被12除余2,因此截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.另一方而，374=27X12+4X12+2,而36+12=3,244-12=2,有3X9+2X2=31.即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米.因此剩余部份的管子最少是2厘米.领级数：*6 .某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，而且有寺的职工各带一个小孩参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每一个小孩种6棵树，他们一共种了216棵树.那么其中有多少名男职工？【分析与解】设男职工X人，小孩y人，那么女职工3y-x人（注意，为何设孩子数为），人，而不是设女职工为y人）

6、，那么有13x+10（3y-x）+6y=216,化简为3+36y=216,即x+12y=72.x=12x=24x=36x=48x=60<<<<y=5y=4y=3y=2y=1x=12可是，女职工人数为3vx必需是自然数，因此只有时，3vx=3知足.“5那么男职工数只能为12名奥级数.北京市第十四届“迎春杯”数学竞赛决赛第二题第3题7. 一居民要装修衡宇，买来长0.7米和0.8米的两种木条各假设干根.若是从这些木条中掏出一些接起来，能够取得许多种长度的木条，例如：+=1.4米，+=1.5米.那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪一种是不可能通

7、过这些木条的适当拼接而实现的？【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条别离x,y根，那么X+），=即7x+8y=34,36,37,38,39将系数，常数对7取模，有），三6,1,2,3,4（mod7）,于是y最小别离取6,1,2,3,4.可是当y取6时，8X6=48超过34,x无法取值.因此3.4米是不可能通过这些木条的适当拼接而实现的.级数：*1990年全国小学数学奥林匹克决赛第4题8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分.那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封？【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽可能寄最贵的挂号信，然后

8、是航空信，最后才是平信.可是挂号信、航空信的邮费都是整数角可不能产生几分.因此，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3,才是8的倍数，因此平信至少要寄4封，现在剩下的邮费为122-32:90,因此再寄4封挂号信，航空信1封即可.于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封.级数:*辆”第二届“华罗庚金杯”少年邀请赛.复赛第8题9.有三堆硅码，第一堆中每一个祛码重3克，第二堆中每一个硅码重5克，第三堆中每一个祛码重7克.此刻要掏出最少个数的硅码，使它们的总重量为130克.那么共需要多少个硅码?其中3克、5克和7克的硅码各有几个？【分析与解】为了使选取的硅码最少，应尽可能的取7克的硅码.

9、1307：184,因此3克、5克的祛码应组合为4克，或4+7攵克重.设3克的硅码x个，5克的硅码)，个，那么3x+5)，=4+7Z.当k=0时，有3x+5)，=4,无自然数解：当左二1时，有3x+5y=ll,有X;2,y=1,现在7克的硅码取17个，因此共需2+1+17=21个硅码，有3克、5克和7克的硅码各二、一、17个.当%>1时，7克的硅码取得较少，而3、5克的硅码却取得较多，不是最少的取硅码情形.因此共需2+1+17=20个硅码，有3克、5克和7克的硅码各二、一、17个.皴四级数：*10.5种商品的价钱如表81,其中的单位是元.现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选

10、购方式？表8-1品种ABCDE单价2.94.77.210.614.9【分析与解】设B、C、D、E、R商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，那么有2.9(10-b-c-d-e)+4.7+7.2c+10.6d+14.9e=60.18/2+43c+77d+12O=310,显然e只能取0,1,2.I：僧有l%+43c+774=310,其中d可取0,1,2,3,4.(1)当d=0时，有1助+4女=310,将系数，常数对6取模得：c=4(mod6),于是c最小取4,那么有18b=310-43X4=138,b不为自然数.因此d=0时。不知足；柿叵画有1助+43c=233,将系数，常数对6取

11、模得：c=5(mod6),于是但最小回g那么有18b=233-43乂5=18/三H：型;2时有1勖+4女=156,将系数，常数对6取模得：c三0(mod6),于是c最小取0,那么有18b=156,b不为自然数，因此d=2时，不知足：国，=3后行1勖+4女=79,将系数、常数对6取模得：c=1(mod6).于是昌最小,里1那么有18b=7943=36.,"=2|,满闺；(5)当d=4时,有18+4女=2,显然不知足.H：当e=l仃1助+4女+774=190,其中d能够取0、一、2.(1)国粗辿住t；行1勖+4女二190,将系数、常数对6取模有：c=4(mod6),于是出最小，取胃那么有

12、18b=190-43X4=1&殳氢,，请足当d=l时，有1勖+4女=113,将系数、常数对6取模有：c三5(mod6),于是c最小取5,即18+215=113,显然d=l时，不知足:因歪逅,有18+4女=36,显然有历三24。时满足|有18+4女+774=70,4只能取0,有18+4女=70,将系数、常数对6取模有：c=4(rood6),于是c最小取4,那么有18b+172=70,显然不知足最后可取得如下表的知足情形：£的件数。的件数8的件数C的件数4(=10-E-3-C)的件数第一种情况01153第二种情况03214第三种情况10144第四种情况12205共有4种不同的选购

13、方式.。镇级数：*I第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第14题11 .有43位同窗，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同.每一个同学都把身上带的全数钱各自买了画片.画片只有两种：3分一张和5分一张.每11人都尽可能多买5分一张的画片.问他们所买的3分画片的总数是多少张？【分析与解】钱数除以5余0,1,2,3,4的人，别离买0,2,4,1,3张3分的画片.因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每持续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10X9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4

14、=84张.B级数唬*.插妻“第六届“华罗庚金杯”少年数学遨请塞.初赛第二题第8题12 .哥德巴赫猜想是说：“每一个大于2的偶数都能够表示成两个质数之和.”试将168表示成两个两位质数的和，而且其中的一个数的个位数字是1.【分析与解】个位数字是1的两位质数有11,31,41,61,71.其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数，只有168-71:97是两位数，而且是质数，因此168=71+97是惟一解.侬的级数：*1|鳗咛全国小学数学奥林匹克初赛B卷第2题13.(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最

15、大质数是多少？(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么那个最大的质数是多少？【分析与解】(1)第一确信这10个质数或其中的几个质数能够相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,显然大于50.因此，其中必然能够有某几个质数相等.欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2,且最多可有9个2,那么最大质数不超过50-2X9=32,而不超过32的最大质数为31.又有50=2+2+2+-,+2+3+31,因此知足条件的最大质数为31.JJ8个2(2)最大的质数必大于5,不然10个质数的之和将不大于50.因此

16、最大的质数最小为7,为使和为60,因此尽可能的含有多个7.604-7=84,60=7+7+7+.+7+4,而4=2+2,恰好有60=7+7+7+7+2+2.即8个7与2JJ.8个78个7个2的和为60,显然其中最大的质数最小为7.1993年全国小学数学奥林匹克决赛一试第5题14.有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能组成的1分到1元之间的币值有多少种？【分析与解】注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除50分和100额外，其他98种币值就能够够两两配对了，即(1,99)：(2,98)：(3,97)：(4,96)：；(49,51)：每一对币值中有一个可用假设干个贰分和

17、伍分硬币组成，那么另一个也必然可以，显然50分和100分的币值是能够组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情形.1分和3分的币值显然不能组成.2分，4分，6分，46分，48分等2；4种偶数币值的都能够用假设干个贰分硬币组成.5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须别离在4分，6分,8分，46分、48分的组成方式上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币组成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分.综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币组成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分

18、，97分，99分.螺®级数：*1995年全国小学数学奥林匹克决赛B卷第H题15.小明买红、蓝两支笔，共用了17元.两种笔的单价都是整数元，而且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也许诺只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完.那么红笔的单价是多少元？【分析与解】如下表表1表2单位:元单位:元单位:元红蓝16115214313412511610798红蓝16J31J 二X116107X98先列举出所有可能的单价如表1.再依次考虑：第一，不能显现35的约数.不然只买这种笔就能够够恰好用完35元，因此含有7,5,1的组合不可能.然后,也不能显现3517=18的约数.不然先各买一支需17元，那么再买这种笔就能够够花去18元，一共花35元.因此含有9,6,3,2的组合也不可能.因此，只有13+4的组合可能，经查验13x+4y=35那个不定方程确实无