不定积分求解方法论文

1、重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：归结不定积分的求解方法专 业：数学与应用数学年 级：2010级学 号：201006034208作 者：林相群指导老师：吴艳秋（讲师）完成时间：2014年5月目 录摘要IAbstractII1 引言12 不定积分的求解方法12.1 基本公式法12.2 分项积分法、因式分解法22.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）32.4第二类换元积分法42.5分部积分法42.6有理函数的积分53 各种方法所对应的题型53.1 基本公式法53.2 分项积分法、因式分解法63.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）73.4第二类换元积分法83.5分部积分法83.6有理函数的积分94

2、 解决不定积分的一般步骤10致 谢11参考文献11归结不定积分的求解方法林相群（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 重庆万州 404000）摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：基本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑”微分法（第一类换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法”求解。但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。“分项积分法+因式分解法”通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易

3、积分的形式。当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。“第一类换元积分法”通过为复合函数的中间变量“凑微分”达到解题目的。“第二类换元积分法”多用于当第一类无法实行时，但“第二类换元积分法”的换元形式比较不容易看出来，真正做到灵活运用需要累积许多经验。当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，我们多考虑用“分部积分法”。“分部积分法”有着明显特征，并十分容易上手，是一种很好的解题方法。而“有理函数的积分法”与“第二类换元积分法”一样，没有特别固定的套路，多凭借经验和灵活运用。所以一般拿到题目可先考虑用别的方法。在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题

4、类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试。若用某种方法解题时，无论怎么解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误，或者是否选错了方法。总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！ 关键词：不定积分；基本公式法；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分法The method of calculating the indefinite integralLIN Xiang-qun (Grade 2007, Mathematics and Applied Mathem

5、atics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: The method of indefinite integral in the undergraduate stage can be classified into six categories: basic formula method, component integration method & factorization metho

6、d, "collect" differential method (the first kind of change of variable in an indefinite integral), the second kind of change of variable in an indefinite integral, integration by parts method, primitives of rational functions method. When we see for indefinite integral has corresponding fo

7、rmula in the table, we use "formula method". But the actual problem is more complicated, so we all shall transfer the indefinite integral through other methods to make it meet the formula in the end. "component integration method & factorization method" using for the polynomi

8、al into monomial then find indefinite integral respectively, and combined with trigonometric identity, we can handle high time trigonometric function to drop power, thus easy to integrate. When the integrand is composite function, we consider changing the variable. "The first kind of change the

9、 variable" working by the given the middle variable of the composite function to solving the problem. "The second kind of change of variable in an indefinite integral" is working when the first kind of failing to solve the problem. But "the second" is less likely to see imme

10、diately because that question is truly flexible and need to accumulate many experiences. When the integrand is mixing by power function, trigonometric function, exponential function and logarithmic function of any two, we consider using the "integration by parts method "."Integration

11、by parts method” has obvious characteristic and is very easy to use, is a kind of good method to solve problems. And "primitives of rational functions method" is similar to "the second kind of change of variable in an indefinite integral" method: there is no special characteristi

12、c, all we need is more experiences and flexible insights. So we can consider to use other methods first when we get the problem, then analysis the kind of the six types to find which type is not helpful and which is until leaves one or two possible methods for further trying. If no matter how to sol

13、ve the question all was fail, we can check if the first operation is error or if we choose the wrong way. All in all, indefinite integral question although have many type, the problem solving method is not far away from these method above. As long as to master the six kinds, any indefinite integral

14、is no longer a problem!Keywords: Indefinite Integral; Basic Formula Method; Change the Variable; Integration by Parts; Primitives of Rational FunctionsIII2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 引言 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作 (1.1)其中称为积分号，为被积表达式，为积分变量。若是的某一个原函数，则不定积分可记为 (1.2)其中为任意常数。 定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理

15、论还未形成。直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题的解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基

16、础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的。现下学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路，最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不总结，那么就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对数学的学习热情。本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。2 不定积分的求解方法 常见的不定积分求解方法有基本公式法、分项积分法、因式分解法、“凑”微分法（第一类

17、换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法等。2.1 基本公式法我们将一些常见函数的积分归纳成一个积分公式表，如下：1) （是常数），（），；2) ， ，；3) （），（），。2.2 分项积分法、因式分解法分项积分法和因式分解法是基于不定积分两大性质而得。根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：性质1设函数及的原函数存在，则 (2.2.1)性质2设函数的原函数存在，为非零常数，则 (2.2.2)利用不定积分的这两个性质，可以将复杂积分分解为几项，通过求出每一项的不定积分达到解题的效果。如：2.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）如果函数可以化为的形式，那么有 (2.3.

18、1)其中是的原函数。这种第一类换元积分法即通过变量代换，将积分化为积分进行计算。若复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如的被积函数中，“”是一个复合函数，“”恰好是中间变量“”的微分，那么就有 若复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，但可以添加，我们就可以通过“凑”微分的方式进行换元积分。如中间变量的微分为，但并没有作为因式存在于被积函数中，这时我们可以乘进一个，再通过乘以一个的方法求解：第一类换元积分法又叫做“凑”微分法的原因为是，我们总是在解题过程中，为被积复合函数的中间变量凑一个微分，从而达到换元解题的目的。2.4第二类换元积分法将积分中的适当地选择变量代换为，则有 (2

19、.4.1)其中师的原函数。这公式的成立是需要一定条件的。首先，有原函数；其次，求出后必须用的反函数代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函效在的某一个区间（这区间和所考虑的的积分区间相对应）上是单调的、可导的，并且。第二类换元积分法与第一类不同的是，我们换的元通常没有那么明显的逻辑性，换元的选择需要凭借个人的经验。例2.4：求解：令，则2.5分部积分法分部积分法是一种经常用到的积分法。设函数及具有连续导数，那么 (2.5.1)例2.5：求。解：（将看作，看作）2.6有理函数的积分利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，例如对子真分式，如果分母可

20、分解为两个多顶式的乘积且与没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和如果多项式还可再分拆成更简单的部分分式，就按上述方法继续分。最后，有理函数的分解式中只出现多项式、等三类函数（这里，为小于次的多项式，为小于次的多项式），根据(2.2.1)和(2.2.2)，多项式的积分可容易求得。3 各种方法所对应的题型3.1 基本公式法当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条（如可以化成用公式（）求解，可以用公式求解），此时我们便用公式法求解。在实际问题中，一般并不如此简单，都需将原题通过其他方法进行变换，从而满足公式表再计算。例3.1：求。解：3.2 分项积分法、因式分解法这一方法通过把多项式分解成

21、单项式求积分，如将分解成为。不过这一方法的更高价值在于对带有三角函数的积分求解，借助三角恒等式，可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。所以我们在碰到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，就要考虑用这种方法。例3.2.1：求。解：例3.2.2：求。解：先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分： 一般的，对于（、）型函数，总可利用三角恒等式：，化成cos2x的多项式，进而得出积分结果。3.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑微分”达到解题目的。一般我们都是根据构成被积函数的复合函数中的中间变量，“凑”

22、一个微分，从而达到解题的目的。下面介绍几种常见的“凑”微分题型：1) ，；2) ，。上述几个题型只是将比较常见的“凑”微分题型进行展现，不难看出这些题型都是中间变量的微分已经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进行一定变形才能发现，如对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式。再除以因式的方法“凑”出微分，如2.3中的。3.4第二类换元积分法在我们碰到被积函数是复合函数时，有很大一部分的中间变量的微分是无法用用第一类换元积分法“凑”出来的，这时我们就要用第二类换元积分法。第二类换元积分法的换元形式十分多变，真正做到灵活运用需要累积许多经验。当我们碰到下面这些情况时，要先想到用

23、第二类换元积分法：1) 当被积函数中含有时，令；当被积函数中含有时，令；当被积函数中含有时，令。（注意：当进行完三角函数换元后，通常要画一个如例2.4般的三角形，方便将“元”换回来）2) 当被积函数中含有无理函数时，转换为有理函数，如令。第二类换元积分法相较于第一类换元积分法用到较少，只要找准代换关系，题目便会迎刃而解。例3.4.1：求。解：被积函数中出现了两个根式及。为了能同时消去这两个根式，可以令。于是，从而所求积分为3.5分部积分法当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用分部积分法。选择、时要注意，要使相对于较为好求。下面对常见的、选择进行呈现：、

24、、 、上述关系可以理解为，在选择时的考虑顺序为：对>反三>幂>三>指。例3.5.1：求。解：设，那么3.6有理函数的积分有理函数的积分与第二类换元积分法一样，没有固定的套路，多凭借经验和灵活运用。一般来说，这种方法较前5种用到的比较少，所以拿到题目可先考虑用别的方法。虽然如此，但是还是有些特别类型的题目需要用到这种方法，当遇到类似下面的题目时，即用有理函数的积分方法。例3.6.1：求。解：被积函数的分母分解成，故可设其中、为待定系数。上式两端去分母后，得即 比较上式两端同次幂的系数，即有从而解得 于是 例3.6.2：求。解：被积函数分母的两个因式与有公因式，故需再分解成。设则 即 有 解得于是4 解决不定积分的一般步骤在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试。若用某种方法解题时，无论怎么解都解不出答案，那么可先检查自己有