离散型随机变量的均值

1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变离散型随机变量的均值量的均值1 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 XP1xix2x1p2pip2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1引入引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体

2、水平，很重要的是看平均次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差. .问题：问题：某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数；则所得的平均环数是多少？是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数

3、看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均按按3：2：1的比例混合的比例混合 18元/kg 混合糖果中每一粒糖果的质量都混合糖果中每一粒糖果的质量都相等相等24元/kg 36元/kg 定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理按按3：2：1的比例混合的比例混合 18元/kg 24元/kg 36元/kg mm千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为1818 + 24 + 24 + 36 + 3636m26m16m平均价格为平均价格为321182436666321182436666mmmm元3k

4、g按按3：2：1的比例混合的比例混合 18元/kg 24元/kg 36元/kg 把把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：X182436P63626132118243623(/)666Xkg元元18(18)24(24)36(36)23(/) XP XP XP Xkg元元离散型随机变量取值的平均值离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的平均水平。散型随机

5、变量取值的平均水平。P1xix2x1p2pipnxnpX随机变量随机变量X的均的均值与值与X可能取值可能取值的算术平均数相的算术平均数相同吗同吗X的分布列32118243623666EX 182436263可能取值的算术平均数为可能取值的算术平均数为XX182436P612636随机变量随机变量x的均值与的均值与x可能取值的算术平可能取值的算术平均数均数何时相等何时相等 举例举例 随机随机抛掷一个骰子抛掷一个骰子，求所得骰子的，求所得骰子的点数点数X的均值。的均值。 x123456P6 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 1111712.66662EX 12676

6、2.X可能取值的算术平均数为随机变量的均值与样本的随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联系平均值有何区别和联系随机变量的均值是常数，而样本的平均值随随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量；随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的平此，我们常用样本的平均值来估计总体的平 均值。均值。设设YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是也是随机变

7、量随机变量（1） Y的分布列是什么？的分布列是什么？（2） EY=？思考：思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpXP1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa baEX 一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质二、数学期望的性质baEXbaXE )(1 1、随机变量、随机变量

8、的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E= . 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.1例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少？的均值是多少？X=1或或X=0P(X=1)=0.7X X1 10 0P P0.0.7 70.0.3 31 0.70 0.30.7EX 一般地，如果随机变一

9、般地，如果随机变量量X服从两点分布，服从两点分布，那么那么EX=？10 (1)EXppp 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX )1(01小结：小结：例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 0

10、7 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2 EX7 . 03 如果如果XB（n，p），那么），那么EX=？1110nkknknknpCp qnp 111 (1)101nnkkn kkknknnkkEXkC p qnpCpq 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则小结：小结：npEX 证明：证明：n)n), ,0,1,2,0,1,2,(k (kq qp pC Ck) k)P(P( k kn nk kk kn n 0 0n nn nn nk

11、 kn nk kk kn n1 1n n1 11 1n nn n0 00 0n nq qp pnCnCq qp pkCkCq qp pC C1 1q qp pC C0 0E E ) )q qp pC Cq qp pC Cq qp pC Cq qp pnp(Cnp(C0 01 1n n1 1n n1 1n n1) 1)(k (k1) 1)(n(n1 1k k1 1k k1 1n n2 2n n1 11 11 1n n1 1n n0 00 01 1n n 所以所以若若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 证明：若证明：若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 1().nnp pqnp例例

12、3.一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，个选择题构成，每个选择题有每个选择题有4个选项，其中有且只有一个个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，分，不作出选择或选错不得分，满分不作出选择或选错不得分，满分100分，学分，学生甲选对任一题的概率为生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在，学生乙则在测验中对每题都从测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩成绩的期望。的期望。1 (20,0.9)XB2 (20,0.25)XB甲选

13、对题数为甲选对题数为 1X乙选对题数为乙选对题数为 2X归纳求离散型随机变量均值的步骤：归纳求离散型随机变量均值的步骤： 、确定离散型随机变量可能的取值。、确定离散型随机变量可能的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值。、求出均值。学生甲在这次单元测验中学生甲在这次单元测验中的成绩一定会是的成绩一定会是90分吗？分吗？他的成绩的均值是他的成绩的均值是90分的分的含义是什么含义是什么例例4. 决策问题决策问题： 决策的准则决策的准则 由于结果的不确定性，原则之一就是：比较由于结果的不确定性，原则之一就是：比较各种决策的各种决策的“平均平均”好

14、处，哪种决策的平均好处好处，哪种决策的平均好处大，就选哪一种。即哪个决策的期望值大，就选大，就选哪一种。即哪个决策的期望值大，就选择哪一种。择哪一种。 例：在一个潮湿的双休日早晨，你想步行会一个例：在一个潮湿的双休日早晨，你想步行会一个朋友。由于担心可能会下雨，准备带上雨伞。可朋友。由于担心可能会下雨，准备带上雨伞。可能采取的行动有两种：带上雨伞或把雨伞留在家能采取的行动有两种：带上雨伞或把雨伞留在家里，决策模型中称之为里，决策模型中称之为“策略或方案策略或方案”。 碰到的天气情况也有两个：下雨和不下雨，碰到的天气情况也有两个：下雨和不下雨，决策模型中称之为决策模型中称之为“状态或事件状态或事

15、件”。面对以上两个。面对以上两个策略和两种状态，有且仅有四种结果：策略和两种状态，有且仅有四种结果： 带了雨伞，下雨了；带了雨伞，下雨了； 带了雨伞，没下雨；带了雨伞，没下雨； 把雨伞留下，下雨了。把雨伞留下，下雨了。 把雨伞留下，没下雨。把雨伞留下，没下雨。 类似这样的决策问题，我们称之为类似这样的决策问题，我们称之为“风风险型险型”决策问题决策问题。 特点是，决策中可能碰到的各种自然状特点是，决策中可能碰到的各种自然状态（为决策者所不可控因素），其发生的态（为决策者所不可控因素），其发生的概概率率是是已知已知的，或者是的，或者是可以估算可以估算出来。决策的出来。决策的准则就是准则就是“期望

16、值期望值”原则原则，对收益来说，期，对收益来说，期望值越大越好，对损失来说，期望值越小越望值越大越好，对损失来说，期望值越小越好。当然这类决策问题是存在一定的风险的。好。当然这类决策问题是存在一定的风险的。 6 (07.20)13 62862.(E;P(E) 例例 ： 安安徽徽（本本小小题题分分）在在医医学学生生物物学学试试验验中中，经经常常以以果果蝇蝇作作为为试试验验对对象象，一一个个关关有有 只只果果蝇蝇的的笼笼子子里里，不不慎慎混混入入了了 只只苍苍蝇蝇（此此时时笼笼内内有有 只只蝇蝇子子：只只果果蝇蝇和和 只只苍苍蝇蝇），只只好好把把笼笼子子打打开开一一个个小小孔孔，让让蝇蝇子子一一只

17、只一一只只地地往往外外飞飞，直直到到两两只只苍苍蝇蝇都都飞飞出出，再再关关闭闭小小孔孔 以以 表表示示笼笼内内还还剩剩下下的的果果蝇蝇的的只只数数 写写出出 的的分分布布列列； 不不要要求求写写计计算算过过程程）求求数数学学期期望望求求概概率率析析:审清题意是解决该题的关键审清题意是解决该题的关键. 1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把易联想到把8只蝇子看作只蝇子看作8个元素有序排列个元素有序排列. ，由于，由于=0“表示表示 ”，最后一只必为，最后一只必为果蝇，所以有果蝇，所以有=1“表示表示 ” P （=0 ）= ，同理有，同理有P （=1 ）= =2“表示

18、表示 ”有有P （=2）= =3“表示表示 ”有有P （=3）=4“表示表示 ”有有P （=4）=5“表示表示 ”有有P （=5）=6“表示表示 ”有有P （=6）=172788728A AA 11626688628A A AA 21562588528A A AA31462488428A A AA0123456 p 的的分分布布列列7654321012345628282828282828 2E 728628528428328228128()(2) (2)(3)(4)(5)(6)15 28pEpppppp 例例7、（、（07，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司交纳保险，单位年初向保险公司交纳900元的保险金，对元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/1