学案7指数与指数函数

1、学案7指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型自主梳理1指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若xna，则x叫做_，其中n>1且nN*.式子叫做_，这里n叫做_，a叫做_(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数

2、的正的n次方根用符号_表示，负的n次方根用符号_表示正负两个n次方根可以合写成_(a>0)()n_.当n为偶数时，|a|当n为奇数时，_.负数没有偶次方根零的任何次方根都是零2有理指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是_(a>0，m，nN*，n>1)正数的负分数指数幂是_(a>0，m，nN*，n>1)0的正分数指数幂是_，0的负分数指数幂无意义(2)有理指数幂的运算性质aras_(a>0，r，sQ)(ar)s_(a>0，r，sQ)(ab)r_(a>0，b>0，rQ)3指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域

3、(1)_值域(2)_性质(3)过定点_(4)当x>0时，_；当x<0时，_(5)当x>0时，_；当x<0时，_(6)在(，) 上是_(7)在(，) 上是_自我检测1下列结论正确的个数是 ()当a<0时，a3；|a|；函数y(3x7)0的定义域是(2，)；若100a5,10b2，则2ab1.A0B1C2D32函数y(a23a3)ax是指数函数，则有 ()Aa1或a2Ba1Ca2Da>0且a13如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ()Aa<b<1<c<dBa&l

4、t;b<1<d<cCb<a<1<c<dDb<a<1<d<c4若a>1，b>0，且abab2，则abab的值等于 ()A.B2或2C2D25(2011·六安模拟)函数f(x)axb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0探究点一有理指数幂的化简与求值例1已知a，b是方程9x282x90的两根，且a<b，求：(1)；÷.变式迁移1化简 (a、b>0

5、)的结果是 ()A.BabC.Da2b探究点二指数函数的图象及其应用例2已知函数y()|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值变式迁移2(2009·山东)函数y的图象大致为 ()探究点三指数函数的性质及应用例3如果函数ya2x2ax1(a>0且a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值变式迁移3(2011·龙岩月考)已知函数f(x)()x3.(1)求f(x)的定义域；(2)证明：f(x)f(x)；(3)证明：f(x)>0.分类讨论思想的应用例(12分)已知f(x)(axax)(a>

6、;0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时f(x)b恒成立，求b的取值范围【答题模板】解(1)函数定义域为R，关于原点对称又因为f(x)(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数3分(2)当a>1时，a21>0，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数5分当0<a<1时，a21<0，yax为减函数，yax为增函数，从而yaxax为减函数，所以f(x)为增函数故当a>0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)

7、f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)·1.10分要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，112分【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与axax有关，还与的符号有关，若没考虑的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的1一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进

8、行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的2比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小3指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1函数y的值域是 ()A0，) B1，)C(，)D，)2(2011·

9、金华月考)函数y(0<a<1)的图象的大致形状是 ()3(2010·重庆)函数f(x)的图象 ()A关于原点对称B关于直线yx对称C关于x轴对称D关于y轴对称4定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()5若关于x的方程|ax1|2a(a>0，a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D(0，)题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011·嘉兴月考)函数f(x)(a>0且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是_7(2010·江苏)设函数f(x)x(exaex)，xR是偶函数，则实

10、数a_.8若函数f(x)ax1(a>0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a的值为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011·衡阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围10(12分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)·3ax4x的定义域为0,1(1)求a的值(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围11(14分)(2011·东莞模拟)函数y12x4xa在x(，1上y&

11、gt;0恒成立，求a的取值范围答案 自主梳理1(1)a的n次方根根式根指数被开方数(2)±aa2.(1)0(2)arsarsarbr3.(1)R(2)(0，)(3)(0,1)(4)y>10<y<1(5)0<y<1y>1(6)增函数(7)减函数自我检测1B只有正确中a<0时，>0，a3<0，所以a3；中，n为奇数时且a<0时，a；中定义域为2，)(，)2Cy(a23a3)ax是指数函数，a23a31，解得a2或a1(舍去)3Dy轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大所以c>d>1,1>a>b>

12、;0.4D(abab)2(abab)244，a>1，b>0，ab>1,0<ab<1，abab2.5D由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数2指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果解a，b是方程的两根，而由

13、9x282x90解得x1，x29，且a<b，故a，b9，(1)化去负指数后求解ab.a，b9，ab，即原式.(2)原式·÷ (·).a，原式3.变式迁移1C原式ab1.例2解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成解(1)方法一由函数解析式可得y()|x1|其图象由两部分组成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x<0)y3x1(x<1)如图所示方法二由y()|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y()x的图象，保留x0的部分，当x<0时，其图象是将

14、y()x(x0)图象关于y轴对折，从而得出y()|x|的图象将y()|x|向左移动1个单位，即可得y()|x1|的图象，如图所示(2)由图象知函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数(3)由图象知当x1时，有最大值1，无最小值变式迁移2Ay1，当x>0时，e2x1>0，且随着x的增大而增大，故y1>1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确例3解题导引1.指数函数yax(a>0且a1)的图象与性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究2指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换

15、元的方法转化为指数函数或二次函数的性质解设tax，则yf(t)t22t1(t1)22.(1)当a>1时，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3，满足 a>1；(2)当0<a<1时，ta，a1，ymax(a1)22a1114，解得a，满足0<a<1.故所求a的值为3或.变式迁移3(1)解由2x10x0，所以定义域为(，0)(0，)(2)证明f(x)()x3可化为f(x)·x3，则f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)f(x)(3)证明当x>0时，2x>1，x3>0，所以()x3>0.因为f(x)f(x)，所以当x&l

16、t;0时，f(x)f(x)>0.综上所述，f(x)>0.课后练习区1B由y中0，所以y201，即函数的值域为1，)2D函数的定义域为x|xR，x0，且y.当x>0时，函数是一个指数函数，其底数a满足0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指数函数yax的图象关于x轴对称，函数递增3D函数定义域为R，关于原点对称，f(x)f(x)，f(x)是偶函数，图象关于y轴对称4A当x<0时，0<2x<1，此时f(x)2x；当x0时，2x1，此时f(x)1.所以f(x)12x5D方程|ax1|2a有两个不等实根可转化为函数y|ax1|与函数y2a

17、有两个不同交点，作出函数y|ax1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即0<a<.6，1)解析据单调性定义，f(x)为减函数应满足：即a<1.71解析设g(x)exaex，则f(x)xg(x)是偶函数g(x)exaex是奇函数g(0)e0ae01a0，a1.8.解析当a>1时，f(2)2，a212，a，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)2，即112，无解a.9解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，即0，解得b1，(2分)从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验a2适合题意，所求a、b的值分别为2

18、、1.(4分)(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(6分)又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)(8分)因为f(x)是减函数，由上式推得t22t>2t2k.即对一切tR有3t22tk>0.从而判别式412k<0，解得k<.(12分)10解方法一(1)由已知得3a2183a2alog32.(4分)(2)此时g(x)·2x4x，设0x1<x21，因为g(x)在区间0,1上是单调递减函数，所以g(x1)g(x2)>0恒成立，(8分)即<恒成立由于2，所以，实数的取值范围是2.(12分