形式三角矩阵环的广义导子

1、第33卷第2期 西南大学学报(自然科学版 2011年2月Vol 33 No 2Journal of Southw est U niv ersity(N atural Science EditionFeb 2011文章编号:1673-9868(201102-0101-04形式三角矩阵环的广义导子谢乐平怀化学院数学系,湖南怀化418008摘要:利用代数方法,得到了形式三角矩阵环T ri(A,M,B的广义导子可以由环A,B的广义导子和(A,B-双模M的广义拟线性映射表示的结论,同时由此结论推得形式三角矩阵环T ri(A,M,B的导子的结构.关 键 词:形式三角矩阵环;广义导子;导子中图分类号:O15

2、1 21文献标志码:A假定A,B是两个有单位元的结合环.称M为(A,B-双模,是指M既是左A-模,又是右B-模,并且对 a A, m M, b B,有(amb=a(mb.形式三角矩阵环定义为T ri(A,M,B=a m0b:a A,m M,b B假定A,B是两个有单位元的结合环,我们用I1,I B分别表示它们的单位元,M为一个(A,B-双模.形式三角矩阵环Tri(A,M,B的一个广义导子D是Tri(A,M,B到自身的保持加法的映射,使得对 X,YTri(A,M,B,都有D(XY=D(XY+X D(Y-X D(IY,这里I=I10I B为Tri(A,M,B的单位元.特别地,如果D(I=0,那么D

3、(XY=D(XY+X D(Y,此时D为通常的导子.设,!分别是环A与B的广义导子,对 a A, b B, m M,如果存在a!A,b!B,使得M的保持加法的映射k满足k(a,m,b=(amb+ak(mb+am!(b-aa!m b-amb!b那么称k为(A,B-双模M的一个(,!-广义拟线性映射.设D是形式三角矩阵环T ri(A,M,B的任意一个广义导子,记D a m0b=g(a,m,bk(a,m,b0h(a,m,b(1下面通过两个引理来研究(1式的相关性质.收稿日期:2010-04-07基金项目:湖南省教育厅资助项目(05C694;怀化学院青年基金项目(H HU Q2009-04.作者简介:谢

4、乐平(1976-,男,湖南宁乡人,讲师,主要从事矩阵代数的研究.引理1 (1式中g(a,m,b,h(a,m,b分别由a,b单独确定,且有D a mb=(ak(a,m,b!(b其中,!分别为环A,B的广义导子.证 由(1式,用D作用于等式I10I10=I10两边,有2g(I1,0,0-a0k(I1,0,00=g(I1,0,0k(I1,0,0h(I1,0,0因此g(I1,0,0=a0,h(I1,0,0=0.用D作用于等式00I B00I B=00I B两边,有0k(0,0,I B2h(0,0,I B-b0=g(0,0,I Bk(0,0,I Bh(0,0,I B因此g(0,0,I B=0,h(0,0

5、,I B=b0.用D作用到a mbI10=a0两边,得g(a,m,bak(I1,0,00=g(a,0,0k(a,0,0h(a,0,0(2所以g(a,m,b=g(a,0,0,即g(a,m,b不依赖于m,b.类似地可得h(a,m,b=h(0,0,b,因此将g(a,m,b,h(a,m,b分别记为(a,!(b,得D a mb=(ak(a,m,b!(b下面证明,!分别为环A,B的广义导子.易知,!都保持加法运算.用D作用于等式a mba!m!b!=aa!am!+mb!bb!两边,得(aa!+a(a!-aa0a!(am!+k(a,m,bb!+a k(a!,m!,b!+m!(b!-aa0m!-am0b!-m

6、b0b!(bb!+b!(b!-bb0b!=(aa!k(aa!,am!+mb!,bb!(bb!(3因此(aa!=(aa!+a(a!-aa0a! !(bb!=!(bb!+b!(b!-bb0b!于是,!分别为环A,B的广义导子.引理2 (1式中,k(a,m,b=ae+(m0-eb+k(m.其中e=k(I1,0,0,m0=k(I1,0,I B,k(m= k(0,m,0为(,!-广义拟线性映射.证 首先,不难验证k(a,m,b=k1(a+k(m+k2(b,其中k1(a=k(a,0,0 k2(b=k(0,0,b k(m=k(0,m,0记e=k1(I1,由(2式可得k1(a=ak1(I1=ae a A同理有

7、k2(b=k2(I Bb b B在(3式中,令a=I1,m=0,b=0,a!=0,m!=0,b!=I B,可得k2(I B=m0-k1(I1=m0- e.因此k2(b=k2(I Bb=(m0-eb b B在(3式中,令m=0,b=0,a!=0,b!=0,不难得到k(am!=(am!+ak(m!-aa0m!.在(3式中再令a=0,b=0,a!=0,m!=0,可得k(mb!=k(mb!+m!(b!-mb0b!.因此k(amb=(amb+ak(mb+am!(b-aa0mb-amb0b a A, m M, b B102西南大学学报(自然科学版 http:/xbbjb sw u cn 第33卷又显然k保

8、持加法运算,所以k是(A,B-双模M的一个(,!-广义拟线性映射.定理1 设A,B是两个有单位元的结合环,M是一个(A,B-双模,形式三角矩阵环T ri(A,M,B到自身的一个映射D是广义导子的充分必要条件是存在环A的广义导子,环B的广义导子!,(A,B-双模M的一个(,!-广义拟线性映射k,以及M中的一个元素e,使得D a mb=(aae+(m0-eb+k(m!(b(4证 先证充分性.设X=a mb Tri(A,M,B,Y=a!m!b!Tri(A,M,B,用(4式中的D作用于XY,得D(XY=(aa!aa!e+(m0-ebb!+k(am!I B+I1mb!(bb!利用为环A的广义导子,!为环

9、B的广义导子,k为(A,B-双模M的一个(,!-广义拟线性映射,可验证得D(XY=D(XY+X D(Y-X D(IY.所以映射D是形式三角矩阵环T ri(A,M,B的一个广义导子.下证必要性.设D是形式三角矩阵环Tri(A,M,B的任意一个广义导子,且满足(1式.结合引理1和引理2,可得导子D具有形式(4.在定理1中,如果令D(I=0,即a0m0b0=0,那么m0=0.此时D(XY=D(XY+X D(Y,即D为通常的导子,所以有下面的推论:推论1 设A,B是两个有单位元的结合环,M是一个(A,B-双模,形式三角矩阵环T ri(A,M,B到自身的一个映射D是导子的充分必要条件是存在环A的导子,环

10、B的导子!,(A,B-双模M的一个(,!-拟线性映射k,M中的一个元素e,使得D a mb=(aae-eb+k(m!(b对形式三角矩阵环Tri(A,M,B中的任意两个矩阵a1m1b1,a2m2b2,我们称a1m1b1a2m2b2-a2m2b2a1m1b1为a1m1b1与a2m2b2的交换子.称映射:a mb|a mba!m!b!-a!m!b!a mb为由a!m!b!T ri(A,M,B决定的内导子.推论2 如果m0=0,且环A,B的导子都是内导子,D是形式三角矩阵环Tri(A,M,B的任意一个广义导子,那么D=X+D k,其中X:X|XX0-X0X 是由某个X0Tri(A,M,B决定的内导子,

11、且D k:a mb|0k(m是由(A,B-双模M的一个广义拟线性映射k诱导的广义线性映射.证 由定理1 (aae-eb+k!b!(b103第2期 谢乐平:形式三角矩阵环的广义导子其中a!,!b!是由a!A,b!B决定的环A,B的内导子,k!是M的一个(a!,!b!-广义拟线性映射.记X0=a0eb0,那么(D-Xa mb=0k!(m+a0m-mb0记k(m=k!(m+a0m-mb0,那么对 a A, m M, b B,有k(amb=k!(amb+a0amb-ambb0=ak!(mb+a0(amb+am!b(b-aa0mb-amb0b-ambb0+a0amb=ak!(mb-2amb0b所以k是(

12、A,B-双模M上的一个广义线性映射,且D=X+D k.参考文献:1H AG H AN Y A,V A RA JA N K.Study of Fo rmal T r iangular M atr ix RingsJ.Comm A lgebra,1999,27(11:5507-5525.2 CHEU N G W S.Commuting M aps o f T r iang ular A lgebr asJ.J L ondo n M ath So c,2001,63(2:117-127.3 COEL HO S P,M ILI ES C P.Der ivat ions o f U pper T ria

13、ngular M atr ix RingsJ.L inear A lg ebr a A ppl,1993,187:263-267.4 CA O Y A,WA N G J T.A No te o n A lg ebr a A utomor phisms of St rictly U pper T r iangula r M atrices O ver Commutativ eRing sJ.Linear A lg ebr a A ppl,2000,311:187-193.5 JON DRU P S.T he G ro up of Auto mor phisms o f Cer tain Suba

14、 lg ebr as of M atr ix AlgebrasJ.J A lg ebr a,1991,141:106-114.6 JON DRU P S.A utomo rphisms and Derivatio ns of U pper T riangular M atr ix Ring sJ.L inear A lg ebr a A ppl,1995,221:205-218.7 K EZL AN T P.A N ote on A lgebra A uto mor phisms of T riang ular M atr ices O ver Commutativ e R ing sJ.L

15、inear A lg ebr aA ppl,1990,135:181-184.8 谢乐平.形式三角矩阵环的反自同构J.西南师范大学学报:自然科学版,2005,30(4:612-615.9 魏金和,张跃辉.极小拟遗传代数的结构J.西南大学学报:自然科学版,2008,30(12:1-3.10赵冠华.李三系广义导子的直和分解J.西南师范大学学报:自然科学版,2004,29(6:908-910.Generalized Derivations ofFormal Triangular Matrix RingsXIE LepingDepartme nt o f Ma th e ma tics,H uaihua Colleg e,H ua ihua Huna n418008,ChinaAbstract:Generalized der iv ations o f the form al tr iangular matrix ring Tri(A,M,Bar e obtained by g eneralized derivations of A,B and a g eneralized fittinglinear mapping of M by using alg ebraic m ethod