2.1二重积分的计算(1)ppt课件

1、定理定理1：若函数：若函数f(x,y)在区域在区域D上连续，上连续，区域区域D可表示为：可表示为：, bxa ),()(21xyx Ddyxf),( baxxdxdyyxf),( )()(21那那么么.),( )()(21 baxxdyyxfdx,dyc ).()(21yxy dcyydxyxfdy)()(21),( dcyydydxyxf)()(21),(其中函数其中函数 在区间在区间a,b上连续上连续.)()(21xx 、c,dabzyx证证 当当 f (x,y) 0 时，时， Ddyxf),( 表示以表示以 z = f (x,y) 为顶的曲顶柱体体积为顶的曲顶柱体体积)(0 xA)(1x

2、y),( yxfz)(2xy0 x在在x处的截面面积为：处的截面面积为：bxa )()(21),()(xxdyyxfxA Ddyxf),( badxxA)(.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf例例1 求积分求积分 Dyxde)(其中其中D为为10 ; 10 yx解解 Dyxde)( 10)(10dyedxyx 1010)(dxeyx 10)1(dxeexx10)1(xxee 1212 ee)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 1.外层外层x的积分限：的积分限： D在在x 轴上的投影区间轴上的投影区间2.内层内层y的积分限：的积分限： D下边界的下边

3、界的y值到上边界值到上边界的的y值。值。)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D1.外层外层y的积分限：的积分限： D在在y 轴上的投影区间轴上的投影区间2.内层内层x的积分限：的积分限： D左边界的左边界的x值到右边界值到右边界的的x值。值。x= y2所围平面闭区域所围平面闭区域。 Ddxdyyx)(2例例2 求求其中其中D是由抛物线是由抛物线y=x2和和解解2xy 2yx 2xy 2yx Ddxdyyx)(2 dyyxdx)( 2 10 xx2 10222)21(dxyyxxxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 Dxdxdy例例3 求求其中其中D是由是由

4、y=x2和和x= y2所围区域。所围区域。 解解 Dxdxdy 2212yyxdxdy 2142)2(21dyyy215351)2(3121 yy练习题练习题1.计算计算 Ddxdyx其中其中D是由是由y=x、y=2x及及x=2围成的闭区域围成的闭区域2.计算计算 Ddxdyyysin其中其中D是由是由y=x、x=0及及2 y围成的闭区域围成的闭区域作业：作业：P154: T2, T4(1)(2)(3) Dxydxdy其中其中D是由直线是由直线 y=x、y=2x和和 x+y=6所围区域。所围区域。 例例5: 计算计算xyoy=xx+y=632y=2x解解 6yxxy)3 , 3( 62yxxy

5、)4 , 2( Dxydxdy 21DDxydxdyxydxdy xydydx 20 xx2 xydydx 32 xx613 xyo极坐标极坐标: P(x,y),| OP极轴到极轴到OP与的转角为与的转角为，数组数组 为点为点P的极坐标。的极坐标。),( sincosyx222 yxAoDii ii iii iiii2)(21iiii )2(21iiiii 2)(,iiii iiniiDfdxdyyxf ),(lim),(10ii 221,sin ,cosiiiiii 取取iiiiiniiif )sin,cos(lim10iiniiDfdxdyyxf ),(lim),(10iiiniiyxf

6、),(lim10.)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf,iiii ,sin ,cosiiiiii 取取若区域若区域D: ).()(,21 ADo)(1 )(2 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf)sin,cos(1) 外层外层: 始于原点的射线转动时，恰能覆盖始于原点的射线转动时，恰能覆盖D的转的转角范围。角范围。(2) 内层内层 :在射线被区域在射线被区域D 所截得线段上，从始所截得线段上，从始点的点的 值到终点的值到终点的 值值. 解解 设设dxdyeDyx 22 aded0402).1(82ae y=x (x0)及及x正半轴所围成正半轴所围成dxdyeDyx 22例例6 计算计算其中其中D 是由是由x2 + y