昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

1、线性代数B 2010 2011 学年第 一 学期课程试卷A一、填空 1. = 12 .2 设A、B为4阶方阵，且，则 1/2 .3. 给定矩阵，且可逆,满足,则 .4设，则 .5已知线性相关,不能由线性表示，则线性 相关 6设，且,线性相关， 则 8 7.设是矩阵,且，则_2_8设三阶方阵的每行元素之和均为零，又，则齐次线性方程组的通解为 .9. 向量组的一个最大线性无关组为 .10. 设为n阶方阵,有非零解,则必有一个特征值为 0 .二、单项选择 1.若( A ) ； 2 ； 1 ； .2设均为二阶方阵，则当(C )时，可以推出3. 下列结论正确的是( A ) 线性无关的充要条件是其中任意一

2、个向量都不是其余向量的线性组合; 若向量线性相关，则线性相关； 若阶方阵与对角阵相似，则有个不同的特征值; 若方程组有非零解，则有无穷多解.4. 已知是四元方程组的三个解，其中，则以下不是方程组的通解为( D ) . .5. 设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） ; ; ; .6若阶矩阵有共同的特征值，且各有个线性无关的特征向量，则（A ） 与相似; ，但; ; 与不一定相似，但. 7. 设且则以下结论正确的是（ B ）.不一定是的一个特征向量; 一定不是的一个特征向量; 一定是的一个特征向量; 为零向量.三、k为何值时,线性方程组 有解，并在有解时求通解.解: 当时，方程组

3、有解， ， ， （12分） 通解为 四、已知矩阵的特征值之和为1，特征值之积为(1) 求的值； (2) 求可逆矩阵和对角阵，使得.解 当时，当时， 有五、计算 . 六、设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求. 证明 (1)， 即(2) (2)-(1) 因为线性无关， 代入（1），得线性无关（2） 线性代数B2010 2011 学年第 一 学期课程试卷B一、填空 1.设 ,又是的代数余子式,则=02 设A、B为3阶方阵，且，则 1/6 .3. 设A为方阵,满足,则 .4设，则 .5向量组线性 相 关6设是矩阵,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

4、 7.设是矩阵,且，则_2_8设三阶方阵的每行元素之和均为3，则有特征值 3 .9. 向量组的一个最大线性无关组为.10属于方阵的不同特征值的特征向量一定 线性无关 .二、单项选择 1.若( A ). ； 2 ； 1 ； .2设A为矩阵，且，则一定有( D )3. 下列结论错误的是( D ) 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; 若向量线性无关，则线性无关； 阶方阵与对角阵相似是有个不同的特征值的必要条件; 若方程组有非零解，则有无穷多解.4. 设矩阵的秩，下述结论中正确的是 D .的任意个列向量必线性无关； 的任意一个阶子式不等于零；齐次线性方程组只有零解； 非齐次

5、线性方程组必有无穷多解.5. 阶矩阵满足则下列各式中成立的是 D .6设矩阵的秩为2，则 C （A）；（B）；（C）； （D）.7. 均为阶方阵，则下列结论中 B 成立（A）则或； （B） 则或； （C）则或； （D）则或三、k为何值时，线性方程组有解并在有解时求通解解 当所以有依赖于3个独立参数的无穷多解 得 四、已知矩阵, 求可逆矩阵与对角阵,使得. 解 ， 进一步可求得相应的特征向量为。取 ， 有 =五、计算行列式. 六、已知阶矩阵,证明中所有元素的代数余子式的和为1.证 ， 又， 比较第一列元素之和有 ×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在

6、题中横线上。每小题2分，共10分）1. 若，则_。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，则 。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）4. ，则。（ ）5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设

7、为阶矩阵，且，则（ ）。 42. 维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 若，均可逆，则可逆 若，均可逆，则 可逆 若可逆，则 可逆 若可逆，则 ，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） 解向量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63

8、分)1. 计算行列式。解·2. 设，且 求。解. ，3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. ×

9、; 2. 3. 4. 5. ×三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 2. ，3. 4. 当或时，向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 则 ，其中构成极大无关组，7. 特征值，对于11，特征向量为五、证明题， 一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（

10、）(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。6、为阶矩阵，且，则 。7、已知方程组无解，则 。8、二次型是正定的，则的取值范围是 。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无

11、关。证明：(1) 能有线性表出；(2) 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1） ；（2） 。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： （4分）按第一

12、行展开得按第三列展开得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式 （4分） （4分）四、证明题11、证明：(1)、 因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。 12、证明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，。 （4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。 （3分）（3）因为特征值不相等，则正交。 （2分）（4）将单位化得， （

13、2分）（5）取（6） （1分）14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。 （7分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . （4分）1°当时，有，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数

14、. （4分）2° 当时，有，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为:, 即与有唯一公共解. （4分）第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=

15、AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩

16、为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=

17、0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值

18、 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B. C.D.第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

19、.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A

20、=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2

21、.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，