求导公式大全86093

1、2022-1-14微积分-求导法则1几个初等函数的导数几个初等函数的导数1.常数的导数：常数的导数：2.幂函数的导数：幂函数的导数： 特殊：特殊：0 c21 ,()2xxx2111(), ()2xxxx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 000()()limxf xxf xx 复习：导数概念复习：导数概念1()xx 2022-1-14微积分-求导法则23.对数函数的导数对数函数的导数1(log)ln1(ln)axxaxx 4.正、余弦函数的导数正、余弦函数的导数(sin)cos(cos)sinxxxx 2022-1-14微积分-求导法则3一、和、差、积、商的求导法则一、和

2、、差、积、商的求导法则定理定理( ),( ),(),u xv xxx如果函数在点处可导 则它如果函数在点处可导 则它们的和、差、积、商分母不为零 在点处也们的和、差、积、商分母不为零 在点处也可导 并且可导 并且).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu3.2 求导法则求导法则2022-1-14微积分-求导法则4证证：0()()limxuu vvuvuvx （）（）(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v

3、x0limxv uu vu vx 000limlimlimxxxuvuvuvxxx u vuv=5证证0( )( )lim( ( ) ( )xuv xu xvv xv v xx 0( )( )( )( )( )lim( )xu xuu xu xv xvv xv xx 2( )( ) ( )( ) ( )(3) ( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 0( )( )lim() ( )xuvv xu xxxv xx v x 2)()()()()(xvxvxuxvxu 2022-1-14微积分-求导法则6推论推论(2) ( )( );cf xcfx 1(3)

4、()niifx 11(1)( )( );nniiiif xf x 12()()()nfx fxfx 11()();nnikikkifxfx 12()()()nfx fxfx 12()()()nfx fxfx 2022-1-14微积分-求导法则7例例1 1223lncos.yxxx 求si n的导数求si n的导数2 2解解4yx 3x 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 sin x .2sin1ln2cos2xxxx 2022-1-14微积分-求导法则841sincos

5、 ,2dd 求求11sincossinsincos22dd 42248dd 332cos4logsin7yxxxx 223143sin3ln2yxxxx 3lncosyxxx 2233lncoscoslnsinyxxxxxxxx 2022-1-14微积分-求导法则9例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2022-1-14微积分-求导法则10例例4 4.sec的导数的导数求求x

6、y 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2022-1-14微积分-求导法则11三角函数求导公式三角函数求导公式 sincosxx cossinxx 2tansecxx 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx (1)f 不存在不存在2(1),1( )ln ,1xxf xxx 设设( )( 1),(2)fxff 求及求及例例5 51( )2 ,xfx 时，时，11( )xfxx 时，时，解解11( )(1)2(1)ln1(1)limlim211xxf xfx

7、fxx ( 1)21(2)2ff 11( )(1)lnln1(1)limlim11xxf xfxfxx 11ln1(1)1limlim111xxxxxx即即f (x)在在x=1不可导不可导2,1( )1,1xfxxx x=1时时:2022-1-14微积分-求导法则13定理定理( )( )0 ,( ),yxxyiyyf xi 如果函数在某区间内单调、可导如果函数在某区间内单调、可导且那末它的反函数在对应区间且那末它的反函数在对应区间内也可导且有内也可导且有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则1( )( )fxy 20

8、22-1-14微积分-求导法则14证证,xix 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y,)(连续连续xf00 xy 时时0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xixxx 2022-1-14微积分-求导法则15()xxee (0,1)xyaaay ，求，求例例7 7解解logaxy 在在(0,+)内单调连续内单调连续, 值域值域(-,+)1(log)0(0,)lnayyya 且，且，1()(log)xayay lnyalnxaa()ln(0,1)xxaaaaa 即：即：特别地，特别地，2

9、022-1-14微积分-求导法则16证证：(arcsin )x 2211(arcsin ),(arccos )11xxxx cos0y1(sin )y 1cos y arcsinyx sinxy 22y222cos1sin1yyx211x 2022-1-14微积分-求导法则17证证：211x 2211(arctan ),(arccot)11xxxx (arctan )x 1(tan )y 21sec y arctanyx tanxy 22y222sec1tan1yyx0 (sincos )xyexx() (sincos )()(sincos )xxyexxexx(sincos )(cossin

10、 )2cosxxxexxexxex2(3)(sin1)xyxax22(3) (sin1)(3)(sin1)xxyxaxxax2(23ln )(sin1)(3)cosxxxaaxxaxsin( )1cosxxf xx 2( sin ) (1cos )sin (1cos )( )(1cos )xxxxxxfxx 222(sincos )(1cos )sinsin(1cos )1cosxxxxxxxxxx2022-1-14微积分-求导法则191(1)( )0( )( )yf xf xf x ，且且可可导导(2)lnln2xyxxxe (3)(sin2cos)xyexx 3tan(4)3arctans

11、inxyxxxx 练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数2022-1-14微积分-求导法则20小结小结 (1) (uv)=uv； (2) (uv)=uv+uv； (3) (cu)=cu； (4) (u/v)= (v0)；注意注意: ( )( )( )( );u xv xu xv x.)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 不同表达式的分界不同表达式的分界点处用左右导数定义式求导点处用左右导数定义式求导.2u vuvv (5) 反函数的导数等于直接函数导数的倒反函数的导数等于直接函数导数的倒数数1( ).( )fxy 2022-1-14微积分-求导法则21解答解答

12、232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x2022-1-14微积分-求导法则22作业：p107 9、15、16(可不空行可不空行、正、反面做正、反面做；自己对书后答案自己对书后答案；有问题彩笔做记号有问题彩笔做记号)2022-1-14微积分-求导法则23 练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数；）（9sincos410)(1452xxxxf；）（0)(201121aaxaxaxaxgnnnn。)2()3(2xxy；）（xxxfcos7)(452022-1-1424例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x0ln(1)